淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)定積分的應(yīng)用

關(guān)璐

（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特　010070）

淺析高等數(shù)學(xué)教學(xué)難點(diǎn)定積分的應(yīng)用

關(guān)璐

（內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，呼和浩特010070）

0　引言

隨著現(xiàn)代科技的發(fā)展，數(shù)學(xué)在各個(gè)研究領(lǐng)域越來(lái)越受到人們的重視。而高等數(shù)學(xué)是大學(xué)數(shù)學(xué)課程的基礎(chǔ)。高等數(shù)學(xué)這門(mén)課程不僅是學(xué)生后續(xù)將要學(xué)習(xí)的課程的基礎(chǔ)，也是學(xué)生考研的必考科目。一元函數(shù)定積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，利用它可以解決很多問(wèn)題，像計(jì)算平面圖形的面積、立體的體積等。很多學(xué)生在學(xué)習(xí)的過(guò)程當(dāng)中，感覺(jué)到公式太多，不會(huì)合理地利用公式，從而漸漸失去了學(xué)習(xí)興趣。因此，結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的定積分的應(yīng)用提出一些教學(xué)方案。

1　利用定積分計(jì)算平面圖形的面積

在學(xué)習(xí)了定積分的定義和計(jì)算之后，重點(diǎn)學(xué)習(xí)的就是定積分的應(yīng)用。定積分的應(yīng)用主要是計(jì)算平面圖形的面積和立體的體積。首先給學(xué)生介紹利用定積分計(jì)算平面圖形的面積。

在教學(xué)過(guò)程中首先通過(guò)定積分的定義結(jié)合幾何意義引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)面積計(jì)算的三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。

平面圖形D由曲線(xiàn)y=f（x），x軸以及（x=a和x=b）圍成，則：

（2）平面圖形D由曲線(xiàn)C1，C2以及（x=a和x=b）圍成且C1在C2上方，其中C1：y=f（x），C2：y=g（x），則：

（3）平面圖形D由曲線(xiàn)C1，C2以及（y=c和y=d）圍成且C1在C2右側(cè)，其中C1：x=φ（y），C2：x=ψ（y）則：

注意：上述括號(hào)中的直線(xiàn)可以出現(xiàn)也可以不出現(xiàn)。

其次，通過(guò)教師的引導(dǎo)和學(xué)生一起建立利用定積分求平面圖形面積D的步驟。

第一步：畫(huà)草圖用陰影表示平面圖形面積D；

第二步：將平面圖形面積D劃分為標(biāo)準(zhǔn)型；

第三步：準(zhǔn)備工作，包括求被積函數(shù)，求積分上下限，被積函數(shù)有絕對(duì)值的要求分點(diǎn)；

第四步：利用選好的公式求定積分。

學(xué)生通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)型的學(xué)習(xí)以及步驟的掌握，對(duì)于題目給定的計(jì)算面積的平面圖形就可以很容易地分類(lèi)、解決。這樣學(xué)生就會(huì)很輕松地掌握利用定積分計(jì)算平面圖形的面積的方法，就會(huì)對(duì)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)有著極大的興趣，從而大大的提高了學(xué)習(xí)的效率。

下面舉兩個(gè)典型的例子：

解：由圖1可知，橢圓在四個(gè)象限的圖形是對(duì)稱(chēng)的，因此，只要計(jì)算第一象限的圖形的面積乘以4就是橢圓的面積。而第一象限的圖形就是第一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型，因此，面積公式為：

圖1　

例2求由曲線(xiàn)y2=2x與直線(xiàn)y=x-4所圍圖形的面積。

圖2　

如圖2所示，此平面圖形是一個(gè)第三類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)型，也可以看作是由x=2分割的左右兩部分。當(dāng)然是看做第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型簡(jiǎn)單，即用公式

2　積分計(jì)算立體的體積

利用定積分可以計(jì)算已知平行截面面積的立體的體積也可以計(jì)算旋轉(zhuǎn)體的體積。在這里重點(diǎn)介紹旋轉(zhuǎn)體體積公式的選擇、使用。

在教學(xué)過(guò)程中首先要給學(xué)生介紹四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型五個(gè)公式，包括：

（1）平面圖形D由曲線(xiàn)y=f（x），x軸以及（x=a和x= b）圍成，則：

（2）平面圖形D由曲線(xiàn)x=φ（y），y軸以及（y=c和y=d）圍成，則：

（3）平面圖形D由曲線(xiàn)C1，C2，以及（x=a和x=b）圍成且C1在C2上方都在x軸上方，其中C1：y=f（x），C2：y=g （x）則：

（4）平面圖形D由曲線(xiàn)C1，C2以及（y=c和y=d）圍成且C1在C2右側(cè)且都在y軸右側(cè)，其中C1：x=φ（y），C2：x=ψ（y）則：

可以結(jié)合利用定積分求平面圖形的面積的步驟，通過(guò)教師的引導(dǎo)和學(xué)生一起建立利用定積分求旋轉(zhuǎn)體體積的步驟。

第一步：畫(huà)草圖用陰影表示平面圖形面積D；

第二步：將平面圖形面積D劃分為標(biāo)準(zhǔn)型；

第三步：準(zhǔn)備工作，包括求被積函數(shù)，求積分上下限，被積函數(shù)有絕對(duì)值的要求分點(diǎn)；

第四步：利用選好的公式求定積分。

例3求由y=x3，x=y2所圍成的圖形繞x軸，y軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解：如圖3所示，由y=x3，x=y2所圍成的圖形繞x軸所得的旋轉(zhuǎn)體求體積是屬于第三個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型。

由y=x3，x=y2所圍成的圖形繞y軸所得的旋轉(zhuǎn)體

圖3　

求體積是屬于第四個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型，故應(yīng)該使用公式

3　結(jié)語(yǔ)

定積分這部分內(nèi)容是微積分的基礎(chǔ)，因此，定積分的應(yīng)用也非常重要。特別是通過(guò)這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情和興趣。因此，每一位教師都應(yīng)該認(rèn)真思考，不斷總結(jié)如何講解好這部分內(nèi)容，為學(xué)生將來(lái)的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

［1］張曉榮.定積分的應(yīng)用［J］.商界論壇，2012（19）：221-222.

［2］阿爾斯蘭.談關(guān)于定積分的求法及其應(yīng)用［J］.魅力中國(guó)，2010（06）：287.

［3］辛春元.定積分的應(yīng)用研究［J］.現(xiàn)代商貿(mào)工業(yè)，2008（11）：262-263.

［4］謝黎東.巧用定積分［J］.科學(xué)咨詢(xún)（科技·管理），2011（08）：107.

［5］刑華，高娃.微積分［M］.上海：復(fù)旦大學(xué)出版社，2012.

Definite Integral；Plane Graphics Area；Rotator Volume

Application of Definite Integral in Higher Mathematics Teaching

GUAN Lu

（College of Statistics and Mathematics，Inner Mongolia Finance and Economics University，Hohhot 010070）

1007-1423（2015）26-0073-03

10.3969/j.issn.1007-1423.2015.26.018

關(guān)璐（1981-），女，內(nèi)蒙古烏蘭察布人，碩士，講師，研究方向?yàn)閳D的代數(shù)結(jié)構(gòu)、連續(xù)介質(zhì)力學(xué)等

2015-09-11

2015-09-20

一元函數(shù)定積分是高等數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，利用一元函數(shù)定積分可以計(jì)算平面圖形的面積和立體的體積，但是學(xué)生常常感覺(jué)到這些知識(shí)較難掌握。結(jié)合多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，針對(duì)一元函數(shù)定積分應(yīng)用的學(xué)習(xí)提出一些相應(yīng)的教學(xué)方案。

定積分；平面圖形面積；旋轉(zhuǎn)體體積

內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)教育教學(xué)項(xiàng)目（No.JX1424）

Functions of one variable definite integral is an important part of higher mathematics，uses a definite integral element function can calculate the volume of the area of the plane and three-dimensional graphics，but students often feel that knowledge is difficult to grasp.Combined with years of teaching experience，for learning functions of one variable definite integral application，puts forward some teaching solutions.