基于能量法的高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算方法

趙明華，楊雨晴，尹平保，龍軍

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基于能量法的高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算方法

趙明華1，楊雨晴1，尹平保2，龍軍1

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長沙，410082；2. 長沙理工大學(xué) 土木與建筑學(xué)院，湖南 長沙，410004)

為探討高承臺(tái)樁基的沉降計(jì)算方法，考慮高承臺(tái)群樁中各基樁的相互作用，首先基于Cooke原理推導(dǎo)得到基樁樁側(cè)單位厚度土的等效剛度系數(shù)；其次，從能量傳遞的角度建立承臺(tái)?樁基的平衡方程，并聯(lián)立承臺(tái)?樁基變形協(xié)調(diào)關(guān)系以及樁端邊界條件，利用能量法對(duì)基樁樁身軸力與位移進(jìn)行求解，從而得到高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算方法，編制相應(yīng)的計(jì)算程序。最后，利用該方法及計(jì)算程序?qū)δ彻こ讨械母叱信_(tái)樁基進(jìn)行計(jì)算。研究結(jié)果表明：采用本文方法所得計(jì)算結(jié)果與實(shí)測結(jié)果較吻合，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的合理性。

橋梁工程；高承臺(tái)樁基；能量法；等效剛度系數(shù)；沉降

群樁沉降計(jì)算是樁基工程設(shè)計(jì)中的一大難題。樁的幾何尺寸、樁周巖(土)體類別與性質(zhì)、樁間距以及所受荷載與持續(xù)時(shí)間等都將對(duì)沉降計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生很大影響[1]。目前，有關(guān)群樁沉降計(jì)算的方法主要有等代墩基法、等效分層總和法及彈性理論法等[2?6]。其中，等代墩基法是將基樁和承臺(tái)范圍內(nèi)的樁間土看成為一個(gè)整體，即相當(dāng)于1個(gè)布置在天然地基上的深基礎(chǔ)，而按擴(kuò)展基礎(chǔ)來計(jì)算沉降。該法雖然考慮了樁群外圍尺寸和樁長的影響，卻忽視了樁數(shù)、樁徑以及樁間距等因素的影響。關(guān)于等效作用分層總和法，其主要是引入等效沉降系數(shù)，將Boussinesq解與Mindlin解聯(lián)立起來求解樁基沉降，其除考慮群樁幾何特性的影響外，還可將計(jì)算結(jié)果編制成表格，便于工程應(yīng)用。但該系數(shù)為一經(jīng)驗(yàn)系數(shù)，與現(xiàn)有樁基工程沉降實(shí)測資料的積累有關(guān)，且難以考慮持力層、土層剖面和壓縮性等因素的影響?？梢娚鲜?種方法均無法考慮樁間土體壓縮變形的影響，故不宜用于樁間距大于6倍樁徑的群樁。至于彈性理論法，其主要適用于樁間距較大、樁長不一以及布樁不規(guī)則的群樁。由于忽略樁群在土中的“加筋效應(yīng)”和“遮簾效應(yīng)”，即未考慮樁的存在所帶來的影響，因而對(duì)某些加工硬化型土如非密實(shí)的粉土、砂土可能會(huì)引起較大的偏差?？傊簶冻两涤?jì)算方法雖多，但各有不同的適用范圍。受水文地質(zhì)條件以及實(shí)際工程環(huán)境等因素的影響，對(duì)于某些大橋或特大橋，其基礎(chǔ)絕大多數(shù)采用高承臺(tái)群樁。在高承臺(tái)群樁基礎(chǔ)中，各基樁主要通過樁側(cè)摩阻力與樁端阻力將豎向荷載傳遞給地基土與鄰近樁基，由此產(chǎn)生的應(yīng)力重疊效應(yīng)改變了基樁和土體的受力狀態(tài)，反過來，這種效應(yīng)又將進(jìn)一步影響基樁樁側(cè)摩阻力和樁端阻力的發(fā)揮。對(duì)于高承臺(tái)樁基，目前國內(nèi)外已有一些學(xué)者對(duì)樁土相互作用機(jī)理及荷載傳遞規(guī)律進(jìn)行了研究[7?9]，但涉及高承臺(tái)群樁沉降計(jì)算的研究不是很多。高承臺(tái)群樁基礎(chǔ)荷載傳遞異常復(fù)雜，現(xiàn)有的基樁沉降計(jì)算方法具有一定局限性，很有必要在前人研究的基礎(chǔ)上，深入探討考慮樁?土?樁相互作用的高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算方法。文獻(xiàn)[10]將能量法應(yīng)用于單樁沉降的計(jì)算，取得了一定成果。本文作者以此為基礎(chǔ)，首先引入Cooke原理[11?12]，考慮群樁中樁?土?樁的相互作用，導(dǎo)出各基樁的樁側(cè)土體等效剛度系數(shù)；其次，利用能量法，對(duì)高承臺(tái)樁基平衡方程進(jìn)行分析求解，從而得到一種高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算方法；最后，以某實(shí)際工程中高承臺(tái)樁基為例，利用上述方法進(jìn)行計(jì)算。

1 高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算

1.1 計(jì)算模型

承臺(tái)在上部結(jié)構(gòu)荷載的作用下產(chǎn)生變形，群樁中的基樁樁側(cè)摩阻力可采用佐藤悟提出的樁側(cè)摩阻力與樁土相對(duì)位移彈塑性模型進(jìn)行計(jì)算[10]，如圖1所示。其中：f，f和f分別為樁側(cè)土體的極限摩阻力、樁側(cè)土層達(dá)到極限摩阻力f的最小樁土相對(duì)位移、樁側(cè)土層的摩阻力傳遞系數(shù)，ff/f。

圖1 樁側(cè)摩阻力傳遞模型

受群樁效應(yīng)的影響，群樁中各基樁樁側(cè)摩阻力系數(shù)k與單樁樁側(cè)摩阻力傳遞系數(shù)f不同。根據(jù)Cooke原理，假設(shè)高承臺(tái)樁基中的基樁數(shù)為，且樁身均位于均質(zhì)土中，樁材、樁徑以及入土深度也均相同。樁?樁相互作用示意圖如圖2所示。以群樁中的樁(=1，2，3，…，)為例，樁樁側(cè)單位厚度土的等效剛度系數(shù)k為

式中：k為樁頂部作用荷載發(fā)生沉降時(shí)樁受周圍樁群影響從而產(chǎn)生的樁側(cè)單位厚度土的等效剛度系數(shù)；k為樁頂部受力發(fā)生沉降時(shí)樁受其影響從而產(chǎn)生的樁側(cè)單位厚度土的等效剛度系數(shù)；0為樁的截面半徑；s為樁和樁的樁間距；G為樁側(cè)土體的剪切模量；r為位移影響半徑，根據(jù)文獻(xiàn)[13]，可取r=2.5(1?)；為不均勻系數(shù)；為樁間土體的泊松比；H為樁身入土段長度。

(a) i樁對(duì)j樁的作用；(b) j樁對(duì)i樁的作用

1.2 能量法求解

為便于后續(xù)分析及簡化推導(dǎo)過程，進(jìn)行如下假定：

1) 樁身處于彈性變形階段，且不發(fā)生屈曲變形；

2) 樁側(cè)摩阻力先于樁端阻力發(fā)揮[10]。

根據(jù)能量原理，可知高承臺(tái)樁基在地基中的總勢能增量Δ由樁身變形能W、沉降引起的樁身勢能增量W1和承臺(tái)勢能增量W2組成，即

式中：H為樁身總長；Δ1為基樁重心的位移；Δ2為承臺(tái)重心的位移；E為樁身彈性模量；A為樁身截面積；N()為樁深度處樁身軸力；M為承臺(tái)質(zhì)量；M為樁樁身質(zhì)量；為重力加速度；s為樁樁端位移；δ為樁樁身變形。根據(jù)變形協(xié)調(diào)原理，取1~時(shí)，s+δ都相等。

引起承臺(tái)?樁總勢能發(fā)生改變的原因在于外力作功，即承臺(tái)頂部荷載作功W、樁側(cè)摩阻力作功W和樁端阻力作功W。則樁身總勢能增量Δ可表示為

式中：為承臺(tái)頂荷載；p為樁樁端阻力；s=δ+s，為樁樁頂位移；s為樁樁端位移；τ()為樁深度處樁側(cè)摩阻力。

1.3 樁基沉降計(jì)算

1.3.1 樁身懸臂段沉降

對(duì)于高承臺(tái)樁基中的懸臂段，由于沒有受樁側(cè)土體的影響，懸臂段的沉降即為該樁段的樁身壓縮變形，其可由下式求得：

式中：p為樁樁頂荷載；H為樁身懸臂段長度。

1.3.2 樁身入土段沉降

對(duì)于樁基的入土段，設(shè)樁樁頂荷載為p，則可建立相應(yīng)的能量平衡方程：

將式(3)，(4)，(7)~(9)代入式(11)可得

式中：s為樁樁身入土段的總沉降量。

式(12)即為以整個(gè)樁身為對(duì)象的總的能量平衡方程。若將樁樁身分為個(gè)連續(xù)的單元，如圖3所示，則對(duì)于第單元 (=1，2，3，…，)有

(a) 單元?jiǎng)澐郑?b) 單元受力

式中：m為基樁第單元質(zhì)量，s為第單元頂部位移；s1為第單元底部位移。如圖3所示，基樁第單元的樁身變形d為：

將式(14)和式(15)代入式(13)可得

式中：為樁身截面周長；每個(gè)單元高度=H/；為單元個(gè)數(shù)；H為樁身入土段長度。式(16)可進(jìn)一步改寫為

式(18)和式(19)即為第單元頂部與底部的軸力計(jì)算式。由式(18)可得s+1的計(jì)算式為

若忽略由于第單元彈性變形引起的單元頂部與底部的摩阻力差異，考慮群樁下其他基樁對(duì)樁樁側(cè)土體的影響，則將樁樁側(cè)單位厚度土體的等效剛度系數(shù)代入式(20)可得：

式中：τ為樁身第單元側(cè)邊土體的極限摩阻力；s為樁身第單元側(cè)邊土層達(dá)到極限摩阻力的最小相對(duì)位移。根據(jù)樁端邊界條件，第單元(樁端)底部的軸力p又可表示為

式中：k為樁端阻力傳遞系數(shù)；q為樁端阻力極限值；ξ樁端土體達(dá)到極限阻力q的最小樁端土體位移。已知承臺(tái)頂部荷載，對(duì)剛性高承臺(tái)群樁，各樁樁頂沉降s(=1，2，3，…，)相同，承臺(tái)頂部荷載由各樁共同承擔(dān)，即可建立以下方程組：

聯(lián)立上述方程組，并結(jié)合前面的沉降計(jì)算公式，即可求得高承臺(tái)樁基入土段的總沉降。

1.3.3 樁頂總沉降

高承臺(tái)樁基的樁頂總沉降為

s=δ+s(26)

式中：s為高承臺(tái)樁基的樁頂總沉降；s為樁身入土段的總沉降量。

2 沉降計(jì)算步驟及流程

根據(jù)上述計(jì)算方法可利用Matlab編制相應(yīng)的計(jì)算程序。現(xiàn)以4樁高承臺(tái)樁基為例，對(duì)計(jì)算程序進(jìn)行簡單說明(沉降計(jì)算流程圖見圖4)。

圖4 沉降計(jì)算流程圖

設(shè)定承臺(tái)頂荷載，樁側(cè)各土層參數(shù)H，τ，s和k等計(jì)算參數(shù)初始化數(shù)值。程序?qū)θ胪炼螛俄敵两?i>s設(shè)初始值。計(jì)算中將以一定步長搜索整個(gè)s的定義域，并在找到滿足樁端邊界條件的s時(shí)停止。算法步驟和邏輯圖具體如下。

1) 程序設(shè)置初始化，對(duì)計(jì)算常量賦值，包括各土層土性參數(shù)、土層厚度、單元高度、承臺(tái)頂部荷載等。

2) 對(duì)于4樁承臺(tái)，由其受力完全對(duì)稱，則可簡化為對(duì)單樁進(jìn)行分析。通過式(25)可得樁頂荷載p=/4(=4，為群樁樁數(shù))。

3) 對(duì)s(為迭代次數(shù)，為樁身微單元數(shù)，=l，=1)設(shè)定迭代初始值(一般可取0.2 mm)。

4) 將式(1)代入式(21)或(22)計(jì)算s+1；由式(19)計(jì)算p+1。

5) 重復(fù)步驟4)，直至得出s和p為止。

6) 將s代入式(25)，得到′。

7) 計(jì)算e=p-’,若e>0，則進(jìn)入步驟8)；若e<0，則進(jìn)入步驟9)。

8) 增加s1個(gè)步長值，可根據(jù)誤差梯度調(diào)節(jié)取值，此處建議取較小常量0.1 mm，此時(shí)，s1=s+，進(jìn)入步驟3)。

9) 當(dāng)e＜0，e?1＞0時(shí)，搜尋到滿足邊界條件的迭代值，此時(shí)樁頂沉降s取值為

3 工程算例

引用文獻(xiàn)[14]中蘇通長江大橋主橋南塔橋梁樁基工程的實(shí)測數(shù)據(jù)，與本文方法所得計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較分析。該工程群樁基樁總長為114 m，其中入土深度為75.00 m，樁徑為2.50 m，樁間距為6.25 m(2.5倍樁徑)。工程地質(zhì)概況如表1所示，其他參數(shù)見文獻(xiàn)[14]。2×2與3×3群樁沉降計(jì)算結(jié)果分別見圖5和圖6。

表1 樁基工程地質(zhì)表

1—本文值；2—文獻(xiàn)[14]中值；3—試驗(yàn)值

1—本文值；2—文獻(xiàn)[14]中值；3—試驗(yàn)值

由圖5和圖6可知：本文方法得到的計(jì)算結(jié)果與2×2和3×3群樁在全注漿最大沖刷深度工況條件下的實(shí)測值以及文獻(xiàn)[14]的計(jì)算結(jié)果均較吻合，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法及程序的可靠性。由于在實(shí)際工程中各基樁之間相互作用影響程度隨樁側(cè)土體均勻度的減小而減弱，故本文計(jì)算結(jié)果較實(shí)測值稍偏大，對(duì)2×2群樁最大相對(duì)誤差為12.6%；而3×3群樁的最大相對(duì)誤差為15.1%，其計(jì)算精度尚在可接受范圍內(nèi)。計(jì)算誤差的產(chǎn)生是因?yàn)橛?jì)算方法受線性約束，計(jì)算程序反復(fù)迭代，也可帶來誤差積累，從而導(dǎo)致本文計(jì)算值與實(shí)測值不吻合。關(guān)于超大荷載區(qū)段的算法優(yōu)化工作，有待進(jìn)一步研究。

4 結(jié)論

1) 利用Cooke原理導(dǎo)出高承臺(tái)樁基樁側(cè)的等效剛度系數(shù)，并利用能量法對(duì)承臺(tái)?樁基平衡方程進(jìn)行求解，進(jìn)而提出了高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算方法。

2) 根據(jù)本文計(jì)算方法編制了相應(yīng)的計(jì)算程序，利用該程序計(jì)算某實(shí)際工程的橋梁樁基。對(duì)比分析表明：計(jì)算值與實(shí)測值及文獻(xiàn)值均較吻合，驗(yàn)證了本文計(jì)算方法的可靠性。該方法可為高承臺(tái)樁基工程的設(shè)計(jì)計(jì)算提供一種行之有效的新思路。

3) 超大荷載區(qū)段的高承臺(tái)樁基沉降計(jì)算由于受反復(fù)迭代引起的誤差積累以及計(jì)算方法線性約束等因素的影響，其計(jì)算值與實(shí)測值不吻合，因此，算法優(yōu)化有待進(jìn)一步研究。

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Settlement calculation of pile foundations with elevated caps by energy method

ZHAO Minghua1, YANG Yuqing1, YIN Pingbao2, LONG Jun1

(1. Institute of Geotechnical Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China;2. School of Civil Engineering and Architecture,Changsha University of Science and Technology, Changsha 410004, China)

In order to investigate the computational methods for settlement of high-cap pile, an identical stiffness coefficient of surrounding soil with unit thickness was derived based on Cooke principle to simulate the interaction among each pile of pile group. Equilibrium equation of cap-pile was constructed in the viewpoint of energy transmission. Deformation compatibility of cap-pile and boundary conditions at pile end were incorporated to solve axial forces and displacements of pile by using energy approach. Thus a novel calculation method for settlement of pile foundation with high cap was developed and the corresponding program was written. Finally, this method and program was utilized to calculate a high-cap pile in an engineering project. The results show that the results computed by this technique are in accordance with those measured, which verifies the reasonability of this method.

bridge engineering; pile foundation with elevated caps; energy method; equivalent stiffness coefficients; settlement calculation

TU473.1

A

1672?7207(2015)02?0670?06

2014?01?22；

2014?04?25

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51278187)(Project(51278187) supported by the National Natural Science Foundation of China)

趙明華，教授，博士生導(dǎo)師，從事樁基礎(chǔ)及軟土地基處理等研究；E-mail：mhzhaohd@21cn.com

10.11817/j.issn.1672-7207.2015.02.040

(編輯 陳燦華)