二維六角晶體材料中的Dirac電子

翟學(xué)超，戚鳳華，許亞芳，周興飛，金國(guó)鈞南京大學(xué)物理學(xué)院固體微結(jié)構(gòu)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室人工微結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控協(xié)同創(chuàng)新中心 南京 210093

二維六角晶體材料中的Dirac電子

翟學(xué)超，戚鳳華，許亞芳，周興飛，金國(guó)鈞*
南京大學(xué)物理學(xué)院固體微結(jié)構(gòu)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室人工微結(jié)構(gòu)與量子調(diào)控協(xié)同創(chuàng)新中心 南京 210093

本文綜述由碳、硅、硼氮和二硫化鉬等單元素或雙元素構(gòu)成的二維六角晶體材料中Dirac電子的研究成果與最新進(jìn)展。文章從引言開(kāi)始，接著介紹這些二維六角晶體材料的空間結(jié)構(gòu)和基本電子性質(zhì)；然后探討外場(chǎng)調(diào)控下這些材料在能譜和光吸收、量子輸運(yùn)、激子凝聚和熱Josephson效應(yīng)，以及拓?fù)淞孔酉嘧兊确矫嫠憩F(xiàn)出來(lái)的新奇的物理現(xiàn)象、簡(jiǎn)要的理論處理和可能的應(yīng)用前景；最后給出二維六角晶體材料相關(guān)研究的總結(jié)和展望。謹(jǐn)以本文獻(xiàn)給南京大學(xué)建立物理學(xué)科100周年。

二維六角晶體；Dirac電子；外場(chǎng)調(diào)控；光吸收；量子輸運(yùn)；激子凝聚；Josephson效應(yīng)；拓?fù)淞孔酉嘧儯籅erry相位

I.引言

低維和納米結(jié)構(gòu)是當(dāng)前凝聚態(tài)物理學(xué)的重要研究領(lǐng)域［1］。其中獲得“平面國(guó)”［2］美譽(yù)的二維系統(tǒng)，因?yàn)樘幵谂R界維數(shù)，而特別為物理研究者們所倚重。理論上早就對(duì)嚴(yán)格二維的單層石墨（graphene）進(jìn)行過(guò)能譜方面的研究［3］，而實(shí)驗(yàn)上成功制備這種二維六角晶體材料是在10年前的2004年，是由Manchester大學(xué)的Novoselov和Geim等人從三維石墨塊體材料中機(jī)械剝離出來(lái)的［4］。獨(dú)特的低能無(wú)質(zhì)量Dirac電子的線性色散關(guān)系［5］、極高的電子遷移率［6］和熱導(dǎo)率［7］，以及巨大的機(jī)械強(qiáng)度［8］等一系列優(yōu)異的物理性質(zhì)使得這種碳單層［9］迅速成為當(dāng)前凝聚態(tài)物理學(xué)和材料科學(xué)領(lǐng)域最熱門(mén)的研究對(duì)象之一。基于碳單層的實(shí)驗(yàn)、理論以及器件應(yīng)用的研究工作層出不窮。因?qū)嶒?yàn)工作的首創(chuàng)性和碳單層卓越的應(yīng)用前景，Novoselov和Geim一起榮獲2010年的Nobel物理學(xué)獎(jiǎng)。

由于碳單層中電子的運(yùn)動(dòng)遵循相對(duì)論性的Dirac方程，這為廣大科研工作者打開(kāi)了一個(gè)新的研究領(lǐng)域—相對(duì)論性的凝聚態(tài)物理學(xué)。人們已經(jīng)知道，碳單層可以表現(xiàn)出許多奇異的物理現(xiàn)象，比如已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)的Klein隧穿［10］、異常整數(shù)量子Hall效應(yīng)以及分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)［11］等。最近幾年的研究工作主要集中在外加應(yīng)變場(chǎng)［5，8］或強(qiáng)磁場(chǎng)［11］、改變層數(shù)［12］、構(gòu)造超晶格［13］等方式來(lái)調(diào)制碳單層材料中電子的能譜結(jié)構(gòu)，以及通過(guò)納米尺寸限制效應(yīng)、引入缺陷等方式來(lái)誘導(dǎo)其磁性的產(chǎn)生［14，15］。

繼碳單層成功制備之后，許多新的二維材料相繼涌現(xiàn)，例如硅、硼氮和二硫化鉬等不同種元素構(gòu)成的二維六角晶體材料［16，17］。與碳單層相比，這些材料由于在空間價(jià)鍵結(jié)構(gòu)與對(duì)稱(chēng)性上存在著顯著的差異，又導(dǎo)致出現(xiàn)許多新奇的物理性質(zhì)，也揭示了許多可在未來(lái)電子學(xué)、自旋電子學(xué)、光電子學(xué)等領(lǐng)域中進(jìn)行應(yīng)用的前景。為適應(yīng)目前對(duì)二維材料持續(xù)高漲的研究熱情，IOP Publishing Ltd于今年創(chuàng)刊了一本新的雜志2D Materials［18］。

基于目前的這些研究，本文主要綜述由碳（C）、硼氮（BN）、硅（Si）以及二硫化鉬（MoS2）等單元素或雙元素構(gòu)成的二維六角晶體材料中Dirac電子的研究成果和最新進(jìn)展，主要內(nèi)容包括這些材料的空間結(jié)構(gòu)和基本電子性質(zhì)，外場(chǎng)調(diào)控下的能譜和光吸收、量子輸運(yùn)、激子凝聚和熱Josephson效應(yīng)，以及拓?fù)淞孔酉嘧儭?/p>

II.空間結(jié)構(gòu)和基本電子性質(zhì)

本節(jié)我們將重點(diǎn)介紹幾種典型的二維六角晶體材料的空間結(jié)構(gòu)和基本電子性質(zhì)。具體材料包括碳單層和雙層，以及硅、硼氮和二硫化鉬的單層和雙層材料等。雖然實(shí)驗(yàn)上實(shí)際制作和進(jìn)行觀測(cè)的碳單層是平面上略有起皺的結(jié)構(gòu)，但將其看做嚴(yán)格的二維晶體在適當(dāng)?shù)慕葡率强尚械摹?/p>

A.碳單層和雙層

由于實(shí)驗(yàn)上成功地制備碳單層及碳雙層，這掀起了對(duì)二維材料研究的熱潮。為了更好地研究二維材料的性質(zhì)，我們以初始的二維材料，碳單層和雙層，作為考察對(duì)象，分別從實(shí)空間和倒空間兩個(gè)方面來(lái)重點(diǎn)闡述二維六角材料的空間結(jié)構(gòu)以及基本電子性質(zhì)。

1.碳單層的實(shí)空間和倒空間描述

對(duì)于碳基材料，由于碳原子的s軌道與p軌道靠得非常近，這就導(dǎo)致s和p軌道可以通過(guò)不同的方式進(jìn)行軌道雜化，從而形成不同的碳的同素異形體。其中，sp2雜化可以形成所謂的碳單層二維結(jié)構(gòu)［19］，實(shí)驗(yàn)樣品如圖1（a）所示；實(shí)空間的具體結(jié)構(gòu)如圖1（b）所示，它是由兩個(gè)相互嵌套的三角格子組成的二維六角蜂巢復(fù)式晶格。碳單層的一個(gè)原胞中包含兩個(gè)不等價(jià)的碳原子（分別標(biāo)記為A和B），相鄰的每?jī)蓚€(gè)碳原子通過(guò)sp2雜化形成σ共價(jià)鍵緊密地結(jié)合在一起，從而使得碳單層保持穩(wěn)定的二維六角平面結(jié)構(gòu)。

碳單層的兩個(gè)晶格基矢a1，a2可以寫(xiě)為

　圖1.（a）實(shí)驗(yàn)制備的碳單層樣品圖。單層厚度顯示為折疊區(qū)厚度13?與非折疊區(qū)厚度9?之差，約為4?。引自文獻(xiàn)［20］。（b）碳單層的實(shí)空間結(jié)構(gòu)。它由A，B兩個(gè)三角格子嵌套而成。a1和a2為晶格基矢，δi（i=1，2，3）是鍵矢量。（c）碳單層的倒空間Brillouin區(qū)。b1和b2是倒空間的兩個(gè)基矢；Γ，M，K，K′描述的是四個(gè)高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)。引自文獻(xiàn)［5］。

　圖2.通過(guò)π電子緊束縛模型計(jì)算得到的碳單層電子色散關(guān)系。左圖代表整個(gè)能區(qū)，右圖為左圖低能區(qū)的局部放大圖。引自文獻(xiàn)［5］。

由于碳單層中sp2雜化，每個(gè)碳原子上剩下一個(gè)pz軌道電子，其啞鈴狀的波函數(shù)垂直于碳單層表面，與相鄰碳原子的pz軌道電子共價(jià)耦合，形成成鍵態(tài)和反鍵態(tài)，最后分別形成電子能帶中的填滿的價(jià)帶（π帶）和空的導(dǎo)帶（π?帶）。碳單層中的低能電子就是來(lái)自于碳原子的pz軌道貢獻(xiàn)的π電子。在緊束縛近似下，我們只需考慮電子在最近鄰格點(diǎn)間躍遷即可獲得用來(lái)描述低能電子基本性質(zhì)的Hamilton量其中ci和c?i分別表示第i個(gè)原子處湮滅和產(chǎn)生一個(gè)電子的算符。

利用Fourier變換，我們可以得到與Hamilton量式（4）對(duì)應(yīng)的其動(dòng)量空間的形式；進(jìn)一步地在對(duì)動(dòng)量進(jìn)行一階級(jí)數(shù)展開(kāi)的近似處理下［5，20］，系統(tǒng)的低能有效Hamilton量表示為

其中σ=（σx，σy），σ?=（σx，-σy）標(biāo)記的是A、B兩套子格的贗自旋矩陣。和電子真實(shí)自旋類(lèi)似，贗自旋可以改變其向左或向右的方向，指示的是電子位于兩套子格中的哪一個(gè)［21］。我們可以容易地求解Hamilton量式（5）的本征方程［22～24］，得到電子的線性色散關(guān)系

以及它們的旋量波函數(shù)

其中二維波矢k=（kx，ky）的零點(diǎn)取在Brillouin區(qū)高對(duì)稱(chēng)點(diǎn)K或K′兩個(gè)谷位置處，能量的符號(hào)±標(biāo)記的是導(dǎo)帶和價(jià)帶，θk=arctan（ky/kx）是動(dòng)量角，F(xiàn)ermi速度vF=3a0t/（2?）?106m/s。這表明，碳單層中自由運(yùn)動(dòng)的電子為無(wú)質(zhì)量Dirac-Fermi子，其獨(dú)特的Klein隧穿［10］和異常整數(shù)量子Hall效應(yīng)［25］的特性已經(jīng)被實(shí)驗(yàn)所證實(shí)。圖2給出的就是緊束縛模型下碳單層二維晶體的電子能譜：在|E|＜1 eV的范圍內(nèi)色散關(guān)系是線性的，故Hamilton量式（5）是有效的。

2.碳雙層的緊束縛近似

碳雙層是由兩個(gè)碳單層依靠層間van der Waals力耦合堆積起來(lái)的。其每個(gè)原胞中包含四個(gè)碳原子，如圖3所示，下層為A1和B1原子，上層為A2和B2原子。其Brillouin區(qū)與碳單層是一樣的。碳雙層包含四套子格，一般有AA和AB兩種堆積方式，其中頂層的兩套子格分別正對(duì)底層的兩套子格為AA堆積；頂層的一套子格正對(duì)底層的一套子格，而頂層另一套子格正對(duì)底層六角的中心為AB堆積，也叫做Bernal堆積。

圖 3.碳雙層的實(shí)空間結(jié)構(gòu)（上圖）和能帶結(jié)構(gòu)（下圖）。（a）AA堆積，（b）AB堆積。能帶結(jié)構(gòu)改編自文獻(xiàn)［5］。

同樣地利用緊束縛近似，對(duì)照碳單層的Hamilton量式（4），可以把碳雙層的Hamilton量寫(xiě)為

對(duì)于AA堆積的碳雙層，通過(guò)Fourier變換，我們可以得到動(dòng)量空間的Hamilton量。如果以ψ= （ψA1，ψB2，ψA2，ψB1）為基矢，并在K和K′谷的位置附近進(jìn)行級(jí)數(shù)展開(kāi)，則得到低能有效的Hamilton量［26］

其中σ0為2×2的單位矩陣；進(jìn)而得到低能情況下的四個(gè)子帶色散關(guān)系［26］

對(duì)于AB堆積的碳雙層，通過(guò)Fourier變換，我們也可以得到動(dòng)量空間的Hamilton量。如果以ψ= （ψA1，ψB1，ψA2，ψB2）為基矢，則系統(tǒng)在K和K′谷附近的Hamilton量可以寫(xiě)為

四個(gè)子帶的色散關(guān)系為

如圖 3（b）的計(jì)算結(jié)果所示，其中兩條能量分支在Dirac點(diǎn)處接觸，另外兩條分別向上或向下移動(dòng)γ。

由于在一般情況下，F(xiàn)ermi面附近的電子發(fā)揮主要作用，我們可以進(jìn)一步對(duì)AB堆積的四帶Hamilton量進(jìn)行處理，得到低能近似下二帶模型的有效Hamilton量［28］

其中電子有效質(zhì)量m?=γ/2v2F?0.054 me。由此我們可以看出，AB堆積的碳雙層的能帶結(jié)構(gòu)不同于碳單層，它不再具有線性色散關(guān)系，而是具有近似拋物線型的色散關(guān)系，這給碳雙層帶來(lái)不同于碳單層的特殊物理性質(zhì)，例如區(qū)別于碳單層的異常整數(shù)量子Hall效應(yīng)［22］。通過(guò)求解Hamilton量式（13）的本征方程［22［28］

以及其旋量波函數(shù)

B.其它二維六角晶體材料

在碳單層和碳雙層之外，還有許多其它二維六角晶體材料。這些材料具有相同的結(jié)構(gòu)特征，那就是實(shí)空間原子排列的平面投影都具有二維六角蜂巢結(jié)構(gòu)，它們的倒空間結(jié)構(gòu)也相同，包含K和K′兩個(gè)谷。由于構(gòu)成這些六角結(jié)構(gòu)新材料的原子的本身性質(zhì)有差別，以及它們?cè)趯?shí)空間的排布和對(duì)稱(chēng)性存在顯著的差異，這些導(dǎo)致不同物理性質(zhì)的出現(xiàn)。下面我們具體介紹硅、硼氮、二硫化鉬的單層和雙層二維六角結(jié)構(gòu)材料。

1.硅單層和雙層

由于硅原子與碳原子均為第IV主族元素，人們自然會(huì)想到，硅能否形成類(lèi)似于碳單層的單原子層二維薄膜，這是一個(gè)值得考察的問(wèn)題。硅原子外層電子排布為3s23p2，其構(gòu)成的硅單層的硅—硅鍵比碳單層（2s22p2）的碳—碳鍵要弱，其相應(yīng)的鍵長(zhǎng)（0.23 nm）要長(zhǎng)得多。以sp3雜化的硅—硅鍵連接構(gòu)成的正四面體金剛石結(jié)構(gòu)是硅最穩(wěn)定的結(jié)構(gòu)，而由sp2雜化構(gòu)成的完整二維平面結(jié)構(gòu)并不存在。但是密度泛函理論（DFT）計(jì)算發(fā)現(xiàn)，與碳單層的平面蜂巢狀結(jié)構(gòu)不同，硅傾向形成非共面的翹曲結(jié)構(gòu)，即六元環(huán)中屬于同一子格的3個(gè)原子向上翹曲。如圖4（a）、（b）所示，穩(wěn)定的硅單層結(jié)構(gòu)是介于Si（111）的金剛石結(jié)構(gòu)（sp3）和完整平面結(jié)構(gòu)（sp2）之間的低翹曲結(jié)構(gòu)，其上下層原子之間的縱向間距為0.4 ?，這是sp2和sp3雜化軌道混合的結(jié)果。實(shí)驗(yàn)上，可以通過(guò)分子束外延的方法在Ag（111）面上制備硅單層及多層［29～31］，見(jiàn)圖4（c）。

　圖4.具有低翹曲結(jié)構(gòu)的硅單層的晶格結(jié)構(gòu)。（a），（b）分別為硅單層的側(cè)視和俯視的晶格結(jié)構(gòu)。注意A子格（紅色或灰色）和B子格（黃色或淺灰色）不共面。（c）Ag（111）表面上硅單層的高分辨STM形貌圖，顯示了完美的蜂巢狀結(jié)構(gòu)。引自文獻(xiàn)［31］。（d）低翹曲結(jié)構(gòu)硅單層的能帶結(jié)構(gòu)。內(nèi)嵌圖是在K點(diǎn)處放大的能帶結(jié)構(gòu)，顯示由自旋軌道耦合導(dǎo)致的能隙。引自文獻(xiàn)［33，34］。

硅單層的晶體結(jié)構(gòu)與碳單層一樣，均為蜂巢狀結(jié)構(gòu)，由于較長(zhǎng)的硅—硅鍵長(zhǎng)使得硅單層的化學(xué)鍵比碳單層的弱，以及部分sp3雜化軌道的引入，這導(dǎo)致其表現(xiàn)為非共面的翹曲結(jié)構(gòu)。但第一性原理計(jì)算的結(jié)果表明，硅單層的π和π?能帶在Brillouin區(qū)的K和K′點(diǎn)Fermi能級(jí)處交叉，在交叉處附近，能帶也近似地表現(xiàn)出線性行為［32］。因此，在K和K′處的電子行為可以用相對(duì)論性的Dirac理論來(lái)描述。然而，由于翹曲結(jié)構(gòu)的存在，硅原子的自旋軌道耦合（SOC）會(huì)在Dirac點(diǎn)處打開(kāi)一個(gè)能隙［33，34］，其大小為1.55 meV，如圖4（d）所示，這使得硅單層中的載流子應(yīng)該是有質(zhì)量的Dirac-Fermi子。

考慮翹曲結(jié)構(gòu)中內(nèi)稟自旋軌道耦合作用后，系統(tǒng)的低能有效Hamilton量可以表示為［35，36］這里第一項(xiàng)是Dirac電子Hamilton量，ξ=+（-）標(biāo)記的是K（K′）谷，與碳單層中的一致，只是所取坐標(biāo)系（x，y）有所差異；第二項(xiàng)是自旋軌道耦合作用。σ，s標(biāo)記的是兩套子格的贗自旋和電子的真實(shí)自旋，下標(biāo)x，y，z是其分量。需要注意的是，Rashba型的相互作用也存在于硅單層結(jié)構(gòu)之中，但由于較弱而對(duì)能帶的影響較小，這里我們不作進(jìn)一步討論。通過(guò)矩陣對(duì)角化，我們可以容易地求解出體能帶的色散關(guān)系，并確定硅單層的能隙大小為2λSO。更深入的理論處理表明，通過(guò)應(yīng)力的作用控制翹曲結(jié)構(gòu)的變化，可以獲得對(duì)能隙大小的調(diào)控。另外施加電場(chǎng)或照射偏振光，也可以對(duì)硅單層的能帶結(jié)構(gòu)進(jìn)行調(diào)控，實(shí)現(xiàn)許多新奇的量子效應(yīng)，如量子反常Hall絕緣體，谷極化金屬等［35，36］。

由于硅單層的低翹曲結(jié)構(gòu)以及硅雙層間存在的共價(jià)結(jié)合［37～39［40］，即AA底層—底層堆積（AA-bb），AA底層—頂層堆積（AA-bt），AB底層—頂層堆積（AB-bt）和AB底層—底層堆積（AB-bb）。由密度泛函理論計(jì)算發(fā)現(xiàn)，硅雙層的AB-bt堆積是最穩(wěn)定的堆積方式。其它幾種可能的硅雙層堆積最近也已經(jīng)在理論上被研究過(guò)［41］，但實(shí)驗(yàn)上對(duì)硅雙層的制備報(bào)道卻尚少［42，43］，并且對(duì)于其精細(xì)的原子結(jié)構(gòu)及內(nèi)稟的電子性質(zhì)缺乏討論。也正是實(shí)驗(yàn)證據(jù)的不足，使得人們對(duì)硅雙層基本性質(zhì)的研究還處在初始階段。

2.硼氮單層和雙層

我們接下來(lái)介紹二維六角極性晶體材料，那就是由極性硼氮鍵構(gòu)成的硼氮單層和雙層結(jié)構(gòu)。與制備石墨薄膜樣品類(lèi)似，目前實(shí)驗(yàn)上已經(jīng)可以通過(guò)多種方法，包括機(jī)械剝離法［17］、化學(xué)剝落法［44］以及化學(xué)氣相沉積法［45］等來(lái)成功地制備出六角硼氮薄膜材料。

　圖5.（a）硼氮單層的電子能譜。引自文獻(xiàn)［46］。（b）AA堆積的硼氮雙層的電子能譜。（c）AB堆積的硼氮雙層的電子能譜。引自文獻(xiàn)［48］。

從結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)性的角度來(lái)講，硼氮單層不同于碳單層的一個(gè)顯著特征就是，極性共價(jià)鍵的存在使得硼氮二元系統(tǒng)不具有空間反演對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而導(dǎo)致能帶在Dirac點(diǎn)上出現(xiàn)能隙。如圖5（a）所示，二維氮化硼顯示為一個(gè)寬帶隙半導(dǎo)體。π和π?帶來(lái)源于N-pz和B-pz的成鍵和反鍵軌道組合，且在K或K′點(diǎn)打開(kāi)一個(gè)大約為Eg=4 eV的帶隙［46］。用第一性原理計(jì)算所得能帶的低能部分完全可以通過(guò)π電子緊束縛近似來(lái)描述。具體地講，要在Hamilton量式（5）式的基礎(chǔ)上附加一項(xiàng)所謂子格勢(shì)

其中ηi=+（-）分別對(duì)應(yīng)于B（N）原子的格點(diǎn)，2?為兩種原子格點(diǎn)勢(shì)能差。硼氮單層緊束縛參數(shù)?和t的具體取值可見(jiàn)參考文獻(xiàn)［46］。

對(duì)于硼氮雙層晶體，硼氮極性鍵的存在也導(dǎo)致不同于碳雙層的能帶結(jié)構(gòu)。理論和實(shí)驗(yàn)都表明［47，48］，穩(wěn)定的堆積結(jié)構(gòu)有兩種：一種是AA堆積結(jié)構(gòu)，其底層的B（N）原子在頂層N（B）原子的正下（上）方；另一種是AB堆積的硼氮雙層結(jié)構(gòu)，其底層的N原子對(duì)應(yīng)頂層的B原子，底層的B原子對(duì)應(yīng)頂層六角中心。圖5（b）顯示的是廣義梯度近似（GGA）從頭算和緊束縛（TB）計(jì)算的AA堆積的硼氮雙層的電子能譜［48］。圖5（c）給出的是理論計(jì)算的AB堆積的硼氮雙層在K附近的電子能譜［48］。層間距的理論優(yōu)化值大約為3 ?，基本與實(shí)驗(yàn)值吻合。從圖5（b）和5（c）可以看出，AA和AB堆積的雙層結(jié)構(gòu)都顯示出一個(gè)由內(nèi)稟極性硼氮共價(jià)鍵導(dǎo)致的大約4 eV的寬帶隙，并且可以看到緊束縛模型也可以很好地?cái)M合ab從頭算的結(jié)果。這里，硼氮雙層的緊束縛Hamilton量由碳雙層的Hamilton量式（8）附加每層的極性鍵式（17）構(gòu)成。

3.二硫化鉬單層和雙層

基于實(shí)驗(yàn)上對(duì)碳單層成功地從塊材石墨中剝離出來(lái)的方法，Geim研究組使用同樣的方法也成功地剝離出其它二維結(jié)構(gòu)材料，二硫化鉬單層就是其中的一種［16］。圖6（a）是堆積在SiO2襯底上的二硫化鉬單層（0.65 nm）以及多層的原子力顯微鏡觀測(cè)圖［49］。二硫化鉬單層可以看作是強(qiáng)結(jié)合的二維S—Mo—S層組成的三明治結(jié)構(gòu)［50］，即其上下兩層的S原子與中間層的Mo原子以離子鍵的方式結(jié)合，并且上下兩層存在van der Waals相互作用。當(dāng)俯視二硫化鉬單層時(shí)，如圖6（b）所示，其晶體結(jié)構(gòu)與碳單層的晶體結(jié)構(gòu)一樣是二維六角晶格。不同的是，Mo原子周?chē)?個(gè)最近鄰的S原子。理論計(jì)算確認(rèn)，二硫化鉬單層和碳單層有同樣的倒空間圖。前面提到的碳單層是無(wú)能隙的半金屬，而二硫化鉬單層由于Mo原子中存在d軌道，使得材料是具有強(qiáng)的自旋軌道耦合的半導(dǎo)體［51］。

第一性原理計(jì)算發(fā)現(xiàn)，見(jiàn)圖 6（c），二硫化鉬在Dirac點(diǎn)處有直接帶隙（1.9 eV），表現(xiàn)為半導(dǎo)體性質(zhì)，并且價(jià)帶的自旋簡(jiǎn)并被打開(kāi)［52］。從圖6（d）所示的緊束縛近似下的二硫化鉬單層的能帶結(jié)構(gòu)，也可以明顯地看出，二硫化鉬單層是價(jià)帶自旋簡(jiǎn)并被打開(kāi)的有直接帶隙的半導(dǎo)體。此外，從圖6（b）容易看出，與碳單層具有空間反演對(duì)稱(chēng)性不同，二硫化鉬單層結(jié)構(gòu)的空間反演對(duì)稱(chēng)性破缺了。正因?yàn)槿绱耍蚧f單層可以作為一種非常合適的材料被應(yīng)用于光電子及谷電子學(xué)［50，51，53］。

　圖6.（a）置于SiO2襯底上的二硫化鉬薄膜的原子力顯微鏡圖，L表示層數(shù)。引自文獻(xiàn)［49］。（b）二硫化鉬單層晶體結(jié)構(gòu)及俯視圖。引自文獻(xiàn)［50］。（c）第一性原理計(jì)算的二硫化鉬塊材、雙層、單層的能帶結(jié)構(gòu)，其中隨著二硫化鉬堆積層數(shù)減少到單層，帶隙發(fā)生了從間接帶隙到直接帶隙的轉(zhuǎn)變。引自文獻(xiàn)［52］。（d）緊束縛近似下的二硫化鉬單層的能帶結(jié)構(gòu)圖。引自文獻(xiàn)［51］。

理論結(jié)果表明［51］，存在于二硫化鉬單層中的低能電子態(tài)，主要是由Mo原子的d軌道來(lái)貢獻(xiàn)的，系統(tǒng)的低能有效Hamilton量被表示為

這里ξ=+（-）標(biāo)記的是K（K′）谷；?表示子格的在位能；λSO代表由自旋軌道耦合誘導(dǎo)的價(jià)帶自旋劈裂；σ，s代表軌道贗自旋和電子真實(shí)自旋算符，下標(biāo)x，y，z是其分量。

目前，也有研究工作討論二硫化鉬AB堆積雙層結(jié)構(gòu)的電子性質(zhì)［50］，即其底層的Mo原子對(duì)應(yīng)頂層的S原子，底層的S原子對(duì)應(yīng)頂層的六角中心。與二硫化鉬單層不同的是，二硫化鉬雙層是一種具有空間反演對(duì)稱(chēng)性的間接帶隙（1.6 eV）的半導(dǎo)體材料。如圖6（c）所示，第一性原理計(jì)算發(fā)現(xiàn)，二硫化鉬隨著堆積層數(shù)減小到單層，其帶隙發(fā)生了從間接帶隙到直接帶隙的轉(zhuǎn)變［52，54，55］。一方面，在K點(diǎn)附近的能帶是由強(qiáng)局域的Mo原子的d軌道構(gòu)成的，并且由于Mo原子在S—Mo—S原胞的中間位置，導(dǎo)致層間耦合對(duì)K點(diǎn)附近的能帶影響比較小；另一方面，由于在Γ點(diǎn)和間接帶隙點(diǎn)附近的能帶是由Mo原子的d軌道和S原子的pz反鍵軌道線性組合構(gòu)成的，這導(dǎo)致這些能帶與層間耦合有很強(qiáng)的依賴(lài)關(guān)系。這也說(shuō)明為什么二硫化鉬的帶隙隨著堆積層數(shù)減小到單層會(huì)有從間接帶隙到直接帶隙轉(zhuǎn)變的現(xiàn)象。對(duì)于是否存在其它形式堆積的二硫化鉬雙層，目前還尚不清楚，亟需從理論與實(shí)驗(yàn)上作進(jìn)一步的研究［56］。

除以上所述，還有很多其它新奇的二維晶格材料，如二硫化鎢（WS2）、二硒化鎢（WSe2），以及近來(lái)引起研究熱潮的具有褶皺蜂巢結(jié)構(gòu)的黑磷（black phosphorus），它們獨(dú)特的電子性質(zhì)也將帶來(lái)更多實(shí)際的應(yīng)用價(jià)值，可參考相關(guān)文獻(xiàn)［57，58］。

III.能譜和光吸收

本節(jié)首先介紹碳、硅和二硫化鉬單層的光吸收以及碳雙層的磁光吸收，接著考察二維碳單層和雙層在其納米受限結(jié)構(gòu)中的能譜和光吸收性質(zhì)，以及這些性質(zhì)在外場(chǎng)調(diào)控下如何地變化，并著重利用對(duì)稱(chēng)性去分析光吸收譜的變化。

A.二維六角結(jié)構(gòu)體材料的光學(xué)性質(zhì)

在這個(gè)小節(jié)里，我們著重介紹二維無(wú)限大六角晶格系統(tǒng)，如碳單層、碳雙層，硅單層以及二硫化鉬單層，由于能帶結(jié)構(gòu)的差異引起不同的帶間躍遷光吸收性質(zhì)。

1.碳單層的光吸收

在具體考察二維六角晶體材料的光學(xué)性質(zhì)之前，我們先按照光躍遷的一般理論，給出受到電極化沿α方向的光照射時(shí)的吸收譜為［59］

碳單層具有很高的遷移率和幾乎完全的光學(xué)透明度，使得它在電光裝置的應(yīng)用方面有著巨大的潛力。由于帶間和帶內(nèi)躍遷的存在，碳單層可以出現(xiàn)一些特殊的光吸收性質(zhì)，理論上預(yù)言它的光吸收譜在紫外區(qū)域會(huì)出現(xiàn)激子吸收峰［60］；在可見(jiàn)光區(qū)域與頻率無(wú)關(guān)［61］；而在遠(yuǎn)紅外區(qū)域，由于自由載流子的存在，吸收譜上會(huì)出現(xiàn)Drude吸收峰。對(duì)大塊碳單層樣品進(jìn)行的實(shí)驗(yàn)測(cè)量證實(shí)了理論的預(yù)言［62］。

　圖7.在不同襯底上生長(zhǎng)的大塊碳單層（LSG）材料的光吸收譜和透射譜。（a）顯示的是襯底為藍(lán)寶石的情況，理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量的紫外區(qū)域內(nèi)絕對(duì)光吸收譜對(duì)比圖。（b）在沒(méi)有襯底、Si襯底和藍(lán)寶石襯底上生長(zhǎng)的碳單層材料在中紅外至可見(jiàn)光區(qū)域內(nèi)的吸收譜，實(shí)線和虛線分別代表考慮以及沒(méi)有考慮激子效應(yīng)的情況。（c）在SiO2/Si襯底上生長(zhǎng)的碳單層在遠(yuǎn)紅外區(qū)域的光吸收譜，虛線代表Drude模型的擬合結(jié)果。引自文獻(xiàn)［62］。

圖7（a）顯示了實(shí)驗(yàn)上測(cè)得的長(zhǎng)在藍(lán)寶石襯底上的大塊碳單層在紫外區(qū)域的絕對(duì)光吸收譜A（ω），它是以入射光強(qiáng)度為歸一化單位的。從圖中確實(shí)能夠觀察到有明顯的激子吸收峰（?ω=4.6 eV）存在。圖7（b）顯示的是在Si襯底和在藍(lán)寶石襯底上生長(zhǎng)的碳單層材料在中紅外至可見(jiàn)光區(qū)域內(nèi)的吸收譜，Tr（ω）指的是相對(duì)的光透射系數(shù)，它是以襯底的透射強(qiáng)度為歸一化常數(shù)得到的。從圖中的實(shí)線可以看出，當(dāng)激子效應(yīng)被考慮進(jìn)來(lái)之后，吸收（1-Tr（ω））變得和頻率弱相關(guān)。圖7（c）測(cè)量了長(zhǎng)在SiO2/Si襯底上的碳單層在遠(yuǎn)紅外區(qū)域的光吸收譜，可以看到在低頻區(qū)域，由于Drude吸收導(dǎo)致透射系數(shù)下降。對(duì)于理想的碳單層，當(dāng)Fermi能級(jí)處在Dirac點(diǎn)處時(shí)，材料中沒(méi)有自由載流子存在。如果將碳單層放置到襯底材料上，由于襯底上可能有帶電雜質(zhì)，F(xiàn)ermi能級(jí)將發(fā)生移動(dòng)，這時(shí)材料中將出現(xiàn)自由載流子，從而導(dǎo)致Drude吸收。

2.硅單層的光吸收

硅單層與碳單層類(lèi)似，也可以用低能Dirac理論來(lái)描述元激發(fā)。與碳單層不同的是，硅單層中存在較大的自旋軌道耦合能量，使得色散關(guān)系在Dirac點(diǎn)處出現(xiàn)了幾個(gè)毫電子伏的能隙，這個(gè)能隙可以在外加電場(chǎng)的調(diào)節(jié)下逐漸變小，甚至閉合，從而發(fā)生從拓?fù)浣^緣體到能帶絕緣體的轉(zhuǎn)變。當(dāng)有外電場(chǎng)存在的時(shí)候，自旋軌道耦合還會(huì)導(dǎo)致K和K′處的自旋極化不同而且相反。因此，硅單層可以表現(xiàn)出很強(qiáng)的圓二色性，也就是圓偏振光的吸收強(qiáng)烈依賴(lài)于自旋和谷自由度。

當(dāng)外電場(chǎng)為零時(shí)，硅單層是拓?fù)浣^緣體。隨著電場(chǎng)逐漸增加到臨界電場(chǎng)時(shí)，能帶將會(huì)發(fā)生反轉(zhuǎn)，同時(shí)伴隨著光選擇定則的改變。這時(shí)，硅單層變成了能帶絕緣體。因此，可以利用圓二色性來(lái)探測(cè)硅單層的拓?fù)湎嘧儯?3］。

　圖8.（a）硅單層被圓偏振光輻照的示意圖，（b）四種帶間躍遷示意圖，分別用ω1，ω2，ω3，ω4來(lái)表示，（c）在K和K′處，自旋—谷相關(guān)的光選擇定則。引自文獻(xiàn)［63］。

考慮一束圓偏振光輻照到硅單層的表面，如圖8（a）所示，從價(jià)帶到導(dǎo)帶的帶間躍遷一共可分為4種，分別標(biāo)記為ω1，ω2，ω3，ω4，如圖8（b）所示。另外，從圖8（c）中可以看出，光吸收遵循很強(qiáng)的自旋—谷耦合選擇定則，對(duì)于系統(tǒng)是拓?fù)浣^緣體或者能帶絕緣體的情況，光吸收ω1是不同的。例如，在K點(diǎn)處，只有當(dāng)系統(tǒng)是能帶絕緣體的時(shí)候，右圓偏振光才能被吸收；當(dāng)系統(tǒng)是拓?fù)浣^緣體的時(shí)候，左圓偏振光才可以被吸收。

3.二硫化鉬單層的光吸收

對(duì)于二硫化鉬（MoS2）單層來(lái)說(shuō)，也有很類(lèi)似的光吸收性質(zhì)。MoS2單層的俯視圖與硅單層基本相同，它是由兩種不同原子組成的六角晶格結(jié)構(gòu)。與硅單層不同的是，Mo原子與S原子的在位能相差很大，使得MoS2單層的帶隙遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于硅單層。雖然MoS2單層中也有比較強(qiáng)的自旋軌道耦合效應(yīng)，但是在位能的差別占主導(dǎo)地位，自旋軌道耦合產(chǎn)生的能帶劈裂只能對(duì)帶隙大小產(chǎn)生輕微的影響［51，64］。MoS2單層的光吸收性質(zhì)最大的特點(diǎn)體現(xiàn)在，它的任一個(gè)谷對(duì)于不同旋向的光具有不同的吸收效率［53］。如圖9（a）所示，理論上K和K′點(diǎn)只吸收不同旋向的圓偏振光。

　圖9.（a）MoS2單層中K和K′點(diǎn)吸收?qǐng)A偏振光的旋向示意圖。（b）MoS2單層受激發(fā)光譜的圓偏振程度測(cè)量數(shù)據(jù)。黑色是入射激光為右旋光時(shí)出射的右旋光偏振率，紅色是入射激光為左旋光時(shí)出射的左旋光偏振率。引自文獻(xiàn)［53］。

實(shí)驗(yàn)觀測(cè)中，使用MoS2單層的受激發(fā)光譜，測(cè)量MoS2單層發(fā)出的不同旋向光的偏振程度，如圖9（b）所示，MoS2單層經(jīng)過(guò)圓偏振的HeNe激光器的照射之后，得到所放出的光譜旋向偏振度實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)圖，從圖中可以觀察到，在不同旋向的圓偏振光照射下，MoS2單層放出的光的旋向偏振程度可以達(dá)到32±2%，與入射激光的旋向相同。這充分說(shuō)明，任何一個(gè)谷對(duì)于不同旋向的偏振光的吸收是不同的。

4.碳雙層的磁光吸收

當(dāng)加上一個(gè)垂直磁場(chǎng)后，通常二維電子氣（2DEG）的能譜變成一系列等間距的Landau能級(jí)（LLs）。與此不同，對(duì)于有限碳層，其獨(dú)特的能量色散關(guān)系會(huì)導(dǎo)致不尋常的Landau能譜。實(shí)驗(yàn)上，利用光學(xué)測(cè)量方法，如回旋共振［65，66］，Raman散射［67～69］，以及遠(yuǎn)紅外磁光吸收［70～78］，碳單、雙層的Landau能譜結(jié)構(gòu)已經(jīng)被仔細(xì)研究過(guò)。在所有這些實(shí)驗(yàn)技術(shù)中，Landau能級(jí)間的紅外磁光吸收被認(rèn)為是一種直接而準(zhǔn)確的工具，用來(lái)探測(cè)碳單層和雙層中Dirac點(diǎn)附近的能帶結(jié)構(gòu)。

　圖10.在（a）U=50 meV和（b）U=200 meV時(shí)的偏壓碳雙層中，前五個(gè) Landau能級(jí)隨磁場(chǎng)強(qiáng)度 B的變化規(guī)律。（c）在 B=2 T時(shí)，碳雙層中前五個(gè)Landau能級(jí)隨層間偏壓U的變化規(guī)律。（d）近鄰Landau能級(jí)的交點(diǎn)對(duì)外加磁場(chǎng)B和層間偏壓U組合配置的依賴(lài)關(guān)系。符號(hào)Ln1n2表示帶有不同指標(biāo)n1和n2的Landau能級(jí)間的交叉。引自文獻(xiàn)［79］。

下面我們分析在外加磁場(chǎng)和電場(chǎng)共同作用下AB堆積碳雙層中的Landau能譜和帶內(nèi)磁光吸收，揭示該系統(tǒng)中的Landau能級(jí)和磁光吸收對(duì)磁場(chǎng)和電場(chǎng)組合配置的依賴(lài)關(guān)系［79］。對(duì)于相應(yīng)的AA堆積碳雙層，甚至在非均勻磁場(chǎng)下，也可以分析其Landau能譜及有關(guān)的性質(zhì)［80］。

　圖11.帶內(nèi)磁光吸收隨外磁場(chǎng)B和光子能量?ω變化的等高圖.這里考慮兩種不同的層間偏壓U：（a）U=50 meV；（b）U=200 meV。引自文獻(xiàn)［79］。

從圖10（a）和10（b）可以看出，對(duì)于較小的U值，能級(jí)間的交叉幾乎看不見(jiàn)，對(duì)于較大的U，有明顯的Landau能級(jí)交叉和反交叉。圖10（c）表明，對(duì)于一個(gè)較小的磁場(chǎng)，通過(guò)改變層間偏壓U，Landau能級(jí)間的交叉也會(huì)發(fā)生。這是因?yàn)榧悠珘旱奶茧p層Landau能級(jí)譜是隨著U的增加，可能出現(xiàn)具有不同動(dòng)量值的一對(duì)簡(jiǎn)并的能量態(tài)，從而當(dāng)磁場(chǎng)加入后會(huì)出現(xiàn)帶有不同指標(biāo)的Landau能級(jí)的簡(jiǎn)并。在這些簡(jiǎn)并點(diǎn)Landau能級(jí)發(fā)生“崩潰”（collapse），相關(guān)的能級(jí)次序也將發(fā)生改變。圖10（d）中畫(huà)了近鄰Landau能級(jí)交點(diǎn)對(duì)磁場(chǎng)和層間偏壓組合配置的依賴(lài)關(guān)系，從圖中我們能夠確定在這些交點(diǎn)處的U和B值。

對(duì)于兩種不同的層間偏壓U，前五個(gè)Landau能級(jí)間的帶內(nèi)磁光吸收隨磁場(chǎng)和光子能量變化的等高圖顯示在圖11中?？梢钥闯?，對(duì)于較大的層間電勢(shì)差，光吸收中出現(xiàn)一個(gè)令人吃驚的現(xiàn)象：在一些特定的B值，典型的吸收會(huì)消失。發(fā)生這種現(xiàn)象的原因是，對(duì)于大的U，碳雙層中近鄰Landau能級(jí)會(huì)在一些滿足式（21）的特定B值處相交，這也可以從圖10（d）中看出，因此相應(yīng)的光吸收會(huì)在這些交點(diǎn)處消失。當(dāng)然固定B，對(duì)于一些特定的U值，典型的吸收能量也會(huì)消失。

B.碳單層納米結(jié)構(gòu)的光吸收

接下來(lái)，我們主要介紹碳單層納米條帶和碳單層量子點(diǎn)這兩種受限納米結(jié)構(gòu)的能譜和光吸收性質(zhì)。

1.碳單層納米條帶的光吸收

碳單層納米條帶（GNR）的光學(xué)性質(zhì)也已經(jīng)被許多人研究過(guò)了［81～88］。由于其寬度有限，本征態(tài)沿著橫向（y方向）是對(duì)稱(chēng)或者反對(duì)稱(chēng)的，因此躍遷選擇定則會(huì)發(fā)生一些變化。而且，GNR中存在的邊態(tài)對(duì)光吸收起很重要的作用，許多吸收峰都是由邊態(tài)貢獻(xiàn)的。描述GNR的緊束縛Hamilton量可以寫(xiě)成

其中|i>是格點(diǎn)i處的π態(tài)，t是躍遷積分，而對(duì)第n個(gè)能級(jí)，波矢為k的本征態(tài)用|n，k>來(lái)標(biāo)記。

考慮12-ZGNR代表一個(gè)寬度為12條鏈的鋸齒型碳單層納米條帶。其沿著y方向的勢(shì)是對(duì)稱(chēng)的，因此它的本征態(tài)沿著y方向也是對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的，可以表示成<-y|n，k>=±。圖12（a）顯示了 12-ZGNR的能帶結(jié)構(gòu)［89，90］。 其中黑虛線代表12-ZGNR的橫向?qū)ΨQ(chēng)態(tài)，紅實(shí)線代表橫向反對(duì)稱(chēng)態(tài)，如果 n是奇數(shù)，|n，k>是對(duì)稱(chēng)的，反之則是反對(duì)稱(chēng)的。當(dāng)入射光束的偏振方向沿著平行于納米條帶方向，只有相同宇稱(chēng)的態(tài)之間能夠發(fā)生躍遷。

　圖12.（a）12-ZGNR的能帶結(jié)構(gòu)，黑虛線代表橫向?qū)ΨQ(chēng)性，紅實(shí)線代表橫向反對(duì)稱(chēng)性。在這兩種情況中，當(dāng)入射光束的偏振方向沿著縱向時(shí)，只有相同顏色和線型的態(tài)之間才能發(fā)生躍遷。（b）12-ZGNR的聯(lián)合態(tài)密度，（c）12-ZGNR的吸收譜。引自文獻(xiàn)［81］。

圖12（b）和12（c）顯示了聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。對(duì)于納米條帶，如果入射光的偏振沿著縱向，直接帶隙間的躍遷不能發(fā)生。在圖12（a）中，我們可以看到在k=0.714π/a處，n=11子帶（黑色虛線）和n=14子帶（紅色實(shí)線）之間存在直接帶隙，這使得聯(lián)合態(tài)密度在ω=0.0772 a.u.處有峰出現(xiàn)，如圖所示12（b）所示。但是這兩個(gè)態(tài)的宇稱(chēng)不同，躍遷不能夠發(fā)生。所以圖12（c）中ω=0.0772處沒(méi)有吸收峰。盡管12-ZGNR是金屬性的，但是由于n=12和n=13的態(tài)具有不同的宇稱(chēng)，躍遷不能發(fā)生，所以它的吸收譜在低頻區(qū)域仍為0。另外，鋸齒型納米條帶中有邊態(tài)存在，k＞0.74π/a，n等于12和13的態(tài)|n，k>就表示邊態(tài)。邊態(tài)對(duì)帶間躍遷起很重要的作用，在圖12（c）中，ω=0.0423，0.0834，0.1081 a.u.處的吸收峰來(lái)自于邊態(tài)。另一方面，增加條帶的寬度不會(huì)使其光學(xué)響應(yīng)發(fā)生太大改變，唯一的差別是出現(xiàn)了更多的吸收峰。

2.無(wú)外場(chǎng)時(shí)碳單層量子點(diǎn)的光吸收

由于Klein隧穿，碳單層量子點(diǎn)不能夠像半導(dǎo)體量子點(diǎn)那樣通過(guò)靜電受限形成。然而，通過(guò)一些化學(xué)方法、物理蝕刻或者裁剪方法，不同尺寸和形狀的碳單層量子點(diǎn)已經(jīng)在實(shí)驗(yàn)上制備出來(lái)了［91～95］。這些量子點(diǎn)的電子性質(zhì)受尺寸和形狀的影響很大。對(duì)于一個(gè)三角鋸齒型碳單層量子點(diǎn)，已經(jīng)有許多課題組研究過(guò)它的性質(zhì)［96～101］。它有簡(jiǎn)并的零能態(tài)存在，簡(jiǎn)并度正比于量子點(diǎn)的邊尺寸。由于對(duì)態(tài)密度的貢獻(xiàn)，這些零能態(tài)是非常重要的［96，98，102］。

特別重要的是，碳單層量子點(diǎn)的光學(xué)性質(zhì)使得它在光電器件方面有著許多潛在的應(yīng)用，同時(shí)其光吸收譜也是研究材料電子結(jié)構(gòu)的有力工具。T.Yamamoto等人在理論上研究過(guò)邊態(tài)對(duì)三角形碳單層量子點(diǎn)光吸收譜的影響，從而間接反映邊態(tài)的特征［96］。圖13顯示了兩個(gè)不同尺寸的三角鋸齒型碳單層量子點(diǎn)的態(tài)密度（DOS）。曲線在E=0處有一個(gè)主峰，這個(gè)主峰來(lái)源于（Nz-1）個(gè)簡(jiǎn)并的零能態(tài)，Nz是量子點(diǎn)邊界的原子數(shù)目。這（Nz-1）個(gè)簡(jiǎn)并態(tài)被（Nz-1）個(gè)電子占據(jù)，而且電子的密度主要聚集在三角鋸齒型碳單層量子點(diǎn)的邊界原子上。因此，這些簡(jiǎn)并態(tài)也叫做邊態(tài)。

　圖13.三角鋸齒型碳單層量子點(diǎn)態(tài)密度。（a）Nz=4，（b）Nz=10。虛線表示二維無(wú)限大碳單層材料的態(tài)密度。引自文獻(xiàn)［96］。

圖14主要表達(dá)邊態(tài)對(duì)三角鋸齒型碳單層量子點(diǎn)光吸收譜的影響。曲線描述了通過(guò)緊束縛模型計(jì)算的不同尺寸三角鋸齒型量子點(diǎn)的平均光吸收譜σ（ω）=［σx（ω）+σy（ω）］/2Ntot，這里Ntot是總的原子數(shù)。陰影區(qū)域代表了邊態(tài)對(duì)光吸收譜的貢獻(xiàn)?？梢钥闯?，當(dāng)量子點(diǎn)尺寸比較小的時(shí)候，在可見(jiàn)光區(qū)域的光吸收主要由邊態(tài)貢獻(xiàn)，而隨著量子點(diǎn)尺寸的增大，邊態(tài)的貢獻(xiàn)將會(huì)變小。這些結(jié)果反映了邊態(tài)數(shù)目在所有態(tài)中占的比重，從而邊態(tài)所導(dǎo)致的定性特征可以從光吸收譜上看出來(lái)。

緊接著，又有人利用緊束縛模型研究了六角碳單層量子點(diǎn)的電子結(jié)構(gòu)和光學(xué)性質(zhì)［103］。圖15（a）和15（b）分別顯示了不同尺寸鋸齒型和扶手椅型的六角量子點(diǎn)態(tài)密度?？梢钥闯?，尺寸小的鋸齒型量子點(diǎn)中沒(méi)有邊態(tài)出現(xiàn)，隨著尺寸的增大，零能處的邊態(tài)開(kāi)始出現(xiàn)。而對(duì)于扶手椅型量子點(diǎn)，不管尺寸如何變化，始終沒(méi)有邊態(tài)出現(xiàn)。為了說(shuō)明邊態(tài)是如何出現(xiàn)的，圖15（c）畫(huà)了能隙隨量子點(diǎn)尺寸變化的曲線?？梢钥闯觯S著尺寸的增大，能隙一直在減小，比較有趣地是，鋸齒型量子點(diǎn)的能隙很快就降到零，而扶手椅型的則很慢，只有當(dāng)扶手椅型量子點(diǎn)的尺寸達(dá)到無(wú)窮大的時(shí)候，能隙才能降到零。

圖16顯示了六角量子點(diǎn)系統(tǒng)的光吸收譜。利用對(duì)稱(chēng)性可以對(duì)吸收峰進(jìn)行分析［104，105］，動(dòng)量算符px和py有E2對(duì)稱(chēng)性。E2和C6v群的直積結(jié)果如下：

　圖14.利用緊束縛計(jì)算得到的三角鋸齒型碳單層量子點(diǎn)光吸收譜。（a）Nz=4，（b）Nz=10。虛線表示二維無(wú)限大碳單層材料的態(tài)密度。內(nèi)嵌圖表示利用時(shí)間相關(guān)的密度泛函理論求得的Nz=4量子點(diǎn)吸收譜。引自文獻(xiàn)［96］。

　圖15.（a）鋸齒型和（b）扶手椅型各三個(gè)不同尺寸量子點(diǎn)的態(tài)密度。（c）鋸齒型和扶手椅型量子點(diǎn)的能隙作為量子點(diǎn)尺寸的函數(shù)。引自文獻(xiàn)［103］。

然后將量子點(diǎn)能級(jí)所屬的對(duì)稱(chēng)性分成兩組，分別為 A1，A3，E1∈?1，A2，A4，E2∈?2。對(duì)稱(chēng)性要求只有屬于不同組的價(jià)帶和導(dǎo)帶之間才能夠發(fā)生躍遷，注意到躍遷中的初態(tài)或者末態(tài)屬于E1或者E2表示。圖16（a）和16（d）對(duì)Nz=12和Na=9的碳單層量子點(diǎn)在Dirac點(diǎn)附近的能級(jí)結(jié)構(gòu)進(jìn)行了標(biāo)注。導(dǎo)帶Ci和價(jià)帶能級(jí)Vi屬于不同分組?1和?2。對(duì)于Nz為偶數(shù)的鋸齒型量子點(diǎn)，從下至上導(dǎo)帶能級(jí)分別為E2，A3，E1，A2等，而相應(yīng)的價(jià)帶能級(jí)分別為E1，A4，E2，A1等。而如果Nz為奇數(shù)，導(dǎo)帶能級(jí)的對(duì)稱(chēng)性為E1，A4，E2，A1，這與Nz為偶數(shù)時(shí)的導(dǎo)帶能級(jí)對(duì)稱(chēng)性相反。對(duì)于扶手椅型碳單層量子點(diǎn)，最低導(dǎo)帶能級(jí)的對(duì)稱(chēng)性總是E1，A4，A2，E2等，而且這個(gè)順序和量子點(diǎn)的尺寸Na無(wú)關(guān)。

　圖16.（a）和（d）分別是Nz=12鋸齒型量子點(diǎn)和Na=9扶手椅型量子點(diǎn)的能譜圖。不同的顏色和線型代表不同的對(duì)稱(chēng)性。（b）和（c）分別是Nz=12鋸齒型量子點(diǎn)的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。（e）和（f）分別是Na=9扶手椅型量子點(diǎn)的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。引自文獻(xiàn)［103］。

對(duì)于Nz=12的鋸齒型六角量子點(diǎn)，最低的光吸收峰A對(duì)應(yīng)于有E2對(duì)稱(chēng)性的最低導(dǎo)帶能級(jí)C1和有E1對(duì)稱(chēng)性的最高價(jià)帶能級(jí)V1之間的躍遷。第二個(gè)吸收峰B來(lái)自有A3（E1）對(duì)稱(chēng)性的能級(jí)C2（C3）和有E2（A4）對(duì)稱(chēng)性的能級(jí)V3（V2）之間的躍遷，第三個(gè)吸收峰C來(lái)自于能級(jí)C1（C4）和V4（V1）之間的躍遷。強(qiáng)的吸收峰D出現(xiàn)在E=0.26 eV處，對(duì)應(yīng)于有E1對(duì)稱(chēng)性的C3和有E2對(duì)稱(chēng)性的V3之間的躍遷。

對(duì)于Na=9的扶手椅型量子點(diǎn)，最低的吸收峰A類(lèi)似于鋸齒型的情況，來(lái)自于C1和V1之間的躍遷；第二個(gè)吸收峰B來(lái)自有A4（E2）對(duì)稱(chēng)性的能級(jí)C2（C4）和有E1（A3）對(duì)稱(chēng)性的能級(jí)V4（V2）之間的躍遷；第三個(gè)強(qiáng)的吸收峰C來(lái)自于有E2對(duì)稱(chēng)性的能級(jí)C4和有E1對(duì)稱(chēng)性的能級(jí)V4之間的躍遷。可見(jiàn)當(dāng)初態(tài)Ci和末態(tài)Vi有E1或者E2對(duì)稱(chēng)性時(shí)，會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)的吸收。無(wú)論是扶手椅型還是鋸齒型的量子點(diǎn)，隨著量子點(diǎn)的尺寸增大，吸收峰都會(huì)移到長(zhǎng)波范圍，而且鋸齒型的峰移比扶手椅型的更快。

3.應(yīng)變調(diào)控下碳單層量子點(diǎn)的光吸收

對(duì)于碳單層受限結(jié)構(gòu)，如量子環(huán)和量子點(diǎn)，我們可以仍然像III.A4中那樣采用磁場(chǎng)來(lái)調(diào)控它們的能譜及其光學(xué)性質(zhì)［106，107］。作為另一種手段，應(yīng)變也是碳單層實(shí)驗(yàn)研究中十分有效的。它來(lái)源于晶格的拉伸或者壓縮［108～111］，通過(guò)改變?cè)娱g的距離來(lái)改變碳單層的能帶結(jié)構(gòu)，從而影響碳單層的電子輸運(yùn)、熱輸運(yùn)和光吸收性質(zhì)［112～116］。在這里我們主要關(guān)注應(yīng)變對(duì)碳單層量子點(diǎn)能譜結(jié)構(gòu)和光學(xué)性質(zhì)的影響［116］。

　圖17.一個(gè)碳單層量子點(diǎn)的結(jié)構(gòu)圖。δl（l=1，2，3）代表最近鄰矢量。實(shí)心和空心圓分別代表蜂巢晶格中兩種不同的子格。Nz等于6。A表示一個(gè)邊界原子。

單軸應(yīng)變可以通過(guò)控制彈性襯底獲得［110］：將一個(gè)碳單層量子點(diǎn)放置在彈性襯底上（例如，可拉伸的低密度聚乙烯襯底），再通過(guò)機(jī)械裝置拉伸襯底。因?yàn)樘紗螌邮欠浅１〉模趶椥砸r底和量子點(diǎn)之間的van der Waals力是足夠強(qiáng)的，能夠?qū)?yīng)變施加到碳單層量子點(diǎn)上，也就是在拉伸過(guò)程中碳單層量子點(diǎn)沒(méi)有發(fā)生滑移［111］。而且，相對(duì)于大尺寸的碳單層量子點(diǎn)而言，小尺寸的碳單層量子點(diǎn)能夠更完全地吸附到襯底上，所以單軸應(yīng)變可以很容易地施加到碳單層量子點(diǎn)上。通過(guò)對(duì)角化方程（24）中的Hamilton量，我們可以得到發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)能級(jí)結(jié)構(gòu)，進(jìn)而可以再利用方程（19）得到相應(yīng)光吸收譜的變化。

能譜及其與對(duì)稱(chēng)性的關(guān)系 從群論的角度可以對(duì)光吸收譜作一個(gè)分析［104］。以尺寸為 Nz=6（總的碳原子數(shù)為61）的碳單層量子點(diǎn)為例進(jìn)行討論。圖18（a），18（b），18（c）顯示了未發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)和發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)的部分能譜。很明顯，未發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)屬于C3v群，它的群元有不變操作E，兩個(gè)三度旋轉(zhuǎn)操作2C3和三個(gè)鏡面反射操作3σv。很方便地可以得到每個(gè)能級(jí)的特征標(biāo)。

根據(jù)C3v群的特征標(biāo)表（104），我們能將每個(gè)能級(jí)的表示寫(xiě)成不可約表示的形式：C4→A1⊕E，C3→E，C2→A2，C1→A1，C0→2E⊕A2，V1→A1，V2→A2，V3→E，V4→A1⊕E。另外，動(dòng)量算符px和py具有E對(duì)稱(chēng)。E和每個(gè)能級(jí)表示的直積結(jié)果如下：

從方程（25）可以看出，對(duì)于未發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)，躍遷 C0→ C1，2，3，4，V1，2→ C0，3，4，V3，4→C0，1，2，3，4是允許的，V1，2→ C1，2是禁止的。 在圖18（e）中，第一個(gè)吸收峰對(duì)應(yīng)于C0→ C2，V2→C0的躍遷。 這里由于吸收峰存在展寬，來(lái)自躍遷C0→ C1和V1→ C0的吸收峰在吸收譜上找不到。類(lèi)似地，我們也可以知道其它吸收峰的來(lái)源。

如果沿著鋸齒方向施加一個(gè)單軸應(yīng)變，系統(tǒng)屬于Cs群，這是C3v群的子群，只有兩個(gè)群元E和σv。因?yàn)橄到y(tǒng)的對(duì)稱(chēng)性降低，能級(jí)簡(jiǎn)并度也會(huì)下降。圖18（b）是應(yīng)變?chǔ)?0.06的能級(jí)圖。同樣地，我們先計(jì)算出每個(gè)能級(jí)的特征標(biāo)，再根據(jù)群Cs的特征標(biāo)表，給出每個(gè)能級(jí)的表示：C1，3→Γ1，C2，4→Γ2，C0→3Γ2⊕2Γ1，V1，3→Γ1，V2，4→Γ2。值得注意的是，在這種情況中動(dòng)量算符 px有Γ2對(duì)稱(chēng)性，而py有Γ1對(duì)稱(chēng)性，所以吸收譜σx和σy不同。下面我們列出Γ1，Γ2和每個(gè)能級(jí)表示的直積結(jié)果為

　圖18.（a）～（c）分別是Nz=6的碳單層量子點(diǎn)未受到單軸應(yīng)變，受到沿鋸齒方向的單軸應(yīng)變?chǔ)?0.06，以及受到沿扶手椅方向的單軸應(yīng)變?chǔ)?0.06的能級(jí)結(jié)構(gòu)圖，這里η是發(fā)生形變之后，晶格距離的變化量與發(fā)生形變前晶格距離的比值。能級(jí)所屬的不可約表示在圖中已經(jīng)標(biāo)注出來(lái)。（d），（e）是未發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜σx（y）。（f）～（h）是受到沿鋸齒方向的單軸應(yīng)變?chǔ)?0.06后，聯(lián)合態(tài)密度以及光吸收譜σx和σy。（i）～（k）和（f）～（h）類(lèi)似，只不過(guò)對(duì)應(yīng)于單軸應(yīng)變?chǔ)?0.06沿扶手椅方向的情況。這里我們利用了展寬因子為0.05 eV的Lorentz函數(shù)。為了清楚地顯示，一些能級(jí)用虛線標(biāo)出。引自文獻(xiàn)［116］。

和

從方程（27）我們可以看出，對(duì)于吸收譜σx，躍遷C0→ C1，2，3，4，V1，3→ C0，2，4，V2，4→ C0，1，3是允許的，V1，3→ C1，3，V2，4→ C2，4是禁止的；而對(duì)于σy，情況會(huì)變得不一樣， 躍遷 C0→ C1，2，3，4，V1，3→C0，1，3，V2，4→ C0，2，4是允許的，V1，3→ C2，4，V2，4→C1，3是禁止的。在圖18（g）所示的吸收譜σx以及圖 18（h）所示的吸收譜 σy中， 前四個(gè)峰來(lái)源于躍遷 C0→ C1，2，3，4和 V1，2，3，4→ C0。在兩幅圖中的峰5，6，7，8都來(lái)自于零能態(tài)和其它態(tài)（能譜中沒(méi)有畫(huà)出來(lái)）的躍遷。 在圖 18（g）中的峰 9對(duì)應(yīng)于有Γ2對(duì)稱(chēng)性的V2和有Γ1對(duì)稱(chēng)性的C3之間的躍遷，而在圖18（h）中，第9個(gè)峰對(duì)應(yīng)于有 Γ1對(duì)稱(chēng)性的V1和有 Γ1對(duì)稱(chēng)性的 C3之間的躍遷。圖18（c），18（i）～18（k）中展現(xiàn)的是外加應(yīng)變沿著扶手椅方向的情況。相關(guān)的分析和前面類(lèi)似，所以在這里不再作細(xì)節(jié)上的討論。

　圖19.（a）和（b）分別表示單軸應(yīng)變沿著鋸齒方向和扶手椅方向時(shí)，Nz=6的碳單層量子點(diǎn)的能譜隨著單軸應(yīng)變?chǔ)堑淖兓＃╟）和（d）則分別對(duì)應(yīng)于（a），（b）中的能隙作為η的函數(shù)。引自文獻(xiàn)［116］。

　圖 20.（a）～（c）分別給出 Nz=6的碳單層量子點(diǎn)受到沿鋸齒方向不同應(yīng)變后的聯(lián)合態(tài)密度 JDOS， 光吸收譜σx和σy。（d）～（f）和（a）～（c）類(lèi)似，只是單軸應(yīng)變沿著扶手椅方向。在（b），（c），（e），（f）中，隨著拉伸應(yīng)變的增加，能夠觀察到紅移，隨著壓縮應(yīng)變的增加能夠觀察到藍(lán)移。在這些圖中，為便于觀察，每條曲線的基準(zhǔn)線都進(jìn)行了豎直方向的平移。引自文獻(xiàn)［116］。

應(yīng)變傳感器 圖19顯示了Nz=6的碳單層量子點(diǎn)能譜隨應(yīng)變的變化曲線，可以清楚地看出，拉伸應(yīng)變（正值）和壓縮應(yīng)變（負(fù)值）都能夠很有效地調(diào)控能級(jí)結(jié)構(gòu)。應(yīng)該注意到，碳單層裝置的應(yīng)變工程只在很小的應(yīng)變范圍內(nèi)有效，所以我們?cè)谶@里變化的應(yīng)變范圍從-0.06到0.06。

　圖21.Nz=10的碳單層量子點(diǎn)光吸收譜σx。（a）對(duì)應(yīng)于應(yīng)變?yōu)?，εF=0，（b）和（c）分別對(duì)應(yīng)于扶手椅方向受到單軸拉伸應(yīng)變?chǔ)?0.06，εF=0以及εF=1.185 eV。（d）～（f）是對(duì)應(yīng)于（a）～（c）的能譜圖。能級(jí)的不可約表示已標(biāo)注在圖中。（f）中的虛線代表Fermi能級(jí)的位置。引自文獻(xiàn)［116］。

圖20顯示了Nz=6的碳單層量子點(diǎn)在受到不同應(yīng)力作用下的聯(lián)合態(tài)密度和光吸收譜。從圖中可以看出，單軸應(yīng)變可以很明顯地調(diào)控光吸收譜。當(dāng)應(yīng)力沿著鋸齒方向時(shí)，如圖20（b）和20（c）所示，隨著單軸拉伸應(yīng)變從0變到0.06，σx和σy的主吸收峰都有紅移現(xiàn)象，而隨著壓縮應(yīng)變從0增大到-0.06，主吸收峰有藍(lán)移現(xiàn)象。類(lèi)似地，當(dāng)應(yīng)力沿著扶手椅方向時(shí)，如圖20（e）和20（f）所示，σx和σy的吸收峰也有紅移或者藍(lán)移出現(xiàn)。紅移（藍(lán)移）的出現(xiàn)是由于當(dāng)一個(gè)拉伸（壓縮）應(yīng)力不論沿著鋸齒方向還是扶手椅方向施加到碳單層量子點(diǎn)上時(shí)，能譜的范圍都會(huì)變窄（變寬），相應(yīng)地，所允許的初態(tài)和末態(tài)之間的吸收能變低（高）。

研究不同尺寸的碳單層量子點(diǎn)在應(yīng)變下的光吸收譜可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于較小尺寸的量子點(diǎn)，主吸收峰的紅移和藍(lán)移會(huì)變得模糊；而對(duì)于較大尺寸的量子點(diǎn)，紅移和藍(lán)移現(xiàn)象將被清楚地觀察到。因此，可以設(shè)計(jì)一個(gè)基于應(yīng)變調(diào)控的碳單層量子點(diǎn)傳感器，通過(guò)監(jiān)測(cè)其光吸收譜上峰的移動(dòng)來(lái)判斷應(yīng)力（拉伸應(yīng)力或者壓縮應(yīng)力）的大小和種類(lèi)。

遠(yuǎn)紅外吸收 從圖21（a）可以看出，對(duì)于Nz= 10且沒(méi)有發(fā)生應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)，吸收譜σx上的第一個(gè)主吸收峰出現(xiàn)在能量為?ω=1.29 eV（波長(zhǎng)為0.96μm）處。如果我們施加扶手椅方向的單軸應(yīng)變?chǔ)?0.06，第一個(gè)主吸收峰將移到能量為?ω= 1.187 eV（波長(zhǎng)為1.05μm）處，如圖21（b）所示。緊接著我們又調(diào)節(jié)Fermi能級(jí)，在遠(yuǎn)紅外區(qū)域可以發(fā)現(xiàn)，能量為?ω=0.003 eV（波長(zhǎng)為414μm）處有明顯的吸收峰，如圖21（c）所示。

利用群論分析可以知道，對(duì)于未發(fā)生應(yīng)變的情況，第一個(gè)峰對(duì)應(yīng)于能級(jí)C0到C1（=1.29 eV）之間的躍遷，以及能級(jí)V1（=-1.29 eV）到C0之間的躍遷，所以吸收能處在?ω=1.29 eV處，如圖21（d）所示。當(dāng)應(yīng)變?chǔ)?0.06施加到量子點(diǎn)上，吸收譜上的第一個(gè)吸收峰來(lái)自于C0到C2（=1.187 eV）之間的躍遷，和V2（= -1.187 eV）到C0之間的躍遷，因此吸收能變?yōu)?ω= 1.187 eV。當(dāng)Fermi能級(jí)調(diào)到1.185 eV處，第一個(gè)吸收峰來(lái)自于C1（=1.184 eV）到C2（=1.187 eV）之間的躍遷，這導(dǎo)致一個(gè)非常低的吸收能?ω=0.003 eV，如圖21（f）所示。因此，通過(guò)移動(dòng)發(fā)生應(yīng)變的量子點(diǎn)的Fermi能級(jí)，我們可以在遠(yuǎn)紅外區(qū)域獲得很明顯的吸收峰，這意味著實(shí)現(xiàn)基于調(diào)控應(yīng)變的碳單層量子點(diǎn)的光探測(cè)器是可行的。

IV.量子輸運(yùn)

自從碳單層被成功制備以來(lái)，相對(duì)論性Dirac電子在低維系統(tǒng)的輸運(yùn)行為一直是凝聚態(tài)物理的研究熱點(diǎn)之一。在本節(jié)中，我們將詳細(xì)討論Dirac電子在靜電勢(shì)壘作用下一些新奇的隧穿現(xiàn)象和類(lèi)光輸運(yùn)行為，以及外場(chǎng)驅(qū)動(dòng)下有限尺寸納米條帶的輸運(yùn)性質(zhì)，但不準(zhǔn)備涉及量子Hall效應(yīng)［111］。

A.靜電勢(shì)壘的Dirac電子隧穿

由于碳單層是二維零帶隙半導(dǎo)體，具有線性的色散關(guān)系，電子在傳播過(guò)程中理應(yīng)顯示出不同于普通非相對(duì)論性電子的行為。至今，無(wú)論在p-n結(jié)，雙勢(shì)壘，甚至超晶格等結(jié)構(gòu)中，Dirac電子的輸運(yùn)性質(zhì)已經(jīng)被廣泛地研究。在處理這類(lèi)問(wèn)題時(shí)，波函數(shù)銜接方法仍然被認(rèn)為是最簡(jiǎn)單也是最直接的量子力學(xué)研究方法。它直接體現(xiàn)了粒子穿過(guò)某個(gè)勢(shì)壘（勢(shì)阱）的透射幾率。在隧穿過(guò)程中，除了Klein隧穿［23］，還可以發(fā)現(xiàn)有許多有趣的類(lèi)光現(xiàn)象，如負(fù)折射［117］，電子超準(zhǔn)直［118］，Goos-H¨anchen位移［119］，波導(dǎo)［120］等。如考慮自旋軌道耦合、鐵磁交換場(chǎng)、應(yīng)力等因素，則會(huì)產(chǎn)生和電子自旋或谷相關(guān)的量子輸運(yùn)行為［121～123］。接下來(lái)我們將重點(diǎn)介紹單和雙靜電勢(shì)壘下Dirac電子的Klein隧穿、Veselago透鏡、Goos-H¨anchen位移，以及周期和準(zhǔn)周期多勢(shì)壘下電子的輸運(yùn)性質(zhì)。通過(guò)靜電勢(shì)壘的調(diào)節(jié)，Dirac電子的透射可以被有效地控制，對(duì)構(gòu)造電荷、自旋、谷相關(guān)的過(guò)濾器、電子束分離器等提供了可能。

1.Klein隧穿

我們知道，相對(duì)論性粒子無(wú)阻礙地穿透一個(gè)既高又寬的勢(shì)壘的過(guò)程被稱(chēng)為Klein佯謬，它是奇異并且反直覺(jué)的量子電動(dòng)力學(xué)結(jié)果。這種現(xiàn)象在一些粒子物理、核物理的著作中被討論過(guò)，但在碳單層上第一次完成從理論的預(yù)言到實(shí)驗(yàn)的驗(yàn)證工作［10，23，124，125］。

　圖22.碳單層中Dirac電子的Klein隧穿。（a）三個(gè)區(qū)域的能譜示意圖；（b）電子以能量E入射一靜電勢(shì)壘的示意圖，勢(shì)壘高度為V0，寬度為D；（c）電子透射幾率與入射角關(guān)系圖。其中入射能量E=80 meV，勢(shì)壘寬度D=100 nm，高度V0=200 meV（紅色實(shí)線）或V0=285 meV（藍(lán)色虛線）。引自文獻(xiàn)［23］。

我們首先從贗自旋守恒的角度對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行理解［126］。對(duì)于碳單層，當(dāng)存在沿 x方向的靜電勢(shì)壘V（x）時(shí)，系統(tǒng)的Hamilton量為H=?vFσ·k+V（x）。圖22（a）給出了n-p-n結(jié)三個(gè)區(qū)的能帶圖，陰影（藍(lán)色填充）區(qū)表示電子占據(jù)態(tài)。因此，勢(shì)壘區(qū)的電子處于價(jià)帶，勢(shì)壘外的電子處于導(dǎo)帶。紅色實(shí)線和綠色虛線表示兩條線性的能量分支，每條能量分支上的贗自旋方向相反，σ=±1為贗自旋σ的兩個(gè)本征值，分別對(duì)應(yīng)于A、B兩套子格。在正入射時(shí)，ky=0，x方向贗自旋守恒，［σx，H］=0。利用Heisenberg運(yùn)動(dòng)方程，電子的速度算符為?vx=［x，H］/i?=vFσx，也是一個(gè)守恒量。也就是說(shuō)，一個(gè)初態(tài)向右運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)一直向右運(yùn)動(dòng)，而不會(huì)發(fā)生背散射，即n區(qū)紅色實(shí)線能帶上的載流子只能散射成為p區(qū)同一紅色實(shí)線上的載流子，而不能成為綠色虛線所示能帶上的載流子。由以上的分析可知，勢(shì)壘內(nèi)部和外部準(zhǔn)粒子贗自旋的守恒保證了電子完美的Klein隧穿。

接下來(lái)，我們?cè)儆媒馕龅姆椒▽?duì)單勢(shì)壘透射情況進(jìn)行簡(jiǎn)要的說(shuō)明。假設(shè)一入射角度為φ，入射能量為E的電子束通過(guò)勢(shì)壘區(qū)，如圖22（b）所示，其中V0為勢(shì)壘高度，D為勢(shì)壘寬度。假設(shè)D遠(yuǎn)大于碳單層晶格常數(shù)a，谷間散射被抑制，所以只需要考慮單個(gè)谷上的電子輸運(yùn)。從碳單層的Schr¨odinger方程出發(fā)，在入射區(qū)，波函數(shù)可以寫(xiě)成入射部分與反射部分的疊加，

通過(guò)波函數(shù)銜接方法，ψI（0）=ψII（0）和ψII（D）= ψIII（D），四個(gè)方程可以求出四個(gè)系數(shù)r，a，b和t。透射系數(shù)則可以寫(xiě)作T=tt?，即

其中χ（φ）=ss′secφsecθ-tanφtanθ。從圖22（c）和上面的表達(dá)式都可以看出，T（φ）=T（-φ），透射系數(shù)關(guān)于入射角度對(duì)稱(chēng)。對(duì)于正入射（φ→0，θ→0）的電子可以明顯地看出，T（0）=1，勢(shì)壘是完全透明的，不依賴(lài)于電子的入射能量、勢(shì)壘高度。這個(gè)結(jié)果同樣地證實(shí)了著名的Klein隧穿。對(duì)于Dqx的不同取值，只需要滿足Dqx=nπ，n為整數(shù)，T（φ）=1就成立，勢(shì)壘都是完全透明的。這個(gè)結(jié)果對(duì)應(yīng)于電子的共振隧穿。

然而，對(duì)于外加不均勻的靜磁場(chǎng)如磁勢(shì)壘或磁臺(tái)階的情況，碳單層中Dirac電子的Klein隧穿可以被有效地限制［127，128］。另外，對(duì)于AB堆積的碳雙層結(jié)構(gòu)，能譜為各向同性的拋物型。類(lèi)似的計(jì)算結(jié)果表明，雙層系統(tǒng)表現(xiàn)出完全不同的隧穿性質(zhì)，特別是正入射時(shí)，碳雙層表現(xiàn)為完全的電子反射［23］。

硅單層p-n結(jié)和n-p-n結(jié)具有與碳單層不同的電荷輸運(yùn)性質(zhì)［129］。在硅單層中，自旋軌道耦合相互作用的存在使得電子的低能激發(fā)譜出現(xiàn)帶隙，無(wú)質(zhì)量的Dirac-Fermi子變成有質(zhì)量的，Klein隧穿現(xiàn)象也隨之消失。當(dāng)外加垂直電場(chǎng)時(shí)，帶隙可以被調(diào)節(jié)［130，131］，這和碳雙層中電場(chǎng)調(diào)控的帶隙非常類(lèi)似［12，132，133］，使得它們?cè)陔娮悠骷鐖?chǎng)效應(yīng)晶體管等應(yīng)用方面非常有利。在硅單層中，外加電場(chǎng)可以誘導(dǎo)其發(fā)生拓?fù)湎嘧?，p-n結(jié)作為場(chǎng)效應(yīng)晶體管時(shí)具有量子化的電導(dǎo)［129］，這為拓?fù)鋱?chǎng)效應(yīng)晶體管開(kāi)拓了一個(gè)新的方向。

2.電子負(fù)折射和Veselago透鏡

在1968年Veselago建議，光在介質(zhì)中傳播時(shí)群速度可以和相速度方向相反，首次從理論上探討了光學(xué)負(fù)折射率的本質(zhì)［134］。后來(lái)在2000年，Pendry等人在左手超構(gòu)材料中實(shí)現(xiàn)了負(fù)折射現(xiàn)象［135～137］。當(dāng)有負(fù)折射存在時(shí)，光線經(jīng)過(guò)介質(zhì)后會(huì)產(chǎn)生完美的聚焦，而且不受波長(zhǎng)的影響，這種透鏡效果被稱(chēng)為Veselago透鏡，有時(shí)也被稱(chēng)作完美透鏡。而對(duì)于碳單層中的Dirac電子，當(dāng)電子處于導(dǎo)帶時(shí)，利用波函數(shù)公式（7）對(duì)速度算符求平均值可以得到vc=vFk/k，傳播的群速速和相速度方向一致，當(dāng)電子處于價(jià)帶時(shí)，vv=-vFk/k，傳播的群速度和相速度方向恰好相反。這正好類(lèi)似于光學(xué)中的負(fù)折射效應(yīng)，是Dirac電子特有的性質(zhì)。

　圖23.對(duì)稱(chēng)p-n結(jié)中電子聚焦的經(jīng)典軌跡，從距離-a處的一個(gè)點(diǎn)源發(fā)射之后經(jīng)過(guò)折射重新匯聚到a處。引自文獻(xiàn)［117］。

在傳統(tǒng)的半導(dǎo)體p-n結(jié)中，兩個(gè)半導(dǎo)體接觸處存在耗盡區(qū)，不利于電荷量的精密控制。而碳單層作為無(wú)能隙的半導(dǎo)體材料，可以通過(guò)調(diào)節(jié)柵電壓或者襯底的摻雜濃度精確調(diào)節(jié)載流子密度，成為可控彈道p-n結(jié)的首選材料。另外，碳單層的p-n結(jié)對(duì)于載流子是透明的，電子穿過(guò)p-n結(jié)界面和光穿過(guò)具有負(fù)折射的透明介質(zhì)非常類(lèi)似。這樣，碳單層中一個(gè)簡(jiǎn)單的p-n結(jié)就可以實(shí)現(xiàn)類(lèi)似光學(xué)的Veselago透鏡功能，使發(fā)散的電子束匯聚到一點(diǎn)上實(shí)現(xiàn)電子的聚焦，如圖23所示。聚焦的精確度可以通過(guò)調(diào)節(jié)p區(qū)或者n區(qū)的載流子濃度控制，當(dāng)兩邊載流子濃度相等時(shí)，即純凈的、無(wú)摻雜的碳單層，可以實(shí)現(xiàn)電子束的完美聚焦。這一新奇的物理現(xiàn)象首次被Cheiano等人發(fā)現(xiàn)［117］。

我們可以這樣考慮其物理過(guò)程，一個(gè)電子束以速度為 v= （vFcosφ，vFsinφ）和波矢為 k= （kccosφ，kcsinφ）從p-n結(jié)的n區(qū)向p區(qū)傳播。在界面處，一部分波以波矢為k=（-kccosφ，kcsinφ）被反射回去，一部分波傳播到p區(qū)的價(jià)帶，波矢變?yōu)閗= （-kvcosθ，-kvsinθ），速度則為v=（vFcosθ，vFsinθ）沿著界面方向，動(dòng)量分量ky守恒，可以得到電子透射的Snell定律

折射率n為負(fù)的，這就預(yù)示了在n區(qū)出射的電子源可以匯聚到p區(qū)。對(duì)于一個(gè)對(duì)稱(chēng)的p-n結(jié)，n=-1，在n區(qū)（-a，0）處出射的電子可以恰好匯聚到p區(qū)對(duì)稱(chēng)的位置（a，0）。

在光學(xué)中，另外一個(gè)和聚焦相關(guān)的有趣的課題就是焦散線。焦散主要是由于界面兩邊不對(duì)稱(chēng)或界面不平整導(dǎo)致的。焦散曲線可以利用Snell定律結(jié)合負(fù)折射率求出。在Cheianov小組的研究基礎(chǔ)上，Cserti等人研究了圓形碳單層和雙層p-n結(jié)焦散線形成的問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)由于Klein隧穿的消失，強(qiáng)烈的電子聚焦效果并不出現(xiàn)在碳雙層結(jié)構(gòu)中［138，139］。隨著對(duì)Dirac電子自旋輸運(yùn)性質(zhì)的研究變得越來(lái)越深入，決定自旋電子學(xué)的一個(gè)重要的因素就是自旋軌道耦合。Asmar等人則研究了具有Rashba自旋軌道耦合作用調(diào)節(jié)的圓形p-n結(jié)的電子散射問(wèn)題，可以發(fā)現(xiàn)電子在傳輸過(guò)程中發(fā)生了雙折射，不同的自旋形成不同的焦散線，為電子束的自旋過(guò)濾和分離提供了可能［140］。由于碳單層中電子的自旋相干長(zhǎng)度較長(zhǎng)，在短距離傳播中可以確保磁信息不丟失，Moghaddam等人通過(guò)設(shè)計(jì)一個(gè)正常―鐵磁―正常碳單層結(jié)，使一電子束通過(guò)鐵磁區(qū)域時(shí)只有一種自旋的電子具有負(fù)折射率，從而實(shí)現(xiàn)了電子自旋透鏡［141］。在谷電子學(xué)方面，人們發(fā)現(xiàn)碳雙層的三角翹曲可以誘導(dǎo)不同谷上的電子聚焦［142］，甚至當(dāng)兩個(gè)結(jié)中的電子處于同一導(dǎo)帶或價(jià)帶，通過(guò)改變加在n-p-n結(jié)上的柵電壓可以實(shí)現(xiàn)完全谷極化的電子束［143，144］。

3.雙勢(shì)壘的量子Goos-H¨anchen位移

在光學(xué)中，光從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)時(shí)，光線被全部反射回原介質(zhì)的現(xiàn)象被稱(chēng)作全反射。Goos和H¨anchen發(fā)現(xiàn)，當(dāng)出現(xiàn)全反射時(shí)，在反射界面處反射光實(shí)際上并不是在入射點(diǎn)處進(jìn)行反射，而是偏離了一個(gè)小的位移，這個(gè)非常有趣的現(xiàn)象后來(lái)被命名為Goos—H¨anchen（GH）效應(yīng)［145］。

為了計(jì)算GH位移，我們考慮一入射電子束，波函數(shù)為

圖24.上圖為勢(shì)壘輪廓圖，兩邊為p摻雜區(qū)域，中間為n摻雜區(qū)域的電子通道。下圖為通道的頂視圖。藍(lán)色實(shí)線為A子格電子束中心的軌跡，紅色虛線則表示B子格電子束中心的軌跡，δ0為兩電子束中心的相對(duì)位移。電子一旦被反射，每一個(gè)贗自旋產(chǎn)生交替的位移σ±，W為通道寬度。引自文獻(xiàn)［119］。

這就是GH位移。

在二硫化鉬單層材料上，Sun等人也研究了p-np結(jié)的GH效應(yīng)［150］。他們發(fā)現(xiàn)，受時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性保護(hù)的K谷中自旋向上（向下）電子的透射和K′谷中自旋向下（向上）的電子透射一致，然而K和K′谷中電子的GH位移方向相反。由于不同自旋的電子群速度不同，使得每一個(gè)谷上自旋向上和自旋向下的電子GH位移的大小也不同，因此通過(guò)一個(gè)足夠長(zhǎng)的p-n-p通道，自旋向上和自旋向下的電子可以被有效的分開(kāi)。這些特征為二硫化鉬單層產(chǎn)生完全自旋或谷極化的電流提供了可能。

B.超晶格結(jié)構(gòu)上Dirac電子輸運(yùn)

通過(guò)對(duì)單和雙勢(shì)壘的研究，人們很容易聯(lián)想到多勢(shì)壘的情況，而多個(gè)勢(shì)壘不同的排列方式也會(huì)對(duì)電子的能譜和輸運(yùn)性質(zhì)帶來(lái)很重要的影響。接下來(lái)，我們將分別介紹周期和準(zhǔn)周期排列的超晶格勢(shì)對(duì)Dirac電子的影響。

1.周期超晶格

　圖25.（a）x-y平面內(nèi)外加周期方勢(shì)壘的示意圖?；疑珔^(qū)域表示加在碳單層上的電極，θ0（θe）表示電子透過(guò)碳單層超晶格的入射（出射）角，dA和dB分別表示A區(qū)和B區(qū)的寬度，內(nèi)嵌圖中的θA和θB分別表示電子在A區(qū)和B區(qū)的出射角。（b）x方向上外加周期勢(shì)VA和VB的輪廓圖。引自文獻(xiàn)［151］。

我們假設(shè)能量為E的電子以入射角θ0從x＜0的區(qū)域入射。在出射區(qū)，波函數(shù)為

其中

為一系列轉(zhuǎn)移矩陣的乘積。通過(guò)詳細(xì)的解析計(jì)算，可以得出反射和透射振幅的表達(dá)式為

對(duì)于無(wú)限多個(gè)周期勢(shì)壘，根據(jù)Bloch理論，可以得到能量—波矢的具體色散關(guān)系

圖26.碳單層周期超晶格中電子的能帶結(jié)構(gòu)圖，分別對(duì)應(yīng)（a）dA/dB=1；（b）dA/dB=3/2；（c）dA/dB=2。其它參數(shù)為VA=50 meV，VB=0，dB=50 nm。虛線表示Dirac點(diǎn)的位置。引自文獻(xiàn)［151］。

利用Landauer-B¨uttiker公式可以對(duì)系統(tǒng)的電導(dǎo)進(jìn)行計(jì)算［161］。在零溫下，總的電導(dǎo)為

其中G0=（2e2/?）（l/π?vF）為電導(dǎo)單位，l為系統(tǒng)在y方向上的長(zhǎng)度，θ為入射角，而T=|t|2為透射系數(shù)。還可以研究系統(tǒng)的Fano因子（噪聲功率和平均電流的比值），它是表征電噪聲的一個(gè)物理量［162］。其計(jì)算公式為

計(jì)算結(jié)果表明，電導(dǎo)在新的Dirac點(diǎn)處取得最小值，而Fano因子在Dirac點(diǎn)處存在一個(gè)峰值為1/3［162，163］。

2.準(zhǔn)周期超晶格

基于周期超晶格的研究，人們也研究了準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)碳單層中Dirac電子能譜及輸運(yùn)性質(zhì)的影響，如Fibonacci序列、Thue-Morse（TM）序列等［164～167］。在周期結(jié)構(gòu)中，電子波為Bloch波，表現(xiàn)出擴(kuò)展態(tài)的特征。而準(zhǔn)周期是介于周期和無(wú)序之間的一種中間態(tài)，平移不變性的喪失意味著不能再采用Bloch理論，因此帶來(lái)了研究上的困難。為了表征Dirac電子系統(tǒng)中準(zhǔn)周期的一些基本特性，如三分叉、自相似行為等，我們以Thue-Morse序列為例建立模型，TM序列的迭代規(guī)律為A→AB，B→BA。如果從A開(kāi)始，該TM序列為A→AB→ABBA→ABBABAAB→ABBABAABBAABABBA→···。

利用波函數(shù)銜接方法，可以推導(dǎo)出射端與入射端波函數(shù)之間的轉(zhuǎn)移矩陣為

m=1，2，3，...為T(mén)M序列的代指標(biāo)，N=2m為總的勢(shì)壘個(gè)數(shù)。另一個(gè)重要的表達(dá)式是TM序列的跡映射

和

而這些方程的解恰好對(duì)應(yīng)著系統(tǒng)的本征能量值。

圖27.碳單層上第5代TM序列超晶格中電子的透射譜，其它參數(shù)為VA=50 meV，VB=0，dA=10 nm，dB=20 nm。引自文獻(xiàn)［167］。

通過(guò)數(shù)值計(jì)算，不同代數(shù)的TM序列對(duì)應(yīng)著不同的分立能譜。可以發(fā)現(xiàn)，低代數(shù)TM序列的本征能量值總是保留到高代數(shù)序列中，而且能譜在Dirac電子系統(tǒng)中同樣遵循三分叉的規(guī)律［167］。電子透過(guò)一個(gè)碳單層TM超晶格的透射振幅為

其中θe為出射角。圖27給出了透射譜隨入射能量和入射角的變化，該角度相關(guān)的透射展現(xiàn)了電子輸運(yùn)的各向異性。更有趣的是，在垂直入射時(shí)，由于贗自旋守恒，Klein隧穿一直存在，準(zhǔn)周期性表現(xiàn)不出來(lái)。而在偏離垂直方向入射時(shí)，準(zhǔn)周期性才會(huì)體現(xiàn)出來(lái)，這是

和滿足傳統(tǒng)的拋物線型色散關(guān)系的粒子非常明顯的一個(gè)區(qū)別。

對(duì)于每一代TM超晶格，從方程（50）可以看出，χ2=1總是成立的，這是一個(gè)非常顯著的特征。它能夠很好地解釋當(dāng)準(zhǔn)周期序列的代數(shù)變化時(shí)，額外的Dirac點(diǎn)為什么是魯棒性的。關(guān)于TM超晶格中額外Dirac點(diǎn)的位置，我們可以推導(dǎo)一個(gè)一般表達(dá)式

當(dāng)入射角θ0=0，也就是正入射時(shí)，假設(shè)-2qAdA= 2qBdB，原始Dirac點(diǎn)的位置為

和

這和周期超晶格中新的Dirac點(diǎn)是一樣的。當(dāng)θ0≠0，也就是斜入射時(shí)，在新 Dirac點(diǎn)附近出現(xiàn)額外的Dirac點(diǎn)，其位置滿足-2qAdA=2qBdB=nπ（n為正整數(shù)）?？梢钥闯?，TM序列中額外Dirac點(diǎn)的數(shù)目是周期超晶格的2倍，且數(shù)目和位置只取決于第二代TM序列［167］。在實(shí)驗(yàn)上，這些額外的Dirac點(diǎn)可以通過(guò)電子束的超準(zhǔn)直來(lái)進(jìn)行測(cè)量，反過(guò)來(lái)也為電子的超準(zhǔn)直提供更多的角度選擇。隨后，人們也研究了碳雙層上Thue-Morse序列下電子的能譜和輸運(yùn)性質(zhì)［168］，發(fā)現(xiàn)零平均波數(shù)帶隙的中心位置同樣不依賴(lài)晶格常數(shù)，但是卻和層間耦合γ有關(guān)。

C.磁性納米條帶中的熱自旋輸運(yùn)

我們已經(jīng)探討了靜電勢(shì)壘對(duì)塊體碳單層材料Dirac電子輸運(yùn)性質(zhì)的影響，很多新奇的物理現(xiàn)象都源于其特殊的零能隙線性色散關(guān)系及Dirac電子所具有的手征性。正如前面已經(jīng)提到的，碳單層六角晶體結(jié)構(gòu)具有兩種重要的晶向，一種是沿著鋸齒型方向，另一種是沿著扶手椅型方向。沿著這兩個(gè)方向分別進(jìn)行裁剪可以產(chǎn)生扶手椅型和鋸齒型納米條帶。由于邊界的存在和量子尺寸受限效應(yīng)，導(dǎo)致這些納米結(jié)構(gòu)表現(xiàn)出與體材料不同的性質(zhì)；也因?yàn)檩d流子色散關(guān)系的顯著差別，與常規(guī)量子點(diǎn)和環(huán)中的結(jié)果迥然有別［169］。在本小節(jié)中，我們將考慮受限鋸齒型碳單層納米條帶上的電子輸運(yùn)性質(zhì)，重點(diǎn)介紹近年來(lái)比較受關(guān)注的溫度驅(qū)動(dòng)的電子輸運(yùn)。

1.第一性原理計(jì)算

理論研究表明，碳單層納米條帶具有豐富的能帶結(jié)構(gòu)和優(yōu)異的電子性能，被廣泛地認(rèn)為是未來(lái)碳基納米電子學(xué)和自旋電子學(xué)的基石。根據(jù)傳統(tǒng)的場(chǎng)效應(yīng)管原理［170，171］，目前已經(jīng)有很多基于碳層材料的器件被設(shè)計(jì)出來(lái)。前期的第一性原理計(jì)算結(jié)果已表明［172，173］，鋸齒型碳單層納米條帶（ZGNR）具有反鐵磁（AFM）的基態(tài)。這種構(gòu)型在能帶結(jié)構(gòu)上顯示出一個(gè)帶隙，通過(guò)施加一個(gè)橫向電場(chǎng)，其基態(tài)可以被調(diào)制成半金屬態(tài)［172］。對(duì)加一個(gè)小的磁場(chǎng)或者采用鐵磁絕緣體襯底（例如EuO）可以激發(fā)鋸齒型碳單層納米條帶處于鐵磁激發(fā)態(tài)［175］。鋸齒型碳單層納米條帶的磁性特征是由電子間Coulomb作用導(dǎo)致的，可以通過(guò)邊界電子自旋密度分布顯示出來(lái)。更直觀地講，其磁性起源于鋸齒型邊界強(qiáng)的局域電子能力；而扶手椅型邊界則不容易局域電子，也就不會(huì)出現(xiàn)磁性?；阡忼X型碳單層納米條帶的磁性性質(zhì)，我們可以通過(guò)外場(chǎng)來(lái)調(diào)控其電子的自旋自由度。理論預(yù)言，局域柵極電壓控制的鋸齒型碳單層條帶顯示出負(fù)微分電阻的有趣現(xiàn)象［176，177］。

求出，這里 h是普朗克常數(shù)，fS（D）（E）是源（漏）極的Fermi分布函數(shù)，Tσ（E）是自旋為σ的透射系數(shù)。

　圖28.（a）基于鐵磁性鋸齒型邊界碳單層納米條帶的熱自旋裝置。TS和TD分別表示源極和漏極的溫度。襯底上柵壓用來(lái)控制熱自旋極化電流。（b）源極和漏極的Fermi分布函數(shù)，電子電流Ie和空穴電流Ih由于兩個(gè)電極載流子濃度差而產(chǎn)生。（c）自旋相關(guān)的透射譜和鐵磁性納米條帶的能量色散關(guān)系圖。改編自文獻(xiàn)［178］。

然而，如圖28（c）左圖所示，自旋依賴(lài)的透射譜在能區(qū)-0.323 eV＜E-EF＜-0.213 eV（上自旋）和 0.156 eV＜E-EF＜0.168 eV（下自旋）處有峰值。透射峰的出現(xiàn)歸因于鐵磁納米條帶的特征能譜，如圖28（c）右圖所示，上自旋電子的能帶結(jié)構(gòu)在近X點(diǎn)表現(xiàn)出雙簡(jiǎn)并的帶尾，這是電子間Coulomb作用誘導(dǎo)的強(qiáng)自旋極化邊態(tài)。因此，上自旋電子輸運(yùn)通道數(shù)目在能區(qū)-0.323 eV＜E-EF＜-0.213 eV上為3；而下自旋電子的π和π?帶在窄能區(qū)0.156 eV＜E-EF＜0.168 eV相互交叉，從而導(dǎo)致這個(gè)能區(qū)下自旋透射系數(shù)的振蕩。這些輸運(yùn)峰破壞了輸運(yùn)譜中的電子—空穴對(duì)稱(chēng)，導(dǎo)致了非零的熱自旋流。此外，即使下自旋電子的透射峰比上自旋電子的更窄，下自旋流仍然會(huì)比上自旋流大，這歸因于下自旋電子的透射峰比上自旋電子的透射峰更靠近Fermi能級(jí)。由于Fermi分布函數(shù)呈現(xiàn)指數(shù)衰減的性質(zhì)，并且透射峰相對(duì)遠(yuǎn)離Fermi能級(jí)，源極需要足夠的高溫使得Fermi分布函數(shù)展寬到起作用的能區(qū)，從而打開(kāi)自旋流。從線性響應(yīng)的觀點(diǎn)來(lái)看，偏壓和溫差誘導(dǎo)的電流是由系統(tǒng)的載流子透射系數(shù)來(lái)控制的。前者是由不同的Fermi分布函數(shù)即兩個(gè)電極的電勢(shì)差引起的，而后者是由于溫度差引起的。

2.平均場(chǎng)理論處理

除了用第一性原理計(jì)算鋸齒型碳單層納米條帶的電子性質(zhì)外，我們也可以采用平均場(chǎng)自洽計(jì)算的方式來(lái)得到相一致的系統(tǒng)的性質(zhì)［174，179］。利用非平衡Green函數(shù)方法和Landauer-B¨uttiker公式［14，174］，我們研究通過(guò)局域柵極電壓控制的鋸齒型碳單層納米條帶中的熱自旋輸運(yùn)［180］。圖29（a）給出的晶體管裝置可以分成三部分：半無(wú)限長(zhǎng)的左電極（源極S），有局域電壓控制的中間散射區(qū)域（柵極C），半無(wú)限長(zhǎng)的右電極（漏極D）。鋸齒型碳單層納米條帶的寬度用鋸齒鏈的數(shù)目N來(lái)表示，除非特別說(shuō)明，計(jì)算中寬度N一般取為6。在源極（溫度為T(mén)S）和漏極（溫度為T(mén)D）之間加一個(gè)溫度差TSD。這種器件是典型的溫度控制的場(chǎng)效應(yīng)晶體管。

系統(tǒng)的Hamilton量可以簡(jiǎn)單地使用平均場(chǎng)下的Hubbard模型進(jìn)行有效地描述，具體形式為

這里e是電子電荷。

這個(gè)器件的輸運(yùn)性質(zhì)可以利用非平衡Green函數(shù)方法得到。器件中的推遲Green函數(shù)Gσ可以通過(guò)下式

進(jìn)行計(jì)算，此處Hσ代表自旋為σ的電子的Hamilton量；ΣS（D），σ是電極的自能函數(shù)，可以由ΣS（D），σ= τS（D），σgS（D），στ?S（D），σ計(jì)算得到；τ代表中間散射區(qū)域和電極之間的耦合；gS（D），σ是無(wú)耦合時(shí)源（漏）極Green函數(shù)，可以通過(guò)標(biāo)準(zhǔn)的遞推Green函數(shù)計(jì)算得到［174］。根據(jù)Green函數(shù)理論，圖29（a）裝置中依賴(lài)于電子能量和柵極電壓的透射系數(shù)Tσ（E，Vg）的計(jì)算表達(dá)式為

　圖29.（a）鋸齒型碳單層納米條帶熱自旋器件截面圖。位于源極和漏極之間的散射區(qū)域用局域柵極電壓進(jìn)行控制，其中TS，TD分別為源極和漏極的溫度，整個(gè)器件以碳化硅作為襯底。（b）源（漏）極和中間區(qū)域的能帶結(jié)構(gòu)以及相應(yīng)的Vg=0.2 V時(shí)的透射系數(shù)。在最右邊的圖中，Vg=0的透射系數(shù)為參考值，陰影區(qū)域代表輸運(yùn)函數(shù)阻塞的能量區(qū)域，邊界為E0，↑=-0.49 eV， E1，↑=-0.35 eV， E0，↓= 0.13 eV，E1，↓=0.32 eV。（c）和（d）分別為不同的柵極電壓Vg=0 V和0.2 V時(shí)，不同的溫差TSD=30，60，90 K情況下自旋相關(guān)的電流與源極溫度之間的關(guān)系，其中的內(nèi)嵌圖顯示的是自旋相關(guān)電流的方向。引自參考文獻(xiàn)［180］。

通過(guò)分析方程（55）可以看出，電流由所研究的能量區(qū)域中透射系數(shù)和源—漏極之間的載流子濃度差的乘積決定。自旋相關(guān)的電流主要來(lái)自于兩部分的貢獻(xiàn)：能量高于Fermi能級(jí)的電子流Ie從源極（高溫區(qū)域）流向漏極（低溫區(qū)域），能量低于Fermi能級(jí)的空穴流Ih流向相反的方向。圖29（b）顯示了這個(gè)系統(tǒng)在不同的柵極電壓Vg的透射系數(shù)，這與前人的研究結(jié)果相一致［179］。在這里我們要注意，分布函數(shù)隨著能量呈現(xiàn)指數(shù)衰減。當(dāng)沒(méi)有柵極電壓時(shí)，自旋向上和向下的輸運(yùn)子帶幾乎對(duì)稱(chēng)地分布在Fermi能級(jí)的兩邊，并且離Fermi能級(jí)很遠(yuǎn)，因此，需要一個(gè)比較高的閾值溫度來(lái)展寬分布函數(shù)使之與輸運(yùn)子帶產(chǎn)生交疊，才能產(chǎn)生電流。當(dāng)柵極電壓為Vg=0.2 V時(shí)，透射系數(shù)在Fermi能級(jí)附近出現(xiàn)非對(duì)稱(chēng)性，自旋向下的電子比自旋向上的電子更接近Fermi能級(jí)，分布函數(shù)和輸運(yùn)函數(shù)比較大的重疊區(qū)域產(chǎn)生了比較大的電流，相應(yīng)的閾值溫度也明顯減小，相反自旋向上的電流幾乎消失。

圖29（c）顯示的是TSD=30 K，60 K，90 K時(shí)自旋相關(guān)的電流與源極溫度TS之間的函數(shù)關(guān)系。要產(chǎn)生自旋向上或者自旋向下的電流，存在一個(gè)TS的閾值（大約280 K）。當(dāng)TS超過(guò)閾值時(shí)，器件顯示出雙極自旋輸運(yùn)行為［178］：自旋向上的電流和自旋向下的電流流向相反的方向。這種情況下，幾乎沒(méi)有凈電荷流產(chǎn)生，但是有純的自旋流可以觀測(cè)到。隨著溫度偏壓的增加，自旋向上或者自旋向下的電流的幅度增加。然而，當(dāng)我們調(diào)節(jié)柵極電壓Vg=0.2 V時(shí)，單極的自旋輸運(yùn)現(xiàn)象出現(xiàn)，如圖29（d）所示。自旋向下的電流翻轉(zhuǎn)，并且隨著源極溫度和溫度偏壓的增加而快速增加。閾值電壓也隨之下降。與自旋向下的電流相比，自旋向上的電流不依賴(lài)于源極溫度和溫度偏壓，并且總是接近于零。因此凈的電荷流就是自旋向下的電流?？梢?jiàn)，自旋輸運(yùn)發(fā)生了從雙極到單極的轉(zhuǎn)變。

進(jìn)一步的理論結(jié)果表明，通過(guò)調(diào)節(jié)橫向偏壓也可以控制鋸齒型碳單層納米帶中源極和漏極之間產(chǎn)生的熱自旋極化流［181］。改變電場(chǎng)、源極溫度和條帶的寬度，我們可以控制器件得到高自旋極化電流。這些結(jié)果開(kāi)拓了碳單層納米條帶的潛在應(yīng)用，提供了在基于碳單層納米條帶的自旋電子學(xué)器件中控制自旋極化電流的可能性應(yīng)用。此外，基于碳單層納米條帶的磁性，有關(guān)理論方面的工作也提出了一個(gè)簡(jiǎn)易的自旋整流場(chǎng)效應(yīng)管裝置［182］，這個(gè)裝置包含一個(gè)鋸齒型邊界的源極、一個(gè)扶手椅型邊界的漏極以及耦合兩個(gè)電極的彎曲的結(jié)區(qū)。通過(guò)自洽計(jì)算發(fā)現(xiàn)，由于磁疇結(jié)區(qū)的存在使得這個(gè)裝置可以用作一個(gè)雙極型自旋整流裝置，條件是兩個(gè)具有橫向?qū)ΨQ(chēng)性的電極的寬度要非常接近。此裝置最明顯的一個(gè)優(yōu)點(diǎn)就是它僅僅需要一個(gè)很小的磁場(chǎng)驅(qū)動(dòng)源極處在鐵磁亞穩(wěn)態(tài)上就可以實(shí)現(xiàn)顯著的自旋整流效應(yīng)。

對(duì)于最近一段時(shí)間發(fā)展起來(lái)的硅單層，除了通過(guò)調(diào)節(jié)外部電場(chǎng)，可以出現(xiàn)多種豐富的拓?fù)湎嘧冎猓?5，36］，在量子輸運(yùn)方面的研究也取得了一些進(jìn)展。最近的研究結(jié)果顯示，由于局域交換場(chǎng)的存在導(dǎo)致了時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性破缺，在硅單層條帶中一個(gè)邊界上利用交換場(chǎng)可以獲得自旋極化電流［183］。

V.激子凝聚和熱JOSEPHSON效應(yīng)

在本節(jié)里，我們考察被薄的絕緣層隔開(kāi)的兩個(gè)碳單層組成的碳雙層中激子的產(chǎn)生、激子的凝聚，以及由兩個(gè)碳雙層激子凝聚體構(gòu)成的隧道結(jié)中的熱Josephson效應(yīng)。

A.激子研究的背景

用能量略低于帶隙寬度的入射光來(lái)激發(fā)半導(dǎo)體時(shí)，發(fā)現(xiàn)吸收譜中出現(xiàn)峰值，這說(shuō)明在帶隙中有能量本征態(tài)存在。這是粒子間的相互作用導(dǎo)致的，它是導(dǎo)帶的電子與價(jià)帶的空穴通過(guò)Coulomb吸引相互作用形成的電子—空穴對(duì)，是一種準(zhǔn)粒子，被稱(chēng)作激子。

1.個(gè)別激子

下面我們通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單的模型來(lái)討論激子［1］。利用有效質(zhì)量近似，我們可以把電子—空穴對(duì)的Schr¨odinger方程寫(xiě)為

其中me（mh）和re（rh）分別是電子（空穴）的有效質(zhì)量和空間坐標(biāo)，?為半導(dǎo)體的介電常數(shù)。

對(duì)于這樣的二體問(wèn)題，引入質(zhì)心坐標(biāo)R和相對(duì)坐標(biāo)r，有

把式（61）代入方程（60）中，通過(guò)微商運(yùn)算，我們得到質(zhì)心和相對(duì)坐標(biāo)表示下的Schr¨odinger方程

其中M=me+mh和m=memh/（me+mh）分別代表激子的總質(zhì)量和折合質(zhì)量。采用分離變量法，令

再把式（63）代入式（62）中，得到

和

其中ER和Er分別表示質(zhì)心和相對(duì)運(yùn)動(dòng)的能量。

從式（64）中可以看出，質(zhì)心部分相當(dāng)于自由粒子的運(yùn)動(dòng)，那么它的波函數(shù)就是平面波，能量就可以表示為?2k2/2M。對(duì)于相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分，如式（65）所反映的，相當(dāng)于一個(gè)粒子在中心Coulomb勢(shì)場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，跟氫原子問(wèn)題很像，可以套用氫原子能級(jí)公式，得到能量為-me4/2n2?2?2，其中n為主量子數(shù)。這樣就獲得了激子的總能量

通過(guò)式（66），就能夠很容易解釋前面提到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)部分描述的是電子—空穴對(duì)，它降低了系統(tǒng)的能量，所以會(huì)在帶隙中出現(xiàn)吸收峰。此外，這里激子是以束縛態(tài)存在的，在帶隙中出現(xiàn)分立的能級(jí)。

2.量子阱中的激子凝聚

在1957年，J.Bardeen，L.N.Cooper以及J.R. Schrieffer根據(jù)電子對(duì)的概念提出了超導(dǎo)的微觀機(jī)制［184］，并很好地解釋了許多實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象。電子的集體行為會(huì)導(dǎo)致宏觀的量子態(tài)，因此人們可以通過(guò)超導(dǎo)異質(zhì)結(jié)中的Josephson效應(yīng)來(lái)驗(yàn)證這種微觀機(jī)制［185］。在1963年，P.W.Anderson［186］和S.Shapiro［187］從不同的角度用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了這種宏觀量子態(tài)，也確認(rèn)了超導(dǎo)的微觀機(jī)制。緊接著，在1968年，L.V.Keldysh就提出了激子凝聚的問(wèn)題［188］，此后有大量的研究工作討論了這個(gè)現(xiàn)象，并且把Bardeen-Cooper-Schrieffer（BCS）的理論運(yùn)用在這個(gè)問(wèn)題上。在這些工作中，有一些實(shí)驗(yàn)研究討論了激子凝聚，但是沒(méi)有一個(gè)工作給出了直接的實(shí)驗(yàn)證據(jù)來(lái)證明存在凝聚現(xiàn)象。對(duì)于一個(gè)凝聚體，最直接的證據(jù)就是干涉圖像的出現(xiàn)［189］。前面的實(shí)驗(yàn)都沒(méi)有給出干涉圖像，只是得到了一些間接的證據(jù)。實(shí)驗(yàn)中，大多數(shù)用的是半導(dǎo)體的體材料或單個(gè)量子阱（QW），通過(guò)光來(lái)激發(fā)。由于在這些系統(tǒng)中激子的壽命很短，還沒(méi)來(lái)得及凝聚就復(fù)合了，實(shí)驗(yàn)上也就無(wú)法觀測(cè)到。要想觀測(cè)到激子凝聚，必須延長(zhǎng)激子的壽命。

經(jīng)過(guò)很多年的探索，人們發(fā)現(xiàn)在耦合的量子阱中，激子的壽命很長(zhǎng)。如圖30所示，在這個(gè)系統(tǒng)中，電子型的量子阱與空穴型的量子阱通過(guò)電介質(zhì)隔開(kāi)，較大的間距d使得電子與空穴的復(fù)合幾率很小，因此壽命較長(zhǎng)。但是d不能太大，要讓電子與空穴間的Coulomb相互作用較大，從而形成激子。沿著這個(gè)思路，終于在2012年，實(shí)驗(yàn)上得到了清晰的激子凝聚體的干涉圖樣［190］，解決了人們多年來(lái)的困惑。這個(gè)現(xiàn)象也不難理解，當(dāng)激子的密度比較低時(shí)，激子間的距離比激子中電子—空穴的距離要大很多，這時(shí)，激子就表現(xiàn)出Bose子的特征。在適當(dāng)?shù)臈l件下，激子就會(huì)發(fā)生凝聚，顯現(xiàn)出宏觀的相位。進(jìn)一步，人們還可以在這個(gè)系統(tǒng)中討論激子的超流［191］、渦旋［192］以及相應(yīng)的Josephson效應(yīng)［193］等現(xiàn)象。

圖30.耦合的量子阱的示意圖。兩個(gè)量子阱的間距為d。

在耦合的量子阱中，激子凝聚的臨界溫度一般是幾K，非常不利于實(shí)際的應(yīng)用。要想提高臨界溫度，減小激子的有效質(zhì)量是最可靠的方法。自從2004年碳單層在實(shí)驗(yàn)上分離出來(lái)后［4］，無(wú)質(zhì)量的Dirac電子的研究變得非常熱，并表現(xiàn)出豐富的奇異性質(zhì)［5，194］。利用兩個(gè)碳單層，就可以構(gòu)造出耦合的碳雙層，從而形成激子凝聚體［195，196］。碳雙層中的凝聚體不僅有耦合量子阱中的一些性質(zhì)［197］，而且臨界溫度相當(dāng)高［198］。因此，碳雙層是研究激子凝聚非常好的平臺(tái)，也能給出反常的性質(zhì)［199］。此外，拓?fù)浣^緣體也是一個(gè)非常吸引人的研究對(duì)象，在表面態(tài)上具有Dirac電子的性質(zhì)［200，201］。利用拓?fù)浣^緣體的表面態(tài)，也可形成激子凝聚體［202～204］，同樣也可獲得很高的臨界溫度

3.激子凝聚的BCS理論

在超導(dǎo)體中，由于聲子的參與，電子間存在有效的吸引相互作用。這樣，電子會(huì)配對(duì)，形成超導(dǎo)體中的Cooper對(duì)。而在半導(dǎo)體材料中，有電子和空穴，二者之間本身就存在Coulomb吸引相互作用，不需要外界的參與，就可以形成激子。對(duì)比激子與Cooper對(duì)，它們有很多的相似性，因此可以將超導(dǎo)中的BCS理論運(yùn)用到激子凝聚中來(lái)。

我們利用BCS理論來(lái)討論半導(dǎo)體量子阱中的激子凝聚，從而可以平行地推廣到碳雙層相應(yīng)的問(wèn)題中去。系統(tǒng)的Hamilton量表示為

利用平均場(chǎng)方法，在電子與電子（空穴與空穴）間的排斥相互作用中，讓q=k′-k；在電子與空穴的吸引相互作用中，讓 k′=-k。在一些常見(jiàn)的半導(dǎo)體量子阱中，電子與空穴的有效質(zhì)量是不相等的，即me≠mh。為了反映出BCS理論的核心概念，而避免復(fù)雜的數(shù)學(xué)形式，我們假定me=mh=m，μe=μh=μ。這樣就獲得了下面的Hamilton量

以及能譜

從中可以看出電子-空穴對(duì)的一些信息。在方程（68）和（69）中，n為每一層的粒子密度，

并且E-（k）=-E+（k），而能隙函數(shù)

考慮s波配對(duì)，對(duì)式（68）進(jìn)行對(duì)角化，我們就得到激子的激發(fā)能

從式（70）可以看出，激發(fā)能與能隙函數(shù)是聯(lián)系在一起的，并且能隙函數(shù)能直接地反映出對(duì)凝聚的情況。為了獲得能隙函數(shù)，類(lèi)似超導(dǎo)基態(tài)波函數(shù)，我們構(gòu)造半導(dǎo)體中的激子波函數(shù)

到這里，通過(guò)對(duì)式（69），（70）以及（72）進(jìn)行求解，就可以討論激子凝聚現(xiàn)象了，也能夠得到許多有意義的物理結(jié)果。此外，利用上面的耦合方程，我們還得到每個(gè)激子的平均能量

在半導(dǎo)體量子阱中，利用BCS理論，我們得到激子凝聚的激發(fā)能以及能隙函數(shù)等重要的物理量。通過(guò)自洽求解，就能獲得激子凝聚體的主要性質(zhì)。因此，上面的理論分析是我們進(jìn)一步研究激子凝聚的基礎(chǔ)。

B.碳雙層中的激子凝聚

自從2004年碳單層在實(shí)驗(yàn)上被制備出來(lái)后［4］，它在研究電子的奇特性質(zhì)方面成為熱門(mén)的對(duì)象，這是由于它的低能電子是無(wú)質(zhì)量的Dirac-Fermi子。在碳單層中載流子之間存在Coulomb相互作用，這種相互作用可以實(shí)現(xiàn)對(duì)Fermi速度的重正化［205］，并且它會(huì)對(duì)電子的物理性質(zhì)產(chǎn)生很大的影響，例如電導(dǎo)率［206，207］和磁致電阻率［208］。如果考慮把碳單層置于兩個(gè)電介質(zhì)之間，則可以用來(lái)研究其界面電子行為［209］。反過(guò)來(lái)，我們也可以構(gòu)造由電介質(zhì)隔離成有一定間距的碳雙層，其中每一碳單層的極性可以通過(guò)外加?xùn)烹妷赫{(diào)節(jié)，那么兩層載流子之間的相互作用就可以實(shí)現(xiàn)從排斥到吸引的轉(zhuǎn)變。因此，電子—空穴對(duì)就可以在這個(gè)有相反極性的碳雙層中形成［210］。

1.耦合方程及基態(tài)保真度

在碳雙層中，電子—空穴對(duì)的凝聚是一種很有趣的現(xiàn)象，并且受到很多研究工作的關(guān)注［196［199］、渦旋、零模，以及電荷分?jǐn)?shù)化［213］。此外，也考慮過(guò)無(wú)序?qū)﹄娮印昭▽?duì)凝聚的影響［214］。所有上面的結(jié)果激發(fā)了研究者在碳單層和多層中對(duì)這一問(wèn)題進(jìn)行實(shí)驗(yàn)研究?；鶓B(tài)保真度開(kāi)始被用于研究量子相變［215］，后來(lái)，在連續(xù)體或格點(diǎn)模型中，這一概念被證明能夠有效地處理Bose-Einstein凝聚態(tài)（BEC）和BCS態(tài)的交疊問(wèn)題［216］。

在許多凝聚態(tài)物質(zhì)中，特別是在碳雙層系統(tǒng)中［217［223，224］。這里我們可以期望，碳雙層中電子-空穴對(duì)凝聚體在低溫下的Coulomb拖動(dòng)效應(yīng)具有獨(dú)特的物理性質(zhì)。

在接下來(lái)的討論中［225］，我們采用基態(tài)保真度來(lái)反映碳雙層中電子—空穴對(duì)凝聚體的相圖，并推導(dǎo)出在零溫下電子—空穴對(duì)發(fā)生凝聚的臨界密度；接著在有限溫下研究凝聚體中的Coulomb拖動(dòng)效應(yīng)，發(fā)現(xiàn)拖動(dòng)電導(dǎo)存在極小值，這可以作為實(shí)驗(yàn)上探測(cè)電子—空穴對(duì)凝聚體的依據(jù)。

　圖31.（a）中間有電介質(zhì)插層的碳雙層。外加的電壓可以調(diào)節(jié)每一碳單層中粒子濃度。（b）兩個(gè)碳單層的Fermi面，分別處在導(dǎo)帶c和價(jià)帶v上。

如圖31（a）所示，在有電介質(zhì)插層的碳雙層結(jié)構(gòu)中，電子和空穴能夠通過(guò)Coulomb相互作用形成電子—空穴對(duì)（激子）。這種準(zhǔn)粒子在低密度情況下可以看成是Bose子，在一定條件下發(fā)生凝聚。在這個(gè)結(jié)構(gòu)中，上一碳單層的Fermi面處在導(dǎo)帶上（用c來(lái)標(biāo)記），下一層處在價(jià)帶上（用v來(lái)標(biāo)記），如圖31（b）所示。這兩層的Fermi面可以通過(guò)垂直于平面的外加電場(chǎng)進(jìn)行調(diào)節(jié)。兩層的間距d應(yīng)該足夠大以阻止層間的隧穿，但是它也不能太大，防止電子與空穴間的Coulomb相互作用過(guò)小。我們?cè)O(shè)定電子和空穴的密度是一樣的，使得整個(gè)系統(tǒng)是電中性的。

當(dāng)我們充分考慮電子和空穴的層間和層內(nèi)的相互作用時(shí)，這個(gè)二維電子—空穴系統(tǒng)的Hamilton量可以寫(xiě)成

在平均場(chǎng)近似下，經(jīng)過(guò)復(fù)雜的推導(dǎo)，我們得到下面的耦合方程

其中 ?（k）和 ε（k）分別表示能隙函數(shù)和對(duì)激發(fā)能，?（k）可以看成是實(shí)函數(shù)，ε是介質(zhì)層的介電常數(shù)。在每一層粒子的密度可以表示為

其中占據(jù)幾率

分布函數(shù)f（ε（k））表示為1/｛exp［ε（k）/kBT］+1｝，其中 kB和 T分別是Boltzmann常數(shù)和溫度。在方程（75）中，2πe2nd/?這一項(xiàng)是Hartree項(xiàng)，它來(lái)自于電荷的積累。耦合方程（75）至（79）是我們研究電子—空穴對(duì)凝聚的理論基礎(chǔ)，它們可以自洽地進(jìn)行求解。

在碳雙層中，波函數(shù)交疊會(huì)導(dǎo)致影響Coulomb相互作用的一個(gè)因子［228］，這個(gè)因子可表示為

其中λ和λ′是能帶的標(biāo)記，θk，k′是波矢 k和 k′的夾角。這樣我們就得到相互作用

及

根據(jù)已有文獻(xiàn)，碳雙層的準(zhǔn)確堆積方式，如AA或AB堆積，對(duì)電子—空穴對(duì)凝聚影響很?。?96］，這里所有的結(jié)果對(duì)某種特定的堆積方式不敏感。

在量子相變中，不同的基態(tài)波函數(shù)之間有躍變，而基態(tài)保真度就能夠反映這一躍變［215］。如果不同的波函數(shù)之間沒(méi)有躍變，有交疊部分，保真度就不會(huì)發(fā)生躍變。保真度率會(huì)在波函數(shù)交疊區(qū)域出現(xiàn)一個(gè)峰［216］。為了描述電子—空穴對(duì)BEC和BCS的交疊問(wèn)題，我們?cè)谔茧p層中寫(xiě)出保真度率χ為

利用上面的式（80），我們就能給出激子凝聚體中的準(zhǔn)確相圖。

2.零溫下電子—空穴對(duì)的凝聚

在絕對(duì)零度時(shí)，通過(guò)方程（75）～（79）的數(shù)值計(jì)算可以得到電子—空穴對(duì)的能譜、能隙函數(shù)和占據(jù)幾率，如圖32所示。在這里，我們定義兩個(gè)物理量?m和km，它們分別表示能隙函數(shù)的極大值和相對(duì)應(yīng)的波矢，即

從圖32（a）可以看出，激發(fā)能ε（k）有一個(gè)極小值。當(dāng)k＞km時(shí)，ε（k）隨著k呈現(xiàn)出線性地增長(zhǎng)，這個(gè)結(jié)果與以前的文獻(xiàn)結(jié)果一致［196］。如果增大平均間距rs，km就會(huì)減小，實(shí)際上，?m也在變小。在km附近，從方程（77）中我們可以得到E+（k）≈0及|vk|2≈0.5，這與圖32（b）的數(shù)值結(jié)果一致。

　圖32.電子—空穴對(duì)激發(fā)能ε（k），能隙函數(shù)?（k），和占據(jù)幾率|vk|2隨動(dòng)量k的變化。圖中溫度T=0 K，β=0.6。引自文獻(xiàn)［225］。

為了確認(rèn)圖32中數(shù)值結(jié)果的合理性，我們從方程（75）和（76）中推導(dǎo)出關(guān)于km的近似表達(dá)式

值得注意的是，在碳雙層中這個(gè)式子在有效結(jié)構(gòu)常數(shù)和粒子密度都很小的時(shí)候才成立。我們發(fā)現(xiàn)，km是與層間距d和激子平均間距rs相聯(lián)系的。這時(shí)把相應(yīng)的參數(shù)代入方程（81）中，得到km的值與圖32（a）中的結(jié)果一致。更重要的是，從這個(gè)方程中我們得到了電子—空穴對(duì)凝聚的條件

它與數(shù)值結(jié)果也是一致的。這樣在零溫下，就得到電子—空穴對(duì)開(kāi)始發(fā)生凝聚的臨界平均間距rsc，即rsc= 2dβ，它取決于介電常數(shù)和電介質(zhì)層厚度。當(dāng)rs＜rsc時(shí)，存在電子和空穴的等離子體［232］，當(dāng)rs＞rsc時(shí)，對(duì)凝聚就出現(xiàn)了。

計(jì)算結(jié)果顯示，在對(duì)凝聚體中，當(dāng)粒子間平均間距比較小時(shí)，帶隙的極大值隨著rs增大而急劇減小。也就是說(shuō)，在這種狀態(tài)下對(duì)rs很敏感，電子—空穴對(duì)間的關(guān)聯(lián)很弱，這就是BCS態(tài)。然而，當(dāng)rs比較大時(shí)，?m幾乎不受rs的影響。這時(shí)束縛的激子態(tài)就形成了，激子之間的相互作用較弱，但電子與空穴之間的關(guān)聯(lián)就很強(qiáng)，這反映出激子的BEC態(tài)。從?m的變化來(lái)看，我們發(fā)現(xiàn)在碳雙層中電子—空穴對(duì)的BEC態(tài)到BCS態(tài)是連續(xù)變化的，即存在BEC和BCS態(tài)的交疊區(qū)。這點(diǎn)與耦合的半導(dǎo)體量子阱中的情形類(lèi)似［227，232］。

　圖33.（a）保真度率χ隨平均間距rs的變化；（b）電子—空穴對(duì)凝聚的相圖。在（a）中β=0.6，整個(gè)圖中溫度T=0 K。引自文獻(xiàn)［225］。

為了反映出這個(gè)交疊的區(qū)域，我們?cè)趫D33（a）中給出了保真度率 χ的變化情況。隨著rs增加，出現(xiàn)了一個(gè)峰，而這個(gè)峰的半寬度就代表這個(gè)交疊區(qū)域［216］。例如，當(dāng)β=0.6，BEC和 BCS態(tài)的交疊區(qū)域就出現(xiàn)在 40＜rs＜200 nm這個(gè)范圍內(nèi)。這樣我們就得到了電子—空穴對(duì)凝聚的相圖，圖33（b）準(zhǔn)確地反映出這一特征。圖中實(shí)線表示對(duì)凝聚的臨界平均間距 rsc，也就是從正常相到凝聚相的邊界。

3.有限溫下的超流

我們接著討論在有限溫下電子—空穴對(duì)的凝聚及其相關(guān)性質(zhì)。這個(gè)有限溫是指粒子處于0 K和臨界溫度Tc之間。隨著溫度上升，能隙函數(shù)的極大值先是幾乎不變，接著迅速減小直到變?yōu)榱恪?duì)于不同的粒子密度，這種變化趨勢(shì)是一樣的，如圖34（a）所示。在這里我們分別選擇處于BCS態(tài)、BEC態(tài)，以及交疊區(qū)域的三個(gè)密度值。盡管能隙函數(shù)的極大值在這三種態(tài)中是不一樣的，它隨溫度的變化趨勢(shì)卻是相同的。在臨界溫度處，可以得到?m=0，電子—空穴對(duì)就沒(méi)有發(fā)生凝聚。如果我們把公式（76）與超導(dǎo)中的能隙函數(shù)相比較，就可以得到一個(gè)近似的關(guān)系式，?m（0）/（kBTc）≈1.76，其中?m（0）是零溫時(shí)的能隙函數(shù)極大值。在常規(guī)超導(dǎo)體中，這個(gè)關(guān)系是普適的，與材料無(wú)關(guān)。在這里，我們運(yùn)用BCS理論來(lái)處理電子—空穴對(duì)凝聚，這種普適關(guān)系是可以預(yù)料到的，盡管方程（74）中的相互作用與超導(dǎo)體中的不一樣。同時(shí)我們發(fā)現(xiàn)，數(shù)值結(jié)果與上面的近似關(guān)系符合得很好，故這個(gè)關(guān)系可以用來(lái)估計(jì)對(duì)凝聚體的臨界溫度。

　圖34.（a）能隙函數(shù)的極大值?m和（b）超流密度ns隨著溫度T的變化。圖中β=0.6。引自文獻(xiàn)［225］。

在臨界溫度以下，在電子—空穴對(duì)凝聚體中出現(xiàn)超流，它對(duì)凝聚體中的輸運(yùn)性質(zhì)有很大的影響［210］。因此，有必要給出超流密度ns隨不同參數(shù)的變化。我們可以寫(xiě)出ns為（198）

利用公式（83），我們?cè)趫D34（b）中畫(huà)出了ns隨溫度的變化。在計(jì)算中，當(dāng)系統(tǒng)溫度為1 K時(shí)，就有kBT= 0.013 ?vFku。在圖34（b）中，對(duì)于不同的柵電壓，超流密度在低溫區(qū)幾乎不變，隨著溫度上升，它會(huì)很快減小至零。在超流密度ns=0處所對(duì)應(yīng)的溫度就是臨界溫度Tc。容易看出，能隙函數(shù)和超流密度隨著溫度從零增加的變化關(guān)系是一致的。

在電子—空穴對(duì)凝聚相中，由于準(zhǔn)粒子能譜ε（k）及其態(tài)密度得到重整，關(guān)系式 n=n（Vg）與正常相中的是否相同值得我們考慮，并且這點(diǎn)對(duì)實(shí)驗(yàn)很重要。我們知道，在平均場(chǎng)處理中，粒子密度可以表示為公式（78），其中uk，vk，及ε（k）都是參數(shù)Vg的函數(shù)。在這個(gè)情況下，從上式中很難得到凝聚體中n=n（Vg）的準(zhǔn)確關(guān)系。但是，數(shù)值方法能夠解決這個(gè)問(wèn)題。通過(guò)對(duì)每個(gè)確定的Vg做自洽計(jì)算，我們發(fā)現(xiàn)密度在兩個(gè)不同的相中幾乎是一樣的，差別在10%以?xún)?nèi)，即近似關(guān)系式n≈CVg/e在兩個(gè)相中都成立。當(dāng)溫度上升時(shí)，超流密度ns減小，如圖34（b），但是對(duì)于確定的Vg，總的密度n是不變的。

C.激子凝聚體的熱Josephson效應(yīng)

多年來(lái)，量子微結(jié)構(gòu)中的Josephson效應(yīng)一直是受人關(guān)注的研究對(duì)象［114，233，234］。最近，固態(tài)納米系統(tǒng)中的熱輸運(yùn)吸引了很多研究者的注意［235］。特別是，在由被絕緣薄層隔開(kāi)的兩個(gè)超導(dǎo)體所構(gòu)成的Josephson結(jié)中，由溫度差引起的熱輸運(yùn)成為熱門(mén)的研究對(duì)象。這里有一些潛在的應(yīng)用，如熱晶體管和熱分離器［236］。理論上，在有溫度差的超導(dǎo)Josephson結(jié)中的熱流得到充分的討論［237［236］。

1.隧穿矩陣元和能隙函數(shù)

我們繼續(xù)前一小節(jié)的討論，在空間隔開(kāi)的碳雙層中，一層的電子與另一層的空穴產(chǎn)生Coulomb吸引作用，這樣激子就形成了。當(dāng)兩個(gè)碳雙層中的激子凝聚體由一個(gè)薄的絕緣層隔開(kāi)，由于空間相干性，超流的激子就有可能流過(guò)這個(gè)絕緣層，這就是激子的Josephson效應(yīng)，它反映出宏觀的量子現(xiàn)象。這個(gè)有趣的效應(yīng)最先在超導(dǎo)結(jié)中提出的［185］，接著研究擴(kuò)展到激光阱中的稀釋原子氣體［240］以及半導(dǎo)體微腔中的電磁激子［241，242］。在碳雙層中討論通過(guò)激子凝聚體間隔層的熱流是很有價(jià)值的。

這里我們考察有溫度差的激子Josephson結(jié)中的熱輸運(yùn)［243］。在兩個(gè)碳雙層中研究熱流有三個(gè)顯著的優(yōu)點(diǎn)：（1）標(biāo)志著從正常態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)槟蹜B(tài)的臨界溫度很高［225］，這是由于碳雙層中激子的有效質(zhì)量很小，激子之間在較高的溫度下就已經(jīng)出現(xiàn)相干性；（2）在碳雙層中熱導(dǎo)非常高［7，244］，這有利于熱輸運(yùn)；（3）這個(gè)裝置容易在實(shí)驗(yàn)上實(shí)現(xiàn)，像溫度和粒子密度這些參數(shù)可以在目前的實(shí)驗(yàn)條件下調(diào)節(jié)，理論設(shè)想可以用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。

　圖35.有溫度差的激子凝聚體Josephson結(jié)的示意圖。在絕緣層的每一邊，兩個(gè)碳單層間用厚度為 d的電介質(zhì)層隔開(kāi)。

這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)碳雙層，通過(guò)薄的絕緣層連接在一起，每一個(gè)碳雙層含有兩個(gè)碳單層，中間由介質(zhì)層隔開(kāi)，如圖35所示。每一碳單層的粒子密度表示為1/（πr2），其中r為粒子間的平均間距，這個(gè)密度可以通過(guò)外加的電場(chǎng)來(lái)調(diào)節(jié)。假設(shè)兩個(gè)激子凝聚體都處在臨界溫度以下，密度是相同的，但有不同的溫度（TL和TR）。當(dāng)兩個(gè)凝聚體空間相干性建立后，由于存在隧穿過(guò)程，Josephson效應(yīng)就可能發(fā)生。根據(jù)前面的計(jì)算可知［225］，層內(nèi)電子或空穴的相互作用對(duì)激子的激發(fā)譜影響很小，因此我們?cè)谶@里只考慮層間粒子的相互作用。對(duì)于在碳雙層系統(tǒng)中的激子Josephson結(jié)，它的Hamilton量可以寫(xiě)成

當(dāng)Γkk′=0時(shí)，上面的Hamilton量描述的是兩個(gè)獨(dú)立的激子凝聚體。在每個(gè)凝聚體中，平均場(chǎng)理論給出了自洽的能隙函數(shù)［225］，它就是常說(shuō)的對(duì)勢(shì)

其中φkk′是波矢 k和 k′之間的角度，∈是介電常數(shù)，能譜表示為

　圖36.能隙函數(shù)的極大值?m隨粒子平均間距r和溫度T的變化。在 ?m=0處所對(duì)應(yīng)的溫度為臨界溫度，它與r的關(guān)系在圖中表現(xiàn)出來(lái)。引自文獻(xiàn)［243］。

在凝聚體中能隙函數(shù)是非常重要的，它可以用來(lái)判斷系統(tǒng)是否具有宏觀相干性。通過(guò)自洽計(jì)算可以得到關(guān)于波矢 k的能隙函數(shù)。在激子凝聚體中能隙函數(shù)和臨界溫度的關(guān)系與傳統(tǒng)超導(dǎo)體中的情形相似。定義能隙函數(shù)的極大值?m=max［?（k）］，它依賴(lài)于溫度和粒子間的平均間距，如圖36所示。在給定溫度下，?m隨著平均間距r的增加而減??；隨著溫度上升，?m先是緩慢地減小，接著迅速減小至零。在?m=0處對(duì)應(yīng)的溫度就是臨界溫度，它隨平均間距的增加而減小。也就是說(shuō)，粒子密度越大，所對(duì)應(yīng)凝聚體的臨界溫度越高。

2.準(zhǔn)粒子流和干涉流

在方程 （84）中，考慮非零而有限的隧穿矩陣元 Γkk′，并利用運(yùn)動(dòng)方程，可以推導(dǎo)出通過(guò)激子Josephson結(jié)的平均熱流IQ為

采用一級(jí)微擾理論［245］，計(jì)算一個(gè)算符的平均值，可以寫(xiě)出

如果選擇隔開(kāi)兩個(gè)碳單層的電介質(zhì)為SiO2，它的介電常數(shù)ε大約為3.9。這個(gè)常數(shù)會(huì)影響碳層中電子和空穴的相互作用［229］，因?yàn)樵谔紗螌又邢嗷プ饔脧?qiáng)度用β=e2/（??vF）來(lái)表征。我們?nèi)圆捎?vFku（≈6.6 meV，其中ku=107/m）作為能量單位。在整個(gè)計(jì)算中，選取的合理參數(shù)為β=1，d=3 nm，以及vF=106m/s。

　圖37.熱流 Iqp（單調(diào)增加的曲線）和Iin（先增加后減小的曲線）隨左邊激子凝聚體溫度TL的變化。在 （a）與（b）中r分別為20和5 nm。所有圖中TL＞TR及?=0。這里我們定義常數(shù)η=32|Γ|2k4u/π作為熱流的單位。引自文獻(xiàn)［243］

當(dāng)溫度TL和TR都很低時(shí)，由方程（87）和（88）可以推出關(guān)于IQ在 ?=0處的表達(dá)式為

從方程（89）中可以看出，熱流 IQ與TR和 TL-TR有關(guān)，IQ的大小隨著|TL-TR|的增加而變大；而且，當(dāng)粒子的平均間距r減小時(shí)，對(duì)于給定的TR和 TL，IQ增大，因此大的粒子密度有利于熱輸運(yùn)。

當(dāng)溫度TL（或TR）較大時(shí)，需要通過(guò)數(shù)值求解方程（87）和（88），來(lái)給出熱流隨溫度的變化。在 ?= 0處，所得的數(shù)值結(jié)果如圖37所示，其在低溫區(qū)與方程（89）符合得很好。對(duì)于給定的粒子密度，例如在圖37（a）中，準(zhǔn)粒子流Iqp隨著TL上升而不斷變大，這是由于兩個(gè)激子凝聚體的溫度差不斷增大。但是，干涉流Iin先是增加，隨后減小，逐步減為零，這是由凝聚體的溫差和左邊凝聚體的能隙函數(shù)共同作用的結(jié)果。另外，如果TL-TR→0，就可以得到Iqp≈Iin→0，這一點(diǎn)也可從方程（87）和（88）中看出。當(dāng)左邊激子凝聚體處在臨界溫度時(shí)，如圖中的垂直線，有?L=0，這時(shí)就沒(méi)有干涉流。在臨界溫度附近，熱流IQ主要由準(zhǔn)粒子流貢獻(xiàn)，并隨TL增加而變大。

隨著平均間距r變小，如圖36所示，能隙函數(shù)變大，相應(yīng)的臨界溫度上升。這樣凝聚體溫度的變化范圍就擴(kuò)大，通過(guò)對(duì)比圖37中的兩幅圖，可以看出熱流 Iqp和 Iin的變化范圍也擴(kuò)大。對(duì)于給定的TL和TR，IQ對(duì)于小的平均間距有更大的變化范圍，這樣有利于熱輸運(yùn)。這個(gè)結(jié)果與公式（89）符合得很好。

3.熱整流器和熱邏輯門(mén)

在固態(tài)材料的正常態(tài)中，熱流總是從高溫端流向低溫區(qū)，流的大小與溫差有關(guān)，但是熱整流系統(tǒng)就有點(diǎn)不同。熱整流在熱納米器件中是很重要的，如熱二極管，它表示熱流很容易地在一個(gè)方向上流動(dòng)，當(dāng)改變溫度差方向時(shí)，熱流就不易在相反方向上流動(dòng)［246，247］。根據(jù)這個(gè)描述，定義熱整流比為

我們?cè)O(shè)定兩個(gè)溫度 Thot和 Tcold（Thot＞Tcold）。ILR表示從左邊流向右邊的總熱流，且TL=Thot和TR= Tcold，IRL代表溫差反向后從相反方向流過(guò)的熱流。與超導(dǎo)隧道結(jié)［239］和聲子裝置［248］中的熱整流相比，我們?cè)诩ぷ幽垠w間考慮這一效應(yīng)，并得到非常高的整流比。

由于干涉流Iin的方向由凝聚體相位差決定，與溫度無(wú)關(guān)，利用激子Josephson結(jié)的這一特征，可以在激子凝聚體間實(shí)現(xiàn)熱整流器。通過(guò)方程（87），（88），以及（90）得到整流比κ的表達(dá)式為

　圖 38.熱整流比κ分別隨溫度Thot的變化（a）和隨相位差?的變化（b）。在（a）中?=π，粒子平均間距r有四個(gè)不同值。在（b）中r=5 nm。所有圖中Tcold=20 K。引自文獻(xiàn)［243］。

通過(guò)上面的分析可以看出，凝聚體間的相位差在熱整流效應(yīng)中起著非常重要的作用。實(shí)驗(yàn)上，可以利用磁場(chǎng)來(lái)調(diào)節(jié)這個(gè)相位差［191］。當(dāng)磁場(chǎng)垂直于激子的電偶極距時(shí)，凝聚體的相位受規(guī)范勢(shì)梯度的影響而發(fā)生改變。這樣就可以用相位差來(lái)調(diào)節(jié)熱整流比，如圖38（b）所示。給定Thot和Tcold，κ在?=（2l+1）π（l為整數(shù)）處有最大值，而在?=2lπ處有最小值。隨著Thot的上升，在2lπ的附近有-1＜κ＜0，這點(diǎn)可以從方程（91）中得到驗(yàn)證，并且κ的變化很小。然而，在靠近（2l+1）π處，κ受溫度Thot的影響很大，隨Thot的上升而很快減小。當(dāng)Thot=200 K時(shí)，κ對(duì)于任意的?都趨于零。這個(gè)現(xiàn)象是由于凝聚體的能隙函數(shù)在200 K處變得很小，使得公式（91）中的分子趨于零。值得注意的是，κ在Thot=30 K處的值高達(dá)3.3×104%，這個(gè)值超過(guò)超導(dǎo)Josephson結(jié)中的40倍［239］。

熱邏輯門(mén)也是熱器件中不可缺少的，它提供了開(kāi)和關(guān)的狀態(tài)。在上面所討論的結(jié)構(gòu)中，進(jìn)行熱調(diào)控也會(huì)出現(xiàn)這個(gè)邏輯門(mén)特征。我們保持右邊激子凝聚體的溫度不變，如TR=10 K，而調(diào)節(jié)左邊溫度按TL=（80-70cosα）K變化。這時(shí)TL處在10 K到150 K之間，都在臨界溫度之下。實(shí)驗(yàn)上，可以利用激發(fā)光的強(qiáng)度來(lái)調(diào)節(jié)TL，激發(fā)光的波長(zhǎng)取在紫外的區(qū)域，這樣有利于樣品的加熱，例如325 nm［7，244］。在這種安排下，有TL≥TR，總的熱流IQ在凝聚體中總是從左邊流向右邊。把參數(shù)TL和TR代入方程（87）和（88），我們就得到總的熱流的具體結(jié)果。

　圖39.總的熱流IQ隨參數(shù)α的變化。TL=（80-70cosα）K，TR=10 K，以及 r=5 nm。引自文獻(xiàn)［243］。

在圖39中，IQ在低的TL下是很小的，這是由于凝聚體的能隙函數(shù)和分布函數(shù)在低溫區(qū)都幾乎不受TL和TR的影響，因此IQ趨于零。這個(gè)態(tài)就可以看成是關(guān)的，IQ近似用方程（89）來(lái)描述。當(dāng)TL上升時(shí)，IQ迅速增加，并在α=（2l+1）π處達(dá)到最大值，這看成是開(kāi)的狀態(tài)。在這個(gè)態(tài)中，凝聚體的能隙函數(shù)和分布函數(shù)受溫度的影響很大，以至于IQ的變化就很大。容易發(fā)現(xiàn)，稍微改變?chǔ)恋闹稻湍軌蜃専崃鲝拈_(kāi)的狀態(tài)變到關(guān)的狀態(tài)，或是反過(guò)來(lái)。利用這兩個(gè)態(tài)，簡(jiǎn)單的邏輯操作就能通過(guò)不同的結(jié)構(gòu)來(lái)實(shí)現(xiàn)，這類(lèi)似于電學(xué)的邏輯門(mén)。因此，我們能夠利用激發(fā)光來(lái)改變?chǔ)?，?shí)現(xiàn)開(kāi)和關(guān)的狀態(tài)之間的轉(zhuǎn)換。這個(gè)性質(zhì)可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)探測(cè)，而且其工作溫度是很高的，故對(duì)設(shè)計(jì)熱器件中的熱邏輯門(mén)將是有用的。

總之，由弱連接的兩個(gè)碳雙層結(jié)構(gòu)，可以實(shí)現(xiàn)溫度偏置下的激子凝聚體Josephson結(jié)中的熱輸運(yùn)。這個(gè)激子凝聚體Josephson結(jié)可以用來(lái)設(shè)計(jì)熱整流器和熱邏輯門(mén)，且容易通過(guò)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，并可望在熱納米器件中得到應(yīng)用。

VI.拓?fù)淞孔酉嘧?/h2>

相變是凝聚態(tài)物理學(xué)前沿領(lǐng)域關(guān)注的一個(gè)重要課題。在通常情況下，我們把相變分為熱相變和量子相變［1］：溫度驅(qū)動(dòng)的相變?yōu)闊嵯嘧?，典型的例子如常?guī)的超導(dǎo)相變，在臨界溫度以上為正常金屬態(tài)，臨界溫度以下為超導(dǎo)態(tài)；而在零溫下，由一些確定的非熱變量（如壓強(qiáng)、磁場(chǎng)或成分等）誘導(dǎo)的相變?yōu)榱孔酉嘧?，相互作用參量之間的競(jìng)爭(zhēng)作用是其主要原因，例如橫場(chǎng)控制下Ising模型的鐵磁—順磁相變。近些年來(lái)，一個(gè)新的概念“拓?fù)洹钡囊耄沟脗鹘y(tǒng)的晶體能帶理論得以拓寬，發(fā)展出能帶拓?fù)淅碚摚?00，201］，有關(guān)相變方面的研究也逐漸地發(fā)展出來(lái)拓?fù)湎嘧兝碚摗＿@些拓?fù)湎嗟拇嬖谛枰ㄟ^(guò)量子輸運(yùn)實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證，例如整數(shù)量子Hall效應(yīng)［249］，分?jǐn)?shù)量子Hall效應(yīng)［250］，量子自旋Hall效應(yīng)［251］，以及量子反常Hall效應(yīng)［252］等。

A.二維六角結(jié)構(gòu)中的拓?fù)淞孔酉嘧?/p>

本小節(jié)將介紹用Z2拓?fù)渲笖?shù)表征的，具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性的二維六角晶體中的拓?fù)浣^緣體相，包括碳單層、碳雙層以及硼氮雙層中的拓?fù)湎啵錂C(jī)制均源于自旋軌道耦合作用所導(dǎo)致的導(dǎo)帶和價(jià)帶間的反轉(zhuǎn)。體能隙中存在無(wú)能隙的邊態(tài)是這類(lèi)二維拓?fù)浣^緣體所表現(xiàn)出的基本的能帶特征。

1.碳單層Kane-Mele模型

Kane和Mele于2005年從理論上首次證明，如果碳單層中存在內(nèi)稟的自旋軌道耦合作用，那么系統(tǒng)就會(huì)打開(kāi)一個(gè)體能隙，并在體能隙中出現(xiàn)無(wú)能隙的邊態(tài)［253］，如圖40所示。Kane-Mele（KM）模型Hamilton量的具體形式為

圖40.鋸齒型碳單層納米條帶的量子自旋Hall相（QSH）。左圖是能譜，參數(shù)取值為λν=0.1t，λSO=0.1t，λR=0.05t，其中t=3.0 eV。右圖顯示體能隙中邊態(tài)的實(shí)空間分布，位于上下邊界上的拓?fù)鋺B(tài)能帶也相應(yīng)地給出。計(jì)算參數(shù)取自文獻(xiàn)［253］。

現(xiàn)在我們已經(jīng)知道，常規(guī)狀態(tài)下的碳單層材料，由于其內(nèi)稟的自旋軌道耦合作用非常弱因而遠(yuǎn)非一種實(shí)際的拓?fù)浣^緣體材料，自旋軌道耦合所打開(kāi)的體能隙基本上可以忽略［255］。第一個(gè)實(shí)際的二維拓?fù)浣^緣體材料 HgTe/CdTe量子阱是由2006年張守晟等在理論上預(yù)言［256］，隨后于2007年被實(shí)驗(yàn)［251］所證實(shí)的。然而，樣品制備難的問(wèn)題限制了HgTe/CdTe量子阱材料工業(yè)化上的應(yīng)用。因此，利用外場(chǎng)調(diào)控的手段在較易大規(guī)模生產(chǎn)的碳單層以及其它二維六角晶體材料中誘導(dǎo)出拓?fù)浣^緣體相這個(gè)目標(biāo)極具吸引力。

2.碳雙層中的拓?fù)湎?/p>

基于碳單層上的KM模型，我們可以很自然地將其推廣到六角雙層系統(tǒng)中去探討拓?fù)湎嗟膶?shí)現(xiàn)［257～259］。此時(shí)緊束縛Hamilton量可以寫(xiě)成

下面我們來(lái)具體介紹碳雙層中的拓?fù)湎嘧?。研究表明，外加層間偏壓可以使AB堆積碳雙層在大的Rashba自旋軌道耦合的作用下表現(xiàn)出一個(gè)強(qiáng)的拓?fù)浣^緣體相［258，260］，用拓?fù)渲笖?shù)Z2來(lái)表征。層間偏壓的作用就是通過(guò)誘導(dǎo)層間電荷極性來(lái)打開(kāi)一個(gè)體帶隙。計(jì)算Z2的表達(dá)式可使用［258］

圖41給出的是以λR和?為參變量的相圖，參數(shù)λSO=0，Z2拓?fù)渲笖?shù)作為相變判據(jù)。當(dāng)Z2=1時(shí)，系統(tǒng)是一個(gè)強(qiáng)拓?fù)浣^緣體。從相圖中我們可以看到，碳雙層的拓?fù)浣^緣體相完全可以通過(guò)層間偏壓進(jìn)行打開(kāi)和關(guān)閉。相圖上A，B，C三點(diǎn)的能帶也相應(yīng)地在圖41中給出：和A點(diǎn)的拓?fù)溥厬B(tài)相比，C點(diǎn)的體能隙中無(wú)能隙邊態(tài)的數(shù)目加倍，對(duì)應(yīng)于一個(gè)特殊的拓?fù)湎?，稱(chēng)為量子谷Hall絕緣體相；相界上的B點(diǎn)體能隙剛好關(guān)閉。事實(shí)上，對(duì)于相界上的每一點(diǎn)，體帶隙剛好在高對(duì)稱(chēng)性的K和K′點(diǎn)上關(guān)閉，由此可以得到相界滿足的解析關(guān)系式

在碳三層系統(tǒng)中，先前的研究也證明了 Rashba自旋軌道耦合和偏壓共同作用下會(huì)出現(xiàn)強(qiáng)拓?fù)湎啵?57］?？傊?，碳薄膜材料中所得到的這些鼓舞人心的結(jié)果進(jìn)一步點(diǎn)燃了人們?cè)诙S六角晶體中尋找拓?fù)湎嗟南Ｍc激情。

3.硼氮雙層中的拓?fù)湎嘧?/p>

圖41.兩參量 ?和 λR控制的 AB堆積碳雙層納米條帶的相圖，其它三幅圖給出的是相圖中點(diǎn)A，B，C的能帶。TI代表拓?fù)浣^緣體，QVHI代表量子谷 Hall絕緣體?？蓞⒖嘉墨I(xiàn)［258，260］。

圖42.左列　（a），（c），（e）給出的是AA堆積　硼氮雙層的結(jié)果，右列?。╞），（d），（f）顯示的是 AB堆積硼氮雙層的結(jié)果。（a）和（b）給出的是體能帶結(jié)構(gòu)圖，（c）和（d）是Wannier函數(shù)心的演化圖，（e）和（f）顯示的是受限鋸齒型邊界納米條帶能帶圖。（a），（c），（e）的層間偏壓勢(shì)能參數(shù)取值　?=λαν；（b），（d），（f）的取值為 ?=λβν。（a）圖中實(shí)線和虛線自旋軌道耦合 （λSO，λR）分別取為（0，0）和（0.05tα，0.2tα）；（b）圖中實(shí)線和虛線 （λSO，λR）取值分別為（0，0）和（0.05tβ，0.2tβ）。（c）和（e）取值參數(shù)與（a）中虛線所示一致，（d）和（f）取值參數(shù)與（b）中虛線所示一致。改編自文獻(xiàn)［259，260］。

驗(yàn)中實(shí)現(xiàn)［133］，可以判斷硼氮雙層中所需的同量級(jí)的電場(chǎng)完全能夠通過(guò)選擇氧化層絕緣體的材料以及控制其厚度來(lái)實(shí)現(xiàn)。另外一種可行的方式就是利用界面極化注入大量的電荷［263］從而改變硼氮雙層的層間極性。不同偏壓下硼氮雙層能隙的具體變化結(jié)果可參考文獻(xiàn)［260，264］。

只有當(dāng)系統(tǒng)滿足Z2=1時(shí)才是一個(gè)強(qiáng)拓?fù)浣^緣體相。

通過(guò)Z2拓?fù)渑袚?jù)，我們可以從相圖參數(shù)計(jì)算下得到的圖42（c），（e）來(lái)確認(rèn)AA堆積硼氮雙層為拓?fù)浣^緣體相。同樣地，從圖42（d），（f）中我們可以判斷，AB堆積硼氮雙層為普通絕緣體相。

我們進(jìn)一步來(lái)探討AA堆積硼氮雙層納米條帶中出現(xiàn)拓?fù)溥厬B(tài)的條件。與碳雙層中拓?fù)湎喑霈F(xiàn)條件相同，當(dāng)AA堆積硼氮雙層的最高占據(jù)價(jià)帶和最低非占據(jù)導(dǎo)帶在K和K′剛好接觸時(shí)，拓?fù)湎嘧儼l(fā)生。相變的臨界點(diǎn)滿足方程［259］

圖43.左上圖給出的是參量坐標(biāo) （?，λR）下AA堆積硼氮雙層納米條帶相圖，固定參數(shù) λSO=0.035tα。對(duì)應(yīng)于相圖上A，B，C三點(diǎn)，其能帶結(jié)構(gòu)也相應(yīng)地在其它三幅插圖中給出。引自文獻(xiàn)［260］。

使用 Z2拓?fù)洳蛔兞康呐袚?jù)，圖 43給出的是λR和?控制的相圖，內(nèi)稟自旋軌道耦合作用固定為λSO=0.035tα。我們可以看到，與等式（98）相一致的兩個(gè)相界把整個(gè)區(qū)域分成三塊。隨著偏壓增加，系統(tǒng)表現(xiàn)出重入相變的現(xiàn)象，先從普通絕緣體相轉(zhuǎn)變到拓?fù)浣^緣體相，然后從拓?fù)浣^緣體相重新轉(zhuǎn)變到普通絕緣體相。在兩個(gè)臨界點(diǎn)P1和P2上，系統(tǒng)的體態(tài)在K點(diǎn)上表現(xiàn)出帶隙的關(guān)閉。這樣一個(gè)重入相變的行為起源于層間偏壓誘導(dǎo)的能帶的變化。當(dāng)我們固定λR=0.1tα，如圖43所示，取A，B，C三個(gè)點(diǎn)，從普通絕緣體態(tài)A到拓?fù)浣^緣體態(tài)B，體帶隙從打開(kāi)到關(guān)閉，這對(duì)應(yīng)著導(dǎo)帶和價(jià)帶的翻轉(zhuǎn)過(guò)程，出現(xiàn)了邊態(tài)。根據(jù)A點(diǎn)經(jīng)B點(diǎn)到C點(diǎn)能帶的整體變化，我們可以進(jìn)一步判斷，在低能區(qū)［-0.5 eV，0.5 eV］上，隨著偏壓增加，能帶向Brillouin區(qū)邊界展寬。在自旋軌道耦合作用不改變的情況下，增大偏壓也就相對(duì)地弱化了自旋軌道耦合作用，能帶展寬也就相應(yīng)地增加了導(dǎo)帶和價(jià)帶反轉(zhuǎn)的困難。因此，系統(tǒng)重新進(jìn)入普通絕緣體相。另外一點(diǎn)需要指出的是，穿過(guò)臨界點(diǎn)P的兩個(gè)相界與等式（98）在ζ=0條件下給出的一致。臨界勢(shì)?c滿足［259］

B.碳單層和雙層中Rashba自旋軌道耦合的作用

拓?fù)湫再|(zhì)反映的是物理系統(tǒng)的一種整體行為。事實(shí)上，表征系統(tǒng)拓?fù)湫再|(zhì)的方式有很多，依賴(lài)于具體物理系統(tǒng)的空間對(duì)稱(chēng)性以及相互作用的形式。前面所采用的Z2拓?fù)渲笖?shù)只是表征具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性系統(tǒng)中是否存在無(wú)能隙邊態(tài)這一拓?fù)湫再|(zhì)。這里將介紹另外一種使用Berry相位表征的拓?fù)湫再|(zhì)，重點(diǎn)闡述Rashba自旋軌道耦合作用下碳單層和雙層中拓?fù)湫再|(zhì)的變化，以及與之相關(guān)聯(lián)的量子輸運(yùn)現(xiàn)象。

1.Berry相位

這樣我們得到，碳單層Berry相位為π。

對(duì)于AB堆積的碳雙層，我們也已經(jīng)在動(dòng)量空間下求解出Hamilton量式（13）的旋量波函數(shù)（15），從而可以求得其Berry相位為

可見(jiàn)碳雙層的Berry相位是2π。

　圖44.Rashba自旋軌道作用下 （a）碳單層和 （b）碳雙層在K谷（同樣地對(duì)K′谷）附近的能帶，分別通過(guò)關(guān)系式（103）和（107）給出。每個(gè)子帶能量用 Eμν來(lái)標(biāo)記，μ和ν取符號(hào) ±。（a）中 2λR標(biāo)記的是K（K′）點(diǎn)處的能量劈裂，（a）和（b）中帶箭頭的回路示意的是（kx，ky）平面中等能面的自旋螺旋結(jié)構(gòu)。引自文獻(xiàn)［268］。

對(duì)于由A、B兩套三角子格構(gòu)成的碳單層Rashba自旋軌道相互作用系統(tǒng)，以｛ψA↑，ψA↓，ψB↑，ψB↓｝為基矢，在非摻雜條件下的低能近似Hamilton量為［268］

通過(guò)求解定態(tài)方程，我們可以獲得Hξ的本征值

這里上標(biāo)T代表轉(zhuǎn)置，c0=1/√ 2是歸一化常數(shù)，θ= arctan（ky/kx）是波矢k的角度。真實(shí)自旋算符σ0?s和贗自旋算符σ?s0的平均值為

為了表征Rashba作用下碳單層中贗自旋和真實(shí)自旋的整體性質(zhì)，我們計(jì)算波函數(shù)的Berry相位得到

可以證明，使用另外的一個(gè)規(guī)范，如用ψξμν乘以e-iθ，等式（105）中的ΦB變成2π。因?yàn)橐?guī)范只是改變了贗自旋的繞數(shù)，這意味著B(niǎo)erry相位0和2π在拓?fù)渖鲜堑葍r(jià)的。對(duì)于沒(méi)有Rashba自旋軌道耦合的碳單層，物理上來(lái)講是Dirac節(jié)點(diǎn)，即導(dǎo)帶和價(jià)帶的交叉點(diǎn)，這一奇異性導(dǎo)致了π的Berry相位。在Rashba自旋軌道耦合的驅(qū)動(dòng)下，節(jié)點(diǎn)去除，因?yàn)殛P(guān)系式（103）中的Eμν對(duì)k的依賴(lài)關(guān)系由原先的線性奇函數(shù)Eμν（-k）=-Eμν（k）突變?yōu)榕己瘮?shù)Eμν（-k）=Eμν（k）。圖44（a）中的子帶 E++，E-+只是在零能處相切但并不交叉。因此，拓?fù)滢D(zhuǎn)變發(fā)生，Berry相位從π（λR=0）變?yōu)?π（λR≠0）。

對(duì)于由兩個(gè)耦合的碳單層構(gòu)成的Bernal堆積的碳雙層，不等價(jià)的子格A、B與、分別位于頂層和底層。層間耦合γ=0.39 eV存在于A和之間。在Rashba作用下，由兩個(gè)4×4單層單谷Hamilton量矩陣（102）構(gòu)成一個(gè)8×8的雙層單谷Hamilton量矩陣。使用低能條件E＜γ下的微擾理論，得到一個(gè)有效的4×4的Hamilton量來(lái)描述四個(gè)低能子帶［268］，

通過(guò)求解碳雙層的定態(tài)方程，得到本征值這里μ，ν=±區(qū)分的是四個(gè)子帶，已標(biāo)記在圖44（b）中。動(dòng)量空間的旋量波函數(shù)為

其中仍有 ?=cos（?/2），?′=sin（?/2）， 但 ?= arctan（?vFk/λR）。自旋算符σ0?s和贗自旋算符σ?s0的平均值為

這里自旋螺旋性和贗自旋極化分別與ν和μ的符號(hào)相關(guān)。在Rashba自旋軌道耦合作用下，碳雙層的自旋螺旋性質(zhì)見(jiàn)圖44（b），基本上與圖44（a）中碳單層表現(xiàn)出類(lèi)似的性質(zhì)。

對(duì)于Rashba自旋軌道耦合作用下的碳雙層，可以分別得到兩個(gè)谷的Berry相位為

這不同于沒(méi)有 Rashba自旋軌道耦合時(shí)碳雙層的 Berry相位 2π，因?yàn)闆](méi)有節(jié)點(diǎn)存在于二次偶函數(shù) E（k）的關(guān)系中。 在 Rashba自旋軌道耦合作用下，零能處節(jié)點(diǎn)的出現(xiàn)是由于關(guān)系式 （107）中的Eμν是k的奇函數(shù)。數(shù)據(jù)分析顯示，圖44（b）的子帶E++，E-+（E+-，E--）相互交叉。因此，Rashba自旋軌道耦合作用驅(qū)動(dòng)了一個(gè)拓?fù)渖现匾霓D(zhuǎn)變，Berry相位從2π（對(duì)于λR=0）變?yōu)棣校▽?duì)于λR≠0）。

2.Andreev反射

在常規(guī)的正常導(dǎo)體（N）—超導(dǎo)體（S）界面上，一般會(huì)發(fā)生Andreev反射［270］。即當(dāng)從正常區(qū)入射一個(gè)電子，引起在這個(gè)區(qū)域回射一個(gè)空穴。這樣正常區(qū)就損失兩倍的電子電荷，損失的電荷進(jìn)入超導(dǎo)區(qū)以Cooper對(duì)的形式向前傳輸。

在2006年，Beenakker將傳統(tǒng)的求解Andreev反射過(guò)程的Bogoliubov-de Gennes（BdG）方程運(yùn)用到碳單層上，根據(jù)谷的簡(jiǎn)并性得到了谷去耦的Dirac電子的BdG方程（271）

　圖45.（a）碳單層的激發(fā)譜，左右兩圖Fermi能級(jí)不同。淺（黃）色線指的是電子激發(fā)（一個(gè)谷在Fermi能級(jí)EF以上的填充態(tài)），深（藍(lán)）色線指的是空穴激發(fā)（另一個(gè)谷在Fermi能級(jí)EF以下的空態(tài)）；實(shí)線和點(diǎn)線分別來(lái)源于EF= 0時(shí)電子的導(dǎo)帶和價(jià)帶；基于界面反射的電子—空穴轉(zhuǎn)換用箭頭標(biāo)記，在正入射（k=kx，ky=0）的情況下，當(dāng)一個(gè)導(dǎo)帶的電子被轉(zhuǎn)換成一個(gè)價(jià)帶的空穴時(shí)，鏡面 Andreev反射（右圖）發(fā)生；回射情況下（左圖），電子和空穴都是由EF=0處電子的導(dǎo)帶貢獻(xiàn)的。 （b）入射角固定時(shí)不同激發(fā)能ε（相對(duì)于Fermi能級(jí)EF）的入射電子和Andreev反射空穴的路徑。（c）微分電導(dǎo)—偏壓依賴(lài)關(guān)系。改編自 Beenakker的工作［194，271］。

其中 ?0，φ分別代表 s-波超導(dǎo)體的能隙和相位，階躍函數(shù) Θ（x）表示正常導(dǎo)體區(qū)（x＜0）與超導(dǎo)體區(qū)（x＞0）在 x=0處過(guò)渡，（μ，υ）T描述的是準(zhǔn)粒子態(tài)。Beenakker發(fā)現(xiàn)，在弱摻雜的碳單層中Dirac-Fermi子的Andreev反射是由鏡面反射主導(dǎo)的，NS結(jié)上的可測(cè)量微分電導(dǎo)信號(hào)很強(qiáng)。

我們來(lái)具體分析碳單層Andreev反射過(guò)程，見(jiàn)圖45。圖45（a）給出的是矩陣（110）嚴(yán)格對(duì)角化后給出的碳單層的激發(fā)譜

Fermi能級(jí)的兩個(gè)值在左圖取強(qiáng)摻雜值EF??0，右圖取弱摻雜值EF=0?？梢?jiàn)在普通情況下（左圖），電子和空穴都是由EF=0處導(dǎo)帶貢獻(xiàn)的，發(fā)生的是Andreev回射，而當(dāng)一個(gè)導(dǎo)帶的電子被轉(zhuǎn)換成一個(gè)價(jià)帶的空穴時(shí)，鏡面Andreev反射（右圖）發(fā)生。圖45（b）給出的是入射角固定時(shí)不同激發(fā)能ε（相對(duì)于Fermi能級(jí)EF）上，入射電子和Andreev反射空穴的路徑。對(duì)于ε≤EF，反射空穴位于導(dǎo)帶上（實(shí)線）；對(duì)于ε＞EF，空穴位于價(jià)帶上（虛線）。

使用Blonder-Tinkham-Klapwijk（BTK）公式，碳單層亞帶隙（eV＜?0）微分電導(dǎo)可以寫(xiě)為

這里標(biāo)度系數(shù)G

0

=（4e

2

/h）N（eV），對(duì)于寬度為W的碳單層樣品，通道模式數(shù)N（ε）=（E

F

+ε）W/（π?v

F

）；常規(guī)反射幾率R和Andreev反射幾率R

A

可由波函數(shù)界面銜接條件來(lái)確定。圖45（c）顯示的是微分電導(dǎo)—偏壓依賴(lài)關(guān)系：E

F

=0處的曲線代表的是弱摻雜條件下鏡面Andreev反射主導(dǎo)的電導(dǎo)；E

F

/?

0

=500處的曲線代表的是強(qiáng)摻雜條件下Andreev回射主導(dǎo)的電導(dǎo)。回射與鏡面反射之間在輸運(yùn)測(cè)量結(jié)果上表現(xiàn)出顯著的差異。碳單層上關(guān)于Andreev反射現(xiàn)象的有關(guān)實(shí)驗(yàn)已經(jīng)在2007年通過(guò)超導(dǎo)鄰近效應(yīng)得以觀測(cè)

［272］

。

圖46.（a）基于碳單層或碳雙層的NS結(jié)示意圖。N區(qū)存在Rashba自旋軌道相互作用，實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)把樣品放在Ni（111）襯底上，在樣品和襯底間插入一層Au來(lái)實(shí)現(xiàn)，S區(qū)是通過(guò)與s-波超導(dǎo)體襯底鄰近產(chǎn)生的?？赡馨l(fā)生的界面散射過(guò)程已標(biāo)出，包括（1）鏡面Andreev反射，（2）Andreev回射，以及超導(dǎo)區(qū)（3）類(lèi)電子及（4）類(lèi)空穴準(zhǔn)粒子的透射。（b）碳單層和（c）碳雙層的微分電導(dǎo)—偏壓依賴(lài)關(guān)系。EF/?0=0，0.5，50下的結(jié)果都是在選定λR/?0=20時(shí)計(jì)算得到的。（b）中λR=0的曲線作為參考。改編自文獻(xiàn)［268］。

我們知道，由于碳單層的π-Berry相位決定了入射電子態(tài)與反射空穴態(tài)之間匹配程度高，使得空間幾率波干涉增強(qiáng)效應(yīng)顯著，從而導(dǎo)致鏡面Andreev反射的信號(hào)在碳單層中會(huì)表現(xiàn)得很強(qiáng)［271］；而由于2π-Berry相位決定的是電子—空穴相消干涉，因此鏡面Andreev反射的信號(hào)在碳雙層中會(huì)表現(xiàn)得很弱［273］。在λR≠0的情況下，鏡面Andreev反射在具有2π-Berry相位的碳單層中降低，而在具有π-Berry相位的碳雙層中增強(qiáng)。下面我們將具體討論Rashba自旋軌道耦合作用下的碳單層和雙層系統(tǒng)中Andreev反射的情況。考慮到Andreev反射對(duì)能帶拓?fù)涞膹?qiáng)依賴(lài)性［268］，存在Rashba自旋軌道耦合作用時(shí)NS結(jié)上的電子—空穴轉(zhuǎn)換過(guò)程是值得弄清楚的。NS結(jié)裝置如圖46（a）所示，強(qiáng)度在10 meV量級(jí)上的Rashba自旋軌道耦合可以加在N區(qū)上：實(shí)驗(yàn)上可以通過(guò)把碳單層（碳雙層）放在Ni（111）襯底上，中間插入一層Au，靠其提供的5d軌道強(qiáng)電勢(shì)能梯度來(lái)實(shí)現(xiàn)［274］；或者通過(guò)理論所提出的襯底重原子摻雜引入Rashba自旋軌道耦合［258，262］。

在Rashba相互作用下，碳單層和雙層系統(tǒng)仍具有時(shí)間反演對(duì)稱(chēng)性，谷的簡(jiǎn)并性也沒(méi)有被破壞。通過(guò)把具有Rashba相互作用下的 Hamilton量代入BdG方程中，我們就可以來(lái)處理NS結(jié)上的Andreev反射問(wèn)題［268］。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)N區(qū)弱電荷摻雜時(shí)，鏡面Andreev反射在碳單層中被Rashba自旋軌道耦合作用強(qiáng)烈地抑制，而在碳雙層中大幅度地增強(qiáng)，這是Berry相位決定的入射態(tài)與反射態(tài)之間的干涉導(dǎo)致的。這種反常的Andreev反射會(huì)進(jìn)一步導(dǎo)致一個(gè)電學(xué)上可測(cè)量的效應(yīng)，那就是亞帶隙微分電導(dǎo)在存在Rashba自旋軌道耦合作用的碳單層中大幅度下降，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖46（b）；而在碳雙層中會(huì)顯著提升，計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖46（c）。需要指出的是，由于Rashba自旋軌道耦合導(dǎo)致了電子自旋簡(jiǎn)并能帶的劈裂，計(jì)算時(shí)需要將單帶入射情況下的BTK理論拓展到位于不同子帶上兩個(gè)入射態(tài)并存的情況［268］。我們所得到的反常Andreev反射的結(jié)果本質(zhì)上起源于Rashba自旋軌道耦合驅(qū)動(dòng)的Berry相位的拓?fù)渖戏瞧接沟霓D(zhuǎn)變。

C.襯底與光控作用下六角單層的拓?fù)湫再|(zhì)

這里我們要關(guān)心的二維六角晶體中的拓?fù)湫再|(zhì)，與6A和6B中所介紹的電子自旋軌道耦合作用反轉(zhuǎn)能帶機(jī)制不同，而是將與六角復(fù)式晶格中贗自旋及谷自由度有關(guān)。我們重點(diǎn)探討襯底、光控等手段來(lái)調(diào)節(jié)系統(tǒng)的拓?fù)湫再|(zhì)，并使用Berry曲率進(jìn)行拓?fù)浞治觥?/p>

1.碳單層中襯底和光控的分別作用

碳單層的一個(gè)有趣的性質(zhì)就是體能帶在第一Brillouin區(qū)中存在兩個(gè)不等價(jià)的谷。在沒(méi)有任何外場(chǎng)作用時(shí)，具有空間反演對(duì)稱(chēng)性的碳單層是一個(gè)半金屬，低能 Hamilton量為公式（5），可改寫(xiě)為

　圖47.兩種作用方式下碳單層的能帶。（a）SiC襯底作用。堆積子格勢(shì)參數(shù)取值?=0.1t，左側(cè)圖顯示的是低能體能帶，右側(cè)圖中實(shí)線對(duì)應(yīng)的是價(jià)帶的Berry曲率；改編自文獻(xiàn)［277］；（b）非共振圓偏振光照射。光矢勢(shì)取值為A=0.3，左側(cè)圖表示的是體能帶，右側(cè)插圖顯示的是扶手椅型碳單層納米條帶的能帶。改編自文獻(xiàn)［278］

對(duì)于外延生長(zhǎng)在SiC襯底上的碳單層，大約可以被打開(kāi)幾個(gè)meV至上百個(gè)meV的帶隙［275，276］（帶隙大小依賴(lài)于樣品細(xì)節(jié)），歸因于襯底提供的勢(shì)能導(dǎo)致空間反演對(duì)稱(chēng)性的破缺。低能的有效Hamilton量表示為

這里2?表示兩套子格間的靜電勢(shì)能差。如圖47（a）所示，盡管沒(méi)有邊態(tài)存在于體能隙中，這樣的碳單層絕緣態(tài)卻可以表現(xiàn)出谷依賴(lài)的 Berry曲率效應(yīng)，進(jìn)而導(dǎo)致谷Hall效應(yīng)，即不同的兩個(gè)谷上的電子在電場(chǎng)的驅(qū)動(dòng)下會(huì)向相反的邊界運(yùn)動(dòng)。Berry曲率一般通過(guò)關(guān)系式 ?λ（k）=▽k×來(lái)定義，這里uλ（k）是Bloch函數(shù)的周期部分，可以通過(guò)求解eik·（Ri-Rj）［Hs，ξ（k）］ij的本征矢來(lái)獲得，Ri（j）標(biāo)記的是原子的位置。Berry曲率實(shí)際上是一個(gè)局部規(guī)范不變的量，物理上被理解為 Bloch電子感受到的贗磁場(chǎng)。這里價(jià)帶的 Berry曲率可以推導(dǎo)而得為［277］與圖47（a）中的數(shù)值結(jié)果一致。

對(duì)于碳單層上照射非共振圓偏振光的情況，運(yùn)動(dòng)的電子會(huì)感受到一個(gè)時(shí)間周期的矢勢(shì)作用，矢勢(shì)可以表示為 A（t）=Ax（t）ex+Ay（t）ey=A［ηsin（ωt）ex+ cos（ωt）ey］，其中η=+（-）標(biāo)記的是右（左）旋圓偏振光。此時(shí)，系統(tǒng)的 Hamilton量寫(xiě)為

在Floquet圖像下，當(dāng)偏振光滿足eAvF??ω時(shí)我們只需要考慮兩個(gè)低階過(guò)程，包含單個(gè)虛光子的先發(fā)射后吸收過(guò)程及其反過(guò)程。因此，Hamilton量可以簡(jiǎn)化成

其中HF，ξ（k）被稱(chēng)為Floquet Hamilton量，Hm，ξ（k）（m= -1，0，1））可以表示為［278］

這里T=2π/ω是時(shí)間的周期。系統(tǒng)最后的有效Hamilton量表示為

這里光照參數(shù)Fη（ω）=η（eAvF）2/?ω?？梢钥吹?，光照的作用是誘導(dǎo)出可以破壞半金屬相的Haldane質(zhì)量項(xiàng)［279］，從而使得碳單層打開(kāi)體能隙并表現(xiàn)出無(wú)能隙的邊態(tài)，如圖47（b）所示，這就實(shí)現(xiàn)了在無(wú)磁場(chǎng)下的量子 Hall效應(yīng)，也被稱(chēng)為Floquet拓?fù)浣^緣體態(tài)。體能隙的大小為Eξ，g=2|ξFη（ω）|=2（eAvF）2/?ω。當(dāng)一束非共振的圓偏振光照射到碳單層時(shí)，這樣的拓?fù)鋺B(tài)也可以通過(guò)外界極化電場(chǎng)來(lái)驅(qū)動(dòng)。值得指出的是，F(xiàn)loquet-Bloch態(tài)目前已經(jīng)在三維拓?fù)浣^緣體表面上被觀測(cè)到［280］。

2.碳單層中襯底和光控的聯(lián)合作用

很自然地我們會(huì)問(wèn)，如果非共振圓偏振光照射到外延生長(zhǎng)在SiC襯底上的碳單層時(shí)，會(huì)有什么新的物理效應(yīng)出現(xiàn)呢？圖48（a）示意的是圓偏振光和SiC襯底共同作用下的碳單層系統(tǒng)。同樣地使用Floquet理論，在低能近似下處理時(shí)間的周期性，我們可以得到系統(tǒng)的準(zhǔn)平衡有效Hamilton量［281］/

這里需要說(shuō)明的是，非共振光并不直接激發(fā)電子，而是通過(guò)虛光子吸收過(guò)程對(duì)電子能帶進(jìn)行有效的調(diào)制，這與共振光是不同的。在通常情況下，共振光是通過(guò)激發(fā)電子導(dǎo)致不同能量上電子占據(jù)數(shù)變化而起作用，并不改變能帶結(jié)構(gòu)。為了研究能帶的拓?fù)渥兓?，我們需要使用滿足?ω?t這一條件的非共振光。最低光頻大約達(dá)到1015Hz，處于軟X-射線的范圍。當(dāng)然，為了清晰地顯示數(shù)值結(jié)果，?和F被人為地選在了100 meV量級(jí)上；但在較小的能量尺度上，理論結(jié)果的實(shí)驗(yàn)可測(cè)量性并不發(fā)生本質(zhì)的改變，解析結(jié)果的普適性可以體現(xiàn)這一點(diǎn)。

通過(guò)求解Hamilton量式（120）的準(zhǔn)定態(tài)方程，我們可以獲得本征值

這一結(jié)果與圖48（b）所示的在一定參數(shù)下計(jì)算的結(jié)果相符。

當(dāng)?和Fη共存于碳單層時(shí)，我們得到占據(jù)價(jià)帶的Berry曲率為

圖48.（a）右旋圓偏振光照射下外延生長(zhǎng)在SiC襯底上的碳單層示意圖。（b）動(dòng)力學(xué)帶隙Eg-光照參數(shù)F+依賴(lài)關(guān)系圖。兩個(gè)內(nèi)嵌圖給出的是對(duì)應(yīng)于箭頭所指位置的低能能帶圖。（c）緊束縛模型計(jì)算的價(jià)帶Berry曲率?。使用的光是右旋偏振的。（d）參數(shù)坐標(biāo)（F+，?）下碳單層相圖。FTI表示的是Floquet拓?fù)浣^緣相，BI表示的是能帶絕緣體相。內(nèi)嵌圖示意的是任一相界點(diǎn)上帶隙關(guān)閉點(diǎn)K′附近的能帶。改編自文獻(xiàn)［281］。

通過(guò)把?-（k）對(duì)整個(gè)第一Brillouin區(qū)進(jìn)行積分，我們可以得到一個(gè)拓?fù)洳蛔兞?/p>

這里 CF被稱(chēng)為Floquet Chern數(shù)。對(duì)于相圖48（d）中的 FTI相，CF=-1。當(dāng)我們把光的偏振方向反轉(zhuǎn)的時(shí)候，CF=1。對(duì)于相圖中的BI相，我們有CF=0。

根據(jù)圖48（d）獲得的相圖，理論上可以設(shè)計(jì)一個(gè)由圓偏振光控制的拓?fù)湫蛨?chǎng)效應(yīng)晶體管裝置，如圖49所示。這一場(chǎng)效應(yīng)管裝置是由三個(gè)部分組成的，包含源極、漏極和中心區(qū)。這一裝置可以類(lèi)比于當(dāng)前集成電路的最重要的構(gòu)成單元，即傳統(tǒng)的半導(dǎo)體場(chǎng)效應(yīng)管裝置。不同于傳統(tǒng)的電控方式，我們所設(shè)想的圖49中的拓?fù)湫脱b置主要依賴(lài)于調(diào)節(jié)光的強(qiáng)度和偏振方向進(jìn)行工作。

　圖49.左上圖給出的是光控拓?fù)湫途w管示意圖。其它圖給出的是Floquet能帶結(jié)構(gòu)：左下圖對(duì)應(yīng)于臨界態(tài)F+=?，右側(cè)對(duì)應(yīng)于關(guān)態(tài)F+=0.5?（上圖）和開(kāi)態(tài)F+=1.2?（下圖）。引自文獻(xiàn)［281］。

為了實(shí)現(xiàn)Floquet拓?fù)湫蛨?chǎng)效應(yīng)管裝置，從相圖48（d）中我們得知，光的強(qiáng)度需要一個(gè)閾值。這一閾值對(duì)于控制場(chǎng)效應(yīng)管的開(kāi)和關(guān)以及實(shí)現(xiàn)一個(gè)高的開(kāi)關(guān)比是不可或缺的。圖49中的左下圖給出的是相變臨界點(diǎn)F+=?處鋸齒型邊界碳單層納米條帶的 Floquet能帶，右邊插圖顯示的是關(guān)態(tài) F+=0.5?（上圖）和開(kāi)態(tài)F+=1.2?（下圖）的能帶。在襯底提供一典型的子格勢(shì)?=100 meV的情況下，實(shí)驗(yàn)上如果采用頻率為ω=3500 THz的圓偏振光，理論上估計(jì)臨界態(tài)所需光的強(qiáng)度為 I=（eAω）2/（8πα）?1013W/cm2（α是精細(xì)結(jié)構(gòu)常數(shù)）。因此我們可以得到這樣一個(gè)結(jié)論，通過(guò)改變偏振光的強(qiáng)度，我們可以關(guān)閉或者打開(kāi)拓?fù)鋱?chǎng)效應(yīng)晶體管裝置。當(dāng)然，除了光控之外，我們也完全可以通過(guò)電荷摻雜或是加偏壓來(lái)改變中心區(qū)的化學(xué)勢(shì)來(lái)控制這一裝置。如果我們?cè)谠礃O和漏極之間加一小的偏壓，實(shí)驗(yàn)上將會(huì)探測(cè)到由一個(gè)邊態(tài)貢獻(xiàn)的非平衡的電流。進(jìn)一步地，如果反轉(zhuǎn)光的偏振方向，邊態(tài)的手征性也會(huì)反轉(zhuǎn)，因此將導(dǎo)致非平衡電流由另外一條邊來(lái)貢獻(xiàn)。通過(guò)調(diào)節(jié)光的偏振方向，從而改變邊態(tài)的螺旋方向，可以用于設(shè)計(jì)量子比特。

3.硅單層的拓?fù)湎嘧?/p>

與光照下外延碳單層系統(tǒng)相比較，在垂直于硅單層平面的電場(chǎng)和非共振圓偏振光聯(lián)合調(diào)控下，硅單層結(jié)構(gòu)的Hamilton量［36］實(shí)際上也包含了這里的Hamilton量式（120）。事實(shí)上，硅單層結(jié)構(gòu)中層間電場(chǎng)的作用與碳單層中使用SiC基底的作用相同，本質(zhì)上都破壞了晶體的空間反演對(duì)稱(chēng)性。由于翹曲結(jié)構(gòu)的存在使得硅單層的Hamilton量需要附加一個(gè)自旋軌道耦合作用項(xiàng)，見(jiàn)公式（16）。自旋軌道耦合作用在硅單層所有的拓?fù)湎嘀卸及l(fā)揮著非常重要的作用。

　圖50.電場(chǎng)Ez（垂直于硅單層平面）和光照A2/ω共同作用下硅單層系統(tǒng)的相圖（左圖）?？招膱A只是用來(lái)標(biāo)記相圖上的一些點(diǎn)，粗線是用谷標(biāo)記K或K′和自旋分量sz=↑或↓來(lái)表征的相界。單Dirac錐態(tài)（SDC）出現(xiàn)在相界上。拓?fù)渲笖?shù)（C，Cs）在不同的相區(qū)也被標(biāo)出。硅納米條帶有界系統(tǒng)中的量子自旋Hall絕緣體相（QSHI），自旋極化的金屬相（SPM），自旋各項(xiàng)異性（邊界不同自旋電子態(tài)的群速度不同）的量子Hall絕緣體相（P-QHI）的邊態(tài)特征在右圖中給出。拓?fù)淦綆喑霈F(xiàn)在SPM中。用T標(biāo)記的實(shí)線給出的是上邊界傳播的邊模式，用B標(biāo)記的點(diǎn)線給出的是下邊界傳播的邊模式。改編自文獻(xiàn)［36］。

VII.總結(jié)和展望

自從Novoselov和Geim等人發(fā)表那篇實(shí)驗(yàn)上制備碳單層并進(jìn)行電學(xué)測(cè)量的經(jīng)典論文（文獻(xiàn)［4］，從網(wǎng)上數(shù)據(jù)可知，至今已被引用至少21000次以上）以來(lái)，在過(guò)去的十年內(nèi)，二維六角晶體中Dirac電子的物理性質(zhì)得到廣泛的關(guān)注和深入的研究。已經(jīng)發(fā)表的大量科學(xué)論文，汗牛充棟，令人目不暇接，所以要對(duì)這一領(lǐng)域有一個(gè)全面的了解是非常困難的。本文是在我們課題組近幾年關(guān)注這一領(lǐng)域的發(fā)展，研讀一些引起我們興趣的文獻(xiàn)，以及開(kāi)展初步的理論研究工作的基礎(chǔ)上寫(xiě)就的。

本文主要著重在外場(chǎng)調(diào)控下碳、硅、硼氮、二硫化鉬等幾種二維六角晶體材料的Dirac電子性質(zhì)，包括空間結(jié)構(gòu)和基本電子性質(zhì)、能譜和光吸收、量子輸運(yùn)、激子凝聚和熱Josephson效應(yīng)，以及拓?fù)淞孔酉嘧?，管窺之見(jiàn)，掛一漏萬(wàn)，在所難免。在一般性的介紹之外，我們對(duì)碳單層和碳雙層給出了單電子圖像下動(dòng)量空間的Hamilton量、色散關(guān)系和波函數(shù)；用群論的對(duì)稱(chēng)性分析方法處理了單軸應(yīng)變作用下的碳單層量子點(diǎn)，提出了應(yīng)變傳感器和遠(yuǎn)紅外光探測(cè)器的機(jī)制；用非平衡Green函數(shù)方法和Hubbard模型處理碳單層納米條帶存在電子關(guān)聯(lián)的問(wèn)題，得到溫度調(diào)控的自旋極化輸運(yùn)，以及雙極性到單極性的轉(zhuǎn)變；用波函數(shù)銜接方法處理準(zhǔn)周期勢(shì)對(duì)碳單層的調(diào)制，得到了加倍的額外Dirac點(diǎn)，超準(zhǔn)直性的透射；用BCS理論來(lái)探討空間分離的碳雙層中的激子凝聚，以及兩個(gè)激子凝聚體間的熱Josephson效應(yīng)，構(gòu)造了熱整流器和熱邏輯門(mén)；利用電偏壓抑制硼氮雙層的帶隙，實(shí)現(xiàn)能帶絕緣相到拓?fù)浣^緣相的轉(zhuǎn)變；根據(jù)BdG方程，考察Rashba自旋軌道耦合調(diào)制碳單層和碳雙層的色散關(guān)系，實(shí)現(xiàn)Berry相位的反轉(zhuǎn)，預(yù)言在Adreev反射上的反常行為以及實(shí)驗(yàn)上亞帶隙微分電導(dǎo)的可測(cè)量性等。

由碳單層引發(fā)的對(duì)二維原子晶體材料的研究已經(jīng)有十年的發(fā)展歷史，但依然是一個(gè)方興未艾的重要研究領(lǐng)域。從文獻(xiàn)中反映出當(dāng)前人們所關(guān)心的主題大概可以歸結(jié)為三個(gè)方面，而且它們之間是相互聯(lián)系的。

在碳單層的啟發(fā)下，人們?cè)O(shè)計(jì)和開(kāi)拓各種二維新材料。除機(jī)械剝離之外，材料合成是重要的手段。值得關(guān)注的有，a.層狀堆積二維六角晶格材料，包括碳、硅、鍺、硼氮單層和多層，它們的衍生物，以及把不同種分離的二維原子平面通過(guò)層間 van der Waals作用組裝成多層甚至超晶格的異質(zhì)結(jié)構(gòu)材料［284］；b.過(guò)渡金屬元素硫族化合物系列的二維材料，至少有40多種由分子式MX2標(biāo)記的這類(lèi)化合物，其中M為過(guò)渡金屬元素，X代表S、Se、Te，由六角層狀的金屬原子夾在兩層硫?qū)僭又g。除討論過(guò)的MoS2，還有如HfS2、NbSe2、WS2、WSe2等，每一種都提供一些特殊的性質(zhì)。除了過(guò)渡金屬二硫化物，III、IV、V族元素的硫化物，也顯示如碳單層的層狀結(jié)構(gòu)［285］；c.前過(guò)渡金屬碳化物和碳氮化物構(gòu)成的一個(gè)超過(guò)60個(gè)成員的新二維材料大家族，其分子式可記為Mn+1Xn（n=1，2，3），M為前過(guò)渡金屬元素，而X代表C或CN，對(duì)M2X、M3X2和M4X3，分別構(gòu)成3、5、7個(gè)原子層。代表性的成員有Ti2C、Ti3C2、Nb2C、V2C、（Ti0.5，Nb0.5）2C、（V0.5，Cr0.5）3C2、Ti3CN和Ta4C3等［286］。

面對(duì)大量已有的和新發(fā)現(xiàn)的二維原子材料，可以利用各種實(shí)驗(yàn)儀器進(jìn)行樣品制備與測(cè)量、利用物理模型進(jìn)行解析處理，及利用第一性原理進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，來(lái)開(kāi)發(fā)它們的物理性質(zhì)。a.對(duì)由大量新材料構(gòu)成的低維量子結(jié)構(gòu)，可以考察在電場(chǎng)、磁場(chǎng)、應(yīng)力場(chǎng)、光場(chǎng)、溫度場(chǎng)等一個(gè)或多個(gè)外場(chǎng)的協(xié)作調(diào)控下電子的輸運(yùn)性質(zhì)，關(guān)注電子間Coulomb相互作用、電子自旋，及襯底或摻雜誘導(dǎo)的自旋軌道耦合作用對(duì)材料整體性質(zhì)的影響，特別是能帶結(jié)構(gòu)的調(diào)制，如間接帶隙到直接帶隙的轉(zhuǎn)換，找到更好調(diào)節(jié)這類(lèi)材料電子性質(zhì)的方式；b.探討二維六角晶體材料中由結(jié)構(gòu)和參量調(diào)節(jié)形成新相如超導(dǎo)相的問(wèn)題［284，287］，由熱驅(qū)動(dòng)或電子關(guān)聯(lián)驅(qū)動(dòng)的相變，以及重要的拓?fù)淞孔酉嘧兊葐?wèn)題；c.值得繼續(xù)關(guān)注碳、硅、硼氮和二硫化鉬單層、雙層制作成的量子點(diǎn)、量子環(huán)、納米條帶等受限量子結(jié)構(gòu)以及耦合雙量子點(diǎn)和量子點(diǎn)陣列，探討它們的電、光、熱、磁方面的性質(zhì)。

新的材料和新的物理性質(zhì)將對(duì)形成技術(shù)發(fā)揮關(guān)鍵作用。在研究低維結(jié)構(gòu)的新奇物理現(xiàn)象以及新的物理機(jī)制上，期望在設(shè)計(jì)新型高性能低維固態(tài)電子裝置的領(lǐng)域得到一些有特色的應(yīng)用［288，289］?；谄涮厥獾碾?、力、光的性質(zhì)，在碳單層的應(yīng)用方面雖然已經(jīng)跨出一大步，但因?yàn)槿狈?nèi)稟的帶隙，限制了某些方面的應(yīng)用，比如數(shù)字電子學(xué)，這方面需要高的開(kāi)關(guān)比。碳單層型的其它二維材料，如過(guò)渡金屬二硫化物，擁有一些顯著的性質(zhì)，可應(yīng)用于大量器件中，對(duì)p-n-p晶體管和集成電路，光子學(xué)、傳感器，以及能量收集等新技術(shù)方面，可以期望開(kāi)拓新的局面。

凝聚態(tài)物理學(xué)的發(fā)展有其不可預(yù)測(cè)性的特點(diǎn)。試問(wèn)十年前誰(shuí)能設(shè)想，Science上的一篇文章“Electric field effect in atomically thin carbon films”掀起的一點(diǎn)涓涓細(xì)流，在隨后的幾年里會(huì)匯成萬(wàn)丈巨瀾，改變了凝聚態(tài)物理學(xué)研究領(lǐng)域的版圖，同時(shí)和材料科學(xué)、化學(xué)，甚至和粒子物理發(fā)生交叉和互動(dòng)。從碳單層到二維量子Hall效應(yīng)，到三維拓?fù)浣^緣體，顯示出何等創(chuàng)新性的氣魄?？梢栽O(shè)想，在二維六角晶體材料這塊豐饒的土地上會(huì)有更為壯觀的發(fā)現(xiàn)。

根據(jù)南京大學(xué)檔案館的資料顯示，南京大學(xué)的前身南京高等師范學(xué)校在 1915年建立物理學(xué)科，故2015年將是南京大學(xué)建立物理學(xué)科100周年。本文為慶祝這一盛事而作。本文由五位作者合作完成，金國(guó)鈞提出寫(xiě)作計(jì)劃、實(shí)施分工和進(jìn)行指導(dǎo)，并修改全文。具體責(zé)任如下：引言（翟學(xué)超、金國(guó)鈞），空間結(jié)構(gòu)和基本電子性質(zhì)（周興飛），能譜和光吸收（戚鳳華），量子輸運(yùn)（許亞芳），激子凝聚和熱Josephson效應(yīng)（金國(guó)鈞），拓?fù)淞孔酉嘧儯ǖ詫W(xué)超），總結(jié)和展望（金國(guó)鈞）。所有作者都閱讀過(guò)全文，相互討論和提出修改意見(jiàn)。在寫(xiě)作過(guò)程中，我們參考了過(guò)去幾年課題組成員王大理（安徽師范大學(xué)）、鄒劍飛（河海大學(xué)）、張傳意（河南大學(xué)）、趙志云（南通大學(xué)）、戚鳳華（南京曉莊學(xué)院）和翟學(xué)超（南京郵電大學(xué)）在南京大學(xué)攻讀博士學(xué)位期間完成的研究工作。

本文的工作得到國(guó)家重大基礎(chǔ)研究計(jì)劃（批準(zhǔn)號(hào)：2009CB929504，2011CB922102，2015CB921202），國(guó)家自然科學(xué)基金（批準(zhǔn)號(hào)：10674058，60876065，11074108）和江蘇省優(yōu)勢(shì)學(xué)科發(fā)展工程（PAPD）的資助。

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We review here the research results and latest progress in studying Dirac electrons in twodimensional hexagonal crystalline materials composed of single element or double elements like carbon，silicon，boron nitride and molybdenum disulfide.Following a short introduction，the paper discusses the spatial structures and elementary electronic properties of the two-dimensional hexagonal crystalline materials，and analyzes the novel physical phenomena，provides simple theoretical treatments and shows possible applications in near future，involved in the energy spectra and optical absorption，quantum transport，exciton condensation and thermal Josephson effect，as well as topological quantum phase transitions under external fields；finally it gives a summary and perspective for the field.We would like to present this paper to the 100 anniversary of physical discipline in Nanjing University.

Dirac Electrons in Two-Dimensional Hexagonal Crystalline Materials

Zhai Xue-Chao，Qi Feng-Hua，Xu Ya-Fang，Zhou Xing-Fei，Jin Guo-Jun*
Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures
National Laboratory of Solid State Microstructures
Department of Physics，Nanjing University，Nanjing 210093

Two-dimensional hexagonal crystalline material；Dirac electron；Modulation by external field；Optical absorption；Quantum transport；Exciton condensation；Josephson effect；Topological quantum phase transition；Berry phase

date：2014-12-12

O469

A

10.13725/j.cnki.pip.2015.01.001

*gjin@nju.edu.cn

1000-0542（2015）01-0001-49 1