一類帶有交錯擴散項的捕食-食餌模型的分歧分析*

廖思源

(哈爾濱師范大學)

0 引言

捕食-食餌系統(tǒng)一直是生態(tài)學和生物數(shù)學研究的重要內(nèi)容，其理論研究主要包括系統(tǒng)平衡點的穩(wěn)定性、極限環(huán)的存在性、正解的存在性和穩(wěn)定性以及分歧等問題，其中正解若存在，則表明在一定參數(shù)區(qū)域內(nèi)捕食者和食餌能夠共存.

在［1］中Leslie和Gower提出如下經(jīng)典的捕食-食餌模型

(1)可以看做是生態(tài)學研究中捕食-食餌系統(tǒng)的原型，但是其相互作用項是無界的，這在現(xiàn)實中是不合理的.通過利用在文獻［2］中提到的關于食餌和捕食者相互作用項的HollingⅡ型響應函數(shù)，可以得到如下帶有飽和響應函數(shù)的Leslie-Gower捕食 -食餌模型

模型(2)是建立在這樣的生物學事實上:如果捕食者從它最喜歡的食物(食餌u)轉(zhuǎn)移到其它可選食物上的能力越強，那么當食餌種群數(shù)量低的時候其生存能力就越強.

由于種群會從高密度區(qū)域向低密度區(qū)域遷徙，在文獻［3-4］中考慮了如下帶有擴散項的Leslie-Gower模型

文獻［3］中討論了模型(3)在某些參數(shù)條件下正解的存在性.文獻［4］中考慮了其正解的多解性以及在特定條件下正解的唯一性，并給出了一些數(shù)值模擬的結(jié)果.

在遷徙中，食餌有向捕食者密度低的區(qū)域逃離的趨勢，這可以用交錯擴散項來刻畫.在文獻［5］中討論了Dirichlet邊值條件下帶有交錯擴散項和HollingⅡ型響應函數(shù)的如下Leslie-Gower捕食 -食餌模型.

文獻［5］中討論了系統(tǒng)(4)正解的存在性和多解性，以a為參數(shù)考慮了系統(tǒng)從其中一支半平凡解支(0，k2θb/c2)上發(fā)生的分歧.該文以b為參數(shù)給出了系統(tǒng)(4)從另一支半平凡解(θa，0)上發(fā)生的分歧.

對于任意的q∈C()，特征值問題

的主特征值我們記為λ1(q)，對應的特征向量記為φ1(x)，并且記λ1(0)=λ1，φ1(0)=φ1.

引理［6］考慮如下logistic方程

其中l(wèi)是正常數(shù)，Ω?RN是邊界光滑的有界開集.

(i)如果l≤λ1，那么系統(tǒng)(5)沒有非平凡解.

(ii)如果l＞λ1，那么系統(tǒng)(5)存在唯一的正解θl(x)，并且0＜θl(x)＜l，x∈ Ω.

1 主要結(jié)果

記θa和θb分別為l=a和l=b時系統(tǒng)(5)的唯一正解，那么系統(tǒng)(4)存在平凡解(0，0)，當a＞λ1時，存在半平凡解(θa，0);當b＞λ1時，存在半平凡解(0，k2θb/c2).這里我們討論從半平凡解支(θa，0)上發(fā)生的分歧.

定理1 設a＞λ1，那么λ1是系統(tǒng)(4)從半平凡解曲線Γ0={(b，θa，0):b＞0}上出發(fā)的分歧值.進一步地，在(，θa，0)點附近，系統(tǒng)(4)的所有正解都在光滑曲線Γ1={(b(s)，u(s)，v(s)):s∈(0，δ)}上，使得對于某個δ＞0滿足

其中φ1=(-Δ+2θa-a)-1［(-αθab-)是從(0，δ)到R×X×X上的光滑函數(shù)，b1(0)=0，u1(0，x)= ν1(0，x)=0，并且

通過直接計算可得

當(u，ν)=(θa，0)時，分歧發(fā)生的一個必要條件是F(u，ν)(b，θa，0)［ξ，η］ = μ［ξ，η］的主特征值等于0，即

這只有當b==λ1時滿足，因此，分歧點為(b，u，ν)=(，θa，0)又由于 λ1(2θa-a)＞λ1(θa-a)=0，所以(-Δ+2θa-a)-1可逆，定義那么 核 空 間=span{(φ1，φ1)}且 dimN(=1.

假設對任意的(f，g)∈Y×Y，存在(ξ1，η1)∈X×X，使得

用(7)的第二式乘以φ1減去(6)的第二式乘以η1再在Ω上積分得∫Ωgφ1dx=0，因此θa，0)的像空間為

其中l(wèi)是Y×Y上的線性泛函，定義

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