從一則教學(xué)案例談數(shù)學(xué)課堂教學(xué)

彭玉光

數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011版）提出：“義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程要面向全體學(xué)生，適應(yīng)學(xué)生個(gè)性發(fā)展的需求”“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。本文以《比例的基本性質(zhì)》為例，闡述以人為本的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中如何促進(jìn)學(xué)生更好地發(fā)展。

一、案例回放

下面是六年級(jí)下學(xué)期《比例的基本性質(zhì)》一課部分教學(xué)過程及課后研討的回放。

教師讓學(xué)生通過計(jì)算，發(fā)現(xiàn)三個(gè)比例的外項(xiàng)積都等于內(nèi)項(xiàng)積，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生提出初步猜想：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。然后讓學(xué)生舉出更多的例子來驗(yàn)證，再讓學(xué)生尋找反例。上述活動(dòng)完成后，正當(dāng)教師想引導(dǎo)確認(rèn)猜想成立時(shí)，部分學(xué)生提出了不同意見。

學(xué)生1：雖然有很多例子證明它是成立的，但也不能說明對(duì)于所有比例它都是成立的。

學(xué)生2：有那么多的比例式子，現(xiàn)在找不到反例，不等于一定沒有啊。

聽了這兩位學(xué)生的發(fā)言，其他學(xué)生也紛紛議論起來，覺得他們說得有道理。

教師（想了想）：在我們驗(yàn)證的比例中，都具有外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積這一性質(zhì)，由于時(shí)間有限，我們總不能把所有比例都拿來驗(yàn)證吧。實(shí)際上，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明了這個(gè)性質(zhì)是成立的。

學(xué)生2：怎樣證明的？怎么說明所有比例都成立呢？（該學(xué)生不依不饒）

教師（稍作了猶豫，之后下定了決心）：其實(shí)有一種方法可以證明……

隨后，教師引導(dǎo)學(xué)生用字母式來驗(yàn)證：由■=■（b、d≠0），等式左右兩邊同時(shí)乘bd，可得ad=bc，由此證明所有的比例具有外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積這樣的性質(zhì)。

最終學(xué)生心悅誠(chéng)服地“承認(rèn)”了比例的基本性質(zhì)。

課后，上課教師“心有余悸”地說：用字母，即代數(shù)方法來驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)是被學(xué)生“逼”出來的，并非課前所預(yù)設(shè)。當(dāng)時(shí)也猶豫著用不用，因?yàn)榻滩睦餂]有這樣的要求。但使用的效果確是令人滿意的，學(xué)生認(rèn)可了比例的基本性質(zhì)。也很慶幸當(dāng)時(shí)走出了這一步，進(jìn)一步海闊天空啊。

對(duì)此，聽課教師有不同看法。

有人認(rèn)為：用代數(shù)方法來驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)，超出了一般學(xué)生的接受能力，類似的問題應(yīng)留到中學(xué)解決。

還有人認(rèn)為：用代數(shù)方法來驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)“超綱”了，既然教材沒有要求，就沒有必要講，學(xué)生以后會(huì)慢慢理解的。

也有人認(rèn)為：教師的處理是恰當(dāng)?shù)?，從學(xué)生的反映來看，效果是不錯(cuò)的。

各種看法中，持反對(duì)意見的教師占了大多數(shù)。

二、案例分析

課后聽課教師的討論，引起了筆者的思考：用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)有其必要性嗎？如有必要，學(xué)生能理解與接受嗎，教學(xué)上具有可行性嗎？大多數(shù)教師反對(duì)用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)，原因何在？又折射出教師怎樣的教學(xué)理念呢？

1. 用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)的必要性分析。

（1）從學(xué)生接受比例的基本性質(zhì)這一結(jié)論的需要看。

本課教師采取“提出問題——自主計(jì)算——匯報(bào)交流——初步發(fā)現(xiàn)——舉例驗(yàn)證——概括總結(jié)——字母表征”這一常用的教學(xué)思路。這也是一個(gè)猜想、驗(yàn)證的歸納推理過程。但令人意外的是，這個(gè)班的學(xué)生對(duì)概括總結(jié)出的規(guī)律并不認(rèn)可，與教師“較起真來”，原因何在？

這與教材所采用的不完全歸納法的局限性密切相關(guān)。不完全歸納法以事物的部分對(duì)象就得出了事物的一般結(jié)論，帶有想象、猜測(cè)的成分，其結(jié)論需要經(jīng)過論證上才能得以確認(rèn)。顯然，部分學(xué)生發(fā)現(xiàn)了運(yùn)用不完全歸納法在推導(dǎo)比例的基本性質(zhì)過程中的漏洞，而與教師“較真”的。如果不用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)對(duì)于所有比例均成立（一般化），不僅使學(xué)生難以接受其結(jié)論，也會(huì)打擊學(xué)生“敢于質(zhì)疑，勤于思考”的積極性。

（2）發(fā)展學(xué)生的一般化思維模式的角度看。

卡帕特曾經(jīng)指出，代數(shù)是算術(shù)推理和定量推理的一般化，代數(shù)思維的核心就是一般化的思想。通過用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)這一代數(shù)推理活動(dòng)，對(duì)于發(fā)展學(xué)生的一般化思維模式，理解代數(shù)思想，乃至實(shí)現(xiàn)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的有效銜接無疑是大有裨益的。

2. 用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)的可行性分析。

不少教師認(rèn)為，推導(dǎo)比例的基本性質(zhì)用合情推理就好了，代數(shù)方法的證明學(xué)生是理解不了的。事實(shí)果真如此嗎？

林崇德教授研究后認(rèn)為，分析小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力的水平可關(guān)注四項(xiàng)指標(biāo)：一是推理發(fā)生的范圍，即是在算式運(yùn)算中的推理還是在初步代數(shù)式中的推理；二是推理的步驟，即直接推理還是多步間接推理；三是推理的正確性；四是推理的品質(zhì)抽象概括性，即重復(fù)過程還是進(jìn)行邏輯推論獲得本質(zhì)的結(jié)論。

按照上述指標(biāo)，林崇德教授認(rèn)為，小學(xué)生運(yùn)算中歸納推理和演繹推理的能力可分為四級(jí)水平。其中，歸納推理能力的四級(jí)水平為：一是算術(shù)運(yùn)算中直接歸納推理；二是簡(jiǎn)單文字運(yùn)算中直接歸納推理；三是算術(shù)運(yùn)算中間接歸納推理；四是初步代數(shù)式的間接歸納推理。演繹推理能力的四級(jí)水平為：一是簡(jiǎn)單原理、法則直接具體化的運(yùn)算；二是簡(jiǎn)單原理、法則直接以字母具體化的運(yùn)算；三是以算術(shù)原理、法則和公式作為大前提，要求合乎邏輯進(jìn)行多步演繹和具體化，正確地得出結(jié)論；四是以初等代數(shù)式或幾何原理作為大前提，進(jìn)行多步演繹推理，正確地得出結(jié)論。林崇德教授對(duì)城鄉(xiāng)五年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行了測(cè)試，發(fā)現(xiàn)處于歸納推理和演繹推理的能力第四級(jí)水平的學(xué)生分別為36.7%和56.7%。

蘇州大學(xué)的楊彥教授認(rèn)為，小學(xué)階段要進(jìn)行代數(shù)推理的教學(xué)，并且提出如果能夠給予學(xué)生一定的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)和條件，采用適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法，學(xué)生可以從小培養(yǎng)代數(shù)推理能力，而這將有益于其將來代數(shù)學(xué)習(xí)及數(shù)學(xué)能力的養(yǎng)成。

由有關(guān)專家的研究可以看出，小學(xué)生數(shù)學(xué)推理能力具有不同的水平，他們進(jìn)行代數(shù)推理是可行的。對(duì)于六年級(jí)學(xué)生而言，具有歸納推理和演繹推理的能力第四級(jí)水平的學(xué)生無疑會(huì)比五年級(jí)的學(xué)生更多。這從上述案例學(xué)生的表現(xiàn)也可為佐證，學(xué)生的“較真”是學(xué)生思維上的進(jìn)步，是學(xué)生學(xué)習(xí)的“最近發(fā)展區(qū)”，說明學(xué)生已經(jīng)具備從“合情推理”向“演繹推理”邁進(jìn)的思維水平。因此，用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)是具有合理性和可行性的。當(dāng)然，要求全體學(xué)生都能理解、掌握用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)的過程與方法是不現(xiàn)實(shí)的，部分學(xué)生還需要教師的指導(dǎo)與幫助才能有所收獲。對(duì)此，教師教學(xué)中應(yīng)根據(jù)學(xué)生的實(shí)際認(rèn)知水平作不同的要求，使不同的學(xué)生得到相應(yīng)的發(fā)展。

3. 部分教師反對(duì)用代數(shù)方法驗(yàn)證比例的基本性質(zhì)的成因分析。

課堂之上，當(dāng)固有的算術(shù)思路與方法已無法說明、無法讓學(xué)生接受“比例的基本性質(zhì)”這一結(jié)論時(shí)，不少教師仍然不敢越代數(shù)方法這一“雷池”半步，出自何因呢？

筆者認(rèn)為，有的教師是把用代數(shù)方法進(jìn)行推理簡(jiǎn)單的歸結(jié)為“中學(xué)的教學(xué)內(nèi)容”，不想碰；有的教師則由于教材沒有呈現(xiàn)有關(guān)內(nèi)容，教師用書沒有明確提出有關(guān)要求，不敢碰；有的教師則認(rèn)為相關(guān)學(xué)生肯定都是接受不了，碰不得。

這顯示一些教師對(duì)于學(xué)生認(rèn)知發(fā)展和思維發(fā)展的特點(diǎn)與規(guī)律的了解還不夠深入，思想上存在著“唯教材”與“經(jīng)驗(yàn)至上”的錯(cuò)誤認(rèn)知，教學(xué)上缺乏根據(jù)課堂實(shí)際生成狀況順應(yīng)學(xué)生思維適時(shí)調(diào)整教學(xué)的意識(shí)。

三、案例啟示

如何貫徹新課程理念，用好新教材，本案例能給我們一些啟示。

1. 尊重差異，因材施教。

“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”是新數(shù)學(xué)課程重要的理念之一。學(xué)生的認(rèn)知水平、思維發(fā)展，既有共性，又有差異性；既有一般性，又有特殊性。實(shí)際教學(xué)中，把學(xué)生的一般水平看作是每個(gè)學(xué)生的實(shí)際水平，或者是把部分學(xué)生的認(rèn)知水平當(dāng)作是全體學(xué)生的共同水平，顯然是不適當(dāng)?shù)摹ｊP(guān)注學(xué)生思維發(fā)展的一般性，尊重學(xué)生的發(fā)展差異，進(jìn)而因材施教，是教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施的重要基點(diǎn)。良好的數(shù)學(xué)教育，理應(yīng)客觀地對(duì)待人的差異性，讓更多的學(xué)生有機(jī)會(huì)接觸、了解乃至深入研究自己感興趣的數(shù)學(xué)問題，最大限度地滿足每一個(gè)學(xué)生的需求，為有特殊數(shù)學(xué)才能和愛好數(shù)學(xué)的學(xué)生，提供更多學(xué)習(xí)和發(fā)展的機(jī)會(huì)。

2. 不唯教材，善用教材。

“課程內(nèi)容的選擇要符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律” 是新數(shù)學(xué)課程重要的理念之一。課程的內(nèi)容和意義在本質(zhì)上并不是對(duì)所有人都相同的，在特定的教育情境中，每一位教師和學(xué)生對(duì)給定的內(nèi)容都有其自身的理解，對(duì)給定內(nèi)容的意義都有其自身的解讀，從而對(duì)給定的內(nèi)容不斷進(jìn)行變革與創(chuàng)新，以使給定的內(nèi)容不斷轉(zhuǎn)化為“自己的課程”。因此，教師設(shè)計(jì)與實(shí)施教學(xué)不能“唯教材”，而應(yīng)“用教材”，使教材在基于學(xué)生認(rèn)知規(guī)律、學(xué)生實(shí)際認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上為教師所用。

3. 辯證看待預(yù)設(shè)與生成的關(guān)系。

誠(chéng)然，課堂教學(xué)是一種有目的、有意識(shí)的教育活動(dòng)，預(yù)設(shè)是課堂教學(xué)的基本特性。教師在課前必須對(duì)教學(xué)目的、任務(wù)和過程有一個(gè)清晰、理性的思考和安排。但是，部分教師過分強(qiáng)調(diào)預(yù)設(shè)，強(qiáng)調(diào)按原來的設(shè)計(jì)上課。這樣就會(huì)限定和束縛學(xué)生的自由發(fā)展。學(xué)生作為一個(gè)生命個(gè)體，具有主觀能動(dòng)性。帶著自己的經(jīng)驗(yàn)、思考和興趣參與課堂活動(dòng)，使課堂呈現(xiàn)出多樣性、豐富性和隨機(jī)性。

有些人把“生成”看成一種意外收獲，一種“教育智慧”，而我更愿意把每次的生成，作為一種經(jīng)驗(yàn)和思考，儲(chǔ)備成為下次教學(xué)設(shè)計(jì)的預(yù)設(shè)之一，根據(jù)課堂實(shí)際靈活調(diào)整教學(xué)，所謂“該出手時(shí)就出手”。只有積累越多，才能更好地取舍有度，教學(xué)才能真正“海闊天空”。這樣預(yù)設(shè)與生成就互相轉(zhuǎn)化，達(dá)到統(tǒng)一。

綜上所述，只有真正以學(xué)生發(fā)展為本，課程的選擇圍繞學(xué)生的需求及認(rèn)知水平，發(fā)揮學(xué)生在課堂上的主體地位，學(xué)生才能得到生動(dòng)活潑的發(fā)展，才能真正實(shí)現(xiàn)“不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展”。

責(zé)任編輯 羅 峰