初中數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題的解題策略探討

周航

摘 要：數(shù)學(xué)作為一門研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的學(xué)科，對(duì)初中生的邏輯思維訓(xùn)練與綜合能力培養(yǎng)有十分重要的作用。而動(dòng)點(diǎn)問題作為數(shù)學(xué)學(xué)科的一個(gè)具有代表性的知識(shí)板塊，在中考中也極具選拔作用，常與描述量的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律的函數(shù)結(jié)合在一起，以壓軸題的形式出現(xiàn)。許多考生面對(duì)這類問題時(shí)會(huì)感受手足無措。而在日常的教學(xué)中，教師也困惑于如何向?qū)W生解釋其解法。其實(shí)，只要掌握了與函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題相關(guān)的解題策略，許多困難便會(huì)迎刃而解。

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題；解題策略；教學(xué)方法

動(dòng)點(diǎn)問題是指與一個(gè)或者多個(gè)點(diǎn)在一個(gè)規(guī)定的區(qū)域內(nèi)移動(dòng)有關(guān)的問題，并且在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中一般伴隨著各種量的變化?！皠?dòng)點(diǎn)”分為點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)和線（無數(shù)點(diǎn)組成線）的運(yùn)動(dòng)，因此動(dòng)點(diǎn)問題常常與函數(shù)和幾何相聯(lián)系，動(dòng)點(diǎn)問題一般可以分為動(dòng)點(diǎn)型問題和動(dòng)線型問題，而動(dòng)點(diǎn)型問題包括單動(dòng)點(diǎn)型問題和雙動(dòng)點(diǎn)型問題。在動(dòng)點(diǎn)問題的日常教學(xué)中，可以借助幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件來直觀描述動(dòng)點(diǎn)的變化以輔助教學(xué)。

一、動(dòng)點(diǎn)問題特殊化

在近年的中考中，動(dòng)點(diǎn)問題傾向于通過動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中的某一瞬間的特殊狀態(tài)來明確變量和不變量、建立方程模型，這就是動(dòng)中求靜，再通過靜止?fàn)顟B(tài)來解決運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的問題。通常會(huì)選擇動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到一個(gè)特殊點(diǎn)的狀態(tài)或者是動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到一個(gè)特殊位置形成一個(gè)特殊圖形等特殊狀態(tài)。

中考中的壓軸題多與動(dòng)點(diǎn)問題相關(guān)，常常建立在函數(shù)的基礎(chǔ)上，并與矩形、梯形、相似三角形、全等三角形和直角三角形等圖形間的變化或者圖形的特殊狀態(tài)有關(guān)，綜合性較強(qiáng)，這也要求學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)并將幾何知識(shí)和函數(shù)知識(shí)聯(lián)系起來。因此，許多考生為這類問題感到困難。筆者認(rèn)為，處理動(dòng)態(tài)問題的時(shí)候，要在解析幾何與函數(shù)的基礎(chǔ)上分析動(dòng)點(diǎn)的“動(dòng)靜”關(guān)系，把復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化。

二、尋找動(dòng)點(diǎn)的“靜止”狀態(tài)

在動(dòng)點(diǎn)問題的提問方式中，題目中已經(jīng)給出確定的信息，存在或者不存在某種特殊狀態(tài)，要求考生對(duì)此加以證明或者求出該特殊狀態(tài)下的一些量的關(guān)系等。此時(shí)可將動(dòng)點(diǎn)問題的動(dòng)態(tài)靜止化，處理滿足條件的特定的某個(gè)時(shí)間點(diǎn)上的量的關(guān)系。

例如，直線L：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C，拋物線過點(diǎn)B、C和D（3，0）。

（1）求直線BD和拋物線的解析式。

（2）若BD與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，點(diǎn)N在坐標(biāo)軸上，以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，求所有滿足條件的點(diǎn) 的坐標(biāo)。

（3）在拋物線上存在點(diǎn)P使得SΔPBD=6，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)。

分析：（1）由待定系數(shù)法求出直線BD和拋物線的解析式。

（2）首先確定△MCD為等腰直角三角形，因?yàn)椤鰾ND與△MCD相似，所以△BND也是等腰直角三角形。

（3）解題關(guān)鍵是求出△PBD面積的表達(dá)式，然后根據(jù)SΔPBD=6的已知條件，列出一元二次方程求解。

解：（1）∵直線L：y=3x+3與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B， ∴A（-1，0），B（0，3），∵把△AOB沿y軸翻折，點(diǎn)A落到點(diǎn)C， ∴C（1，0）。

設(shè)直線BD的解析式為：y=kx+b，∵點(diǎn)B（0，3），D（3，0）在直線BD上，∴b=33k+b=0 解得k=-1，b=3，∴直線BD的解析式為：y=-x+3。

設(shè)拋物線的解析式為：y=a（x-1）（x-3）。

∵點(diǎn)B（0，3）在拋物線上，∴3=ax（-1）×（-3），解得：a=1，

∴拋物線的解析式為：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3。

（2）拋物線的解析式為：y=x2-4x+3=（x-2）2-1。

∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1）。

直線BD：y=-x+3與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)M，令x=2，得y=1，

∴M（2，1）。

設(shè)對(duì)稱軸與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)F，則CF=FD=MN=1，

∴△MCD為等腰直角三角形。

∵以點(diǎn)N、B、D為頂點(diǎn)的三角形與△MCD相似，

∴△BND為等腰直角三角形。

（I）若BD為斜邊，則易知此時(shí)直角頂點(diǎn)為遠(yuǎn)點(diǎn)O，∴N1（0，0）；

（II）若BD為直角邊，B為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在x軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON2=3。 ∴N2（-3，0）；

（III）若BD為直角邊，D為直角頂點(diǎn)，則點(diǎn)N在y軸負(fù)半軸上，

∵OB=OD=ON3=3。 ∴N3（0，-3）；

∴滿足條件的點(diǎn)N坐標(biāo)為：（0，0），（-3，0）或（0，-3）。

（3）假設(shè)存在點(diǎn)P，使SΔPBD=6，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n）。

（I）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD上方：

過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，則PE=n，DE=m-3.

SΔPBD=SPEOB-SΔBOD-SΔPDE=■（3+n）·m-■×3×3-■（m-3）·n=6。

化簡(jiǎn)得：m+n=7 ①

∵n=m2-4m+3

代入①式整理得：m2-3m-4=0。

解得：m1=4，m2=-1

∴n1=3，n2=8。 ∴P1（4，3），P2（-1，8）

（II）當(dāng)點(diǎn)P位于直線BD下方時(shí)：

過點(diǎn)P作PE⊥y軸于點(diǎn)E，則PE=m，OE=-n，BE=3-n。

SΔPBD=SPEOD-SΔBOD-SΔPBE=■（3+m）·（-n）+■×3×3-■（3-n）·m=6。

化簡(jiǎn)得：m+n=-1 ②

∵P（m，n）在拋物線上， ∴n=m2-4m+3，

代入②式整理得：m2-3m+4=0，Δ=-7<0此方程無解。

故此時(shí)點(diǎn)P不存在。

綜上所述，在拋物線上存在點(diǎn)P，使SΔPBD=6，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（4，3）或（-1，8）。

三、幾何畫板演繹動(dòng)點(diǎn)輔助教學(xué)

也許對(duì)于教師來說，求解動(dòng)態(tài)問題還是相對(duì)簡(jiǎn)單的，但是在日常的教學(xué)中，如何清楚明白地向?qū)W生解釋動(dòng)態(tài)問題，是一大難點(diǎn)。因此，信息化的社會(huì)也為困擾了教師多年的這個(gè)難題提供了一個(gè)值得利用的途徑——幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件。根據(jù)相關(guān)調(diào)查顯示，學(xué)生非常喜歡在數(shù)學(xué)課堂上利用幾何畫板來學(xué)習(xí)，用到幾何畫板軟件上的數(shù)學(xué)課的認(rèn)同率高達(dá)100%，而這一認(rèn)同率的原因分析表示90%的被調(diào)查者認(rèn)為幾何畫板引入數(shù)學(xué)教學(xué)中，能使抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)簡(jiǎn)單具體且直觀生動(dòng)，更容易被接受、理解。由此可以看出，幾何畫板等數(shù)學(xué)軟件對(duì)動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的直觀演繹和初中數(shù)學(xué)中動(dòng)點(diǎn)問題的教學(xué)幫助效果非常好。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬濤.中考數(shù)學(xué)動(dòng)點(diǎn)問題研究[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2011（12）：47-48.

[2]牟麗華.幾何畫板優(yōu)化初中數(shù)學(xué)教學(xué)的案例研究[D].重慶師范大學(xué)，2012.

編輯 楊兆東