積累“找”的經(jīng)驗(yàn) 提升“找”的能力

吳文娟

有人說“問題是數(shù)學(xué)的核心，規(guī)律是數(shù)學(xué)的靈魂”。讓學(xué)生在給定的事物中探求隱藏的規(guī)律或變化趨勢，可以培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、綜合、歸納和推理等思維能力。還有人說，教學(xué)和訓(xùn)練是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律能力的兩個(gè)重要途徑。蘇教版數(shù)學(xué)教材第二學(xué)段各冊“找規(guī)律”單元為培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律的能力提供了很好的載體。蘇教版數(shù)學(xué)教材主編王林先生也曾說：找規(guī)律單元的重點(diǎn)在“找”上，而不是規(guī)律的應(yīng)用。那在課堂教學(xué)中，如何讓學(xué)生經(jīng)歷“找”規(guī)律的過程，不斷積累“找”的經(jīng)驗(yàn)，提升“找”的能力呢？本文筆者就以“搭配的規(guī)律”一課的教學(xué)為例進(jìn)行了探索。

一、落實(shí)有序思考，初獲“找”的門道

師：同學(xué)們早餐都喜歡吃些什么？（學(xué)生自由交流）如果給你提供漢堡、饅頭、蛋糕3種點(diǎn)心，牛奶、豆?jié){2種飲料，選1種飲料再配1種點(diǎn)心做早餐，你準(zhǔn)備怎樣搭配？（學(xué)生自由回答）

師：看來我們有多種不同的搭配，那一共有多少種不同的搭配呢？猜一猜。

絕大多數(shù)學(xué)生猜6種。

1.合作驗(yàn)證：是不是6種呢？每個(gè)小組拿出老師給你們準(zhǔn)備的點(diǎn)心、飲料圖片擺一擺，驗(yàn)證一下。

2.匯報(bào)交流：學(xué)生邊匯報(bào)搭配的過程，邊演示。（先匯報(bào)無序搭配的，再匯報(bào)有序的）

師提問：他擺得有序嗎？是按怎樣的順序擺的？有遺漏嗎？

生：他是先依次選點(diǎn)心，再分別配飲料。

師：還可以按怎樣的順序來搭配呢？

學(xué)生上臺(tái)演示另一種順序的搭配過程。

3.小結(jié)：有序搭配，才能做到不遺漏，又不重復(fù)。具體怎么做呢？

生：先從點(diǎn)心中選一樣，再依次配飲料;或先從飲料中選一種，再依次配點(diǎn)心。

【反思】數(shù)學(xué)教育的主要任務(wù)之一就是培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而有序思考是良好思維品質(zhì)的重要標(biāo)志，也是學(xué)生解決許多復(fù)雜問題的重要方法。解決搭配問題有兩種方法：一一列舉或計(jì)算，而計(jì)算的算理正是建立在有序列舉基礎(chǔ)上的，學(xué)會(huì)有序列舉也就初步找到了規(guī)律。請學(xué)生用圖片擺一擺，部分學(xué)生會(huì)“無序”地隨意擺，但也有部分學(xué)生由于以前積累的“有序”思考的經(jīng)驗(yàn)會(huì)有序地?cái)[出，教師順勢請學(xué)生比較“有序”和“無序”兩種方法，并觀察是否遺漏、是否重復(fù)，將學(xué)生目光聚焦到“有序”思考。但說“有序”易，做到“有序”難，教師在提問中將“有序”具體化為“是按怎樣的順序擺的？”這個(gè)問題將“有序”變得可操作，也讓學(xué)生體會(huì)到“有序”并不空洞，而是確有“門道”的。而在下面的教學(xué)中，教師還會(huì)再次讓學(xué)生感受“有序”的思考方法。

二、經(jīng)歷探究過程，優(yōu)化“找”的途徑

請學(xué)生收起圖片，提問：如果老師沒有給你準(zhǔn)備實(shí)物圖片，你會(huì)用寫寫、畫畫等更簡單的方法表示各種不同的搭配嗎？試一試。

1.學(xué)生獨(dú)立嘗試，教師巡視。

2.交流評價(jià)。

（1）教師呈現(xiàn)生1的作業(yè)：文字表示

漢堡—牛奶、漢堡—豆?jié){、饅頭—牛奶、饅頭—豆?jié){、蛋糕—牛奶、蛋糕—豆?jié){

師：他是按怎樣的順序表示的呢？

生：他是先選漢堡，分別配兩種飲料，再選饅頭，分別配兩種飲料，最后選蛋糕，分別配兩種飲料。

（2）教師呈現(xiàn)生2的作業(yè)：符號表示

A1、A2、B1、B2、C1、C2

師：這里的A，B，C，1，2分別表示什么？你們看得懂嗎？

生2補(bǔ)充說明：A，B，C分別表示的是三種點(diǎn)心。1，2表示兩種飲料。

師：還有用符號或字母表示的嗎？

師：比較兩種表示，有什么共同之處呢？你喜歡哪種表示？

生：他們的表示都很有序，都是先選點(diǎn)心再配飲料。但文字寫比較麻煩，符號更簡潔些。

（3）教師呈現(xiàn)生3的作業(yè)：連線表示

漢堡 ? ? ? ? 饅頭 ? ? ? ? 蛋糕

牛奶 ? ? ? ? 豆?jié){

師：你們看得懂嗎？這里的每條線表示什么？

生：每條線表示一種搭配方法。

教師隨意指幾條，請學(xué)生說說是誰和誰搭配的。

師：這些線是隨便連的嗎？我們來采訪一下作者。

生：我先將漢堡和下面的牛奶、豆?jié){連，有2種搭配，再將饅頭和下面的牛奶、豆?jié){連，也有2種搭配，最后將蛋糕和下面的牛奶、豆?jié){連，也有2種搭配，共6種。

師：原來連線也可以解決這個(gè)問題，但連線也一定要有序地連。

師：還可怎樣連，也很有序？

生：（邊指邊說）牛奶依次連上面的三種點(diǎn)心，有3種搭配，再將豆?jié){依次連上面的三種點(diǎn)心，也有3種搭配。

（4）教師呈現(xiàn)生4的作業(yè)：符號連線表示

師：能看懂嗎？誰來評價(jià)一下。

生：他的方法其實(shí)和前一位同學(xué)一樣，但他用圖形表示點(diǎn)心和飲料，更加簡便。

3.比較優(yōu)化

師：我們展示了這么多種方法，你最喜歡用哪種方法來表示？為什么？

生：我最喜歡最后符號連線法。它又簡便又清楚。

師：復(fù)雜的問題往往可以用簡潔的圖形表示，“數(shù)形結(jié)合”是解決問題的重要策略。

【反思】有序操作使學(xué)生初步有了“找”的門道，知道該怎樣做。但每次找規(guī)律不可能都經(jīng)歷擺的過程，而是要讓學(xué)生的方法逐步由直觀向抽象提升，而這個(gè)提升的過程，不是由教師直接出示書上的抽象圖，而是要讓學(xué)生充分經(jīng)歷嘗試探究、交流分享、比較優(yōu)化后，形成個(gè)體獨(dú)特的體驗(yàn)，從而找到屬于自己的“找”的路徑。由于每個(gè)學(xué)生思維層次的不同，個(gè)性化的思考結(jié)果為全班交流、討論、比較提供了很好的素材。展示環(huán)節(jié)，教師有意識(shí)地將學(xué)生的作品按思維層次的不同逐一出示，有助于學(xué)生看到方法“進(jìn)化”的過程，明白自己的方法在一系列方法中的位置，使學(xué)生的思維能力也隨著作品層次的提高而逐步提升。伴隨每次展示的討論、思考、交流使個(gè)體的體驗(yàn)相互補(bǔ)充、相互借鑒、相互促進(jìn)，智慧與智慧碰撞、情感與情感交流、認(rèn)識(shí)與能力提升。最后教師的概括總結(jié)給學(xué)生點(diǎn)明了一條提升“找規(guī)律”能力的途徑——數(shù)形結(jié)合。

三、突出意義理解，抽象“找”的本質(zhì)

1.算式表示：根據(jù)前面的思考，你能用算式表示搭配的總數(shù)嗎？（3×2=6或2×3=6）

師：你怎么理解算式？

生：第一種點(diǎn)心配兩種飲料，有兩種方法;第二種點(diǎn)心配飲料也有兩種方法;第三種點(diǎn)心配飲料也有兩種方法，就是3個(gè)2種。

生：還可以這樣理解，第一種飲料配三種點(diǎn)心，就是三種方法，第二種飲料配點(diǎn)心也有三種方法，就是2個(gè)3種。

2.如果給你3種飲料，現(xiàn)在有多少種搭配方式？想象一下可以怎樣連線？怎樣列式呢？

生：多了一種飲料，第三種飲料配三種點(diǎn)心也有三種方法，現(xiàn)在是3個(gè)3種，就是3×3=9。

3.如果再增加一種點(diǎn)心，有多少種搭配方式？有幾個(gè)幾種？

生：新增的這種點(diǎn)心和三種飲料搭配，可以有3種方法，因此就有4個(gè)3種，4×3=12。

4.如果有10種點(diǎn)心、8種飲料，又有多少種不同的搭配呢？（學(xué)生有的在連線，有的思考后直接列式。）

生：第一種點(diǎn)心分別與8種飲料配，有8種方法;第二種點(diǎn)心分別與8種飲料配也有8種方法;第三種點(diǎn)心分別與8種飲料配也有8種方法……

有學(xué)生搶說：不要說了，就這樣有10個(gè)8種，所以是10×8=80。

師：有連線連完的嗎？為什么不連了？

生：線太多，太麻煩了。

生：只要連第一種點(diǎn)心就好了。

5.出示表格：

點(diǎn)心種數(shù) 飲料種數(shù) 搭配總方法數(shù)

3 2 6

3 3 9

4 3 12

10 8 80

師：現(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)隱藏在搭配中的規(guī)律究竟是什么了嗎？

生：點(diǎn)心種數(shù)×飲料種數(shù)=搭配總方法數(shù)。

生：一種事物的數(shù)量×另一種事物的數(shù)量=搭配總方法數(shù)。

師：你們覺得哪種概括得更好呢？

生：第二種好，生活中還有其他的搭配情況呢。不光是點(diǎn)心和飲料。

師：這就是兩種事物搭配的規(guī)律。生活中還有哪些搭配現(xiàn)象呢？

生：生活中還有穿衣服和褲子搭配、吃水果和飲料搭配……

【反思】規(guī)律本質(zhì)上屬于“構(gòu)建數(shù)學(xué)模型”的領(lǐng)域，在小學(xué)階段結(jié)論的獲得很難通過嚴(yán)格的證明得到，往往是通過不完全歸納獲得的，而從半直觀、半抽象的圖形表示到抽象概括成算式，則更有利于學(xué)生在不完全歸納中發(fā)現(xiàn)一般性的規(guī)律。告知學(xué)生怎樣列式很簡單，就是將一類事物的種數(shù)乘另一類事物的種數(shù)，但如果不加強(qiáng)對乘法意義的理解，那規(guī)律就只是一種死的結(jié)果而已。教學(xué)中教師設(shè)計(jì)了增加一種點(diǎn)心，再增加一種飲料的情況，導(dǎo)致搭配總數(shù)發(fā)生變化，使學(xué)生很好地進(jìn)行方法遷移，借助前面的思考很快想出“幾個(gè)幾”，最后教師一下子將點(diǎn)心和飲料增至10種和8種，兩個(gè)數(shù)據(jù)同時(shí)變化，且變得比較大，部分學(xué)生重新回歸畫圖的策略，但有前面“幾個(gè)幾”的反復(fù)理解，大部分學(xué)生畫了一種點(diǎn)心的搭配就找到了“幾個(gè)幾”。這就顯示出算理理解的強(qiáng)大作用。在教學(xué)中教師注重算式意義的理解，是希望學(xué)生在不斷的理解中自覺抽象，在運(yùn)用中又不斷深入理解。

四、適時(shí)拓展延伸，提升“找”的價(jià)值

在完成穿衣問題、路線問題等基本練習(xí)后，教師出示了這樣一題：如果有三種點(diǎn)心、兩種飲料、三種水果，選一種點(diǎn)心、一種飲料、一種水果搭配成早餐，一共有多少種不同的搭配？

1.猜一猜，一共有多少種？怎么列式？

生：3×2×3=18（種）。

2.為什么這樣列式？說說你的想法。

生：先將點(diǎn)心和飲料搭配，3×2=6（種），再將得到的6種分別與三種水果搭配，6×3=18（種）。

師：你由前面已解決的兩種事物的搭配種數(shù)，再繼續(xù)進(jìn)行搭配，這種方法遷移是非常有價(jià)值的思考。

3.由此我們想到當(dāng)三種事物進(jìn)行搭配時(shí)，你發(fā)現(xiàn)了什么樣的規(guī)律？

生：第一種事物的數(shù)量×第二種事物的數(shù)量×第三種事物的數(shù)量=搭配的總方法數(shù)。

4.由兩種事物的搭配規(guī)律，我們推出三種事物的搭配規(guī)律，如果是四種、五種、六種……你能找出它們搭配的規(guī)律嗎？課后請繼續(xù)思考。

【反思】規(guī)律的獲得使學(xué)生享受到成功的快樂，數(shù)學(xué)能力得到全面提升，解決問題變得輕而易舉。但如果只是停留于此，規(guī)律的深刻價(jià)值還未得到體現(xiàn)，思維的層次還在淺表，數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的獲得還不夠豐富?；诖耍處熡衷O(shè)計(jì)問題讓學(xué)生進(jìn)一步思考三種物體的搭配，但只是在例題的基礎(chǔ)上增加一步。這樣，學(xué)生能借助前面的經(jīng)驗(yàn)由此及彼，將思維的重點(diǎn)放在規(guī)律的拓展上。當(dāng)學(xué)生通過猜測、邏輯推理形成這類規(guī)律的完整認(rèn)識(shí)后，他的經(jīng)驗(yàn)也得到了螺旋式上升和發(fā)展，而這次課所研究的規(guī)律價(jià)值也得到了提升，就會(huì)更進(jìn)一步激起學(xué)生探究的欲望。但規(guī)律價(jià)值的拓展不是無邊界的，一定是處于學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)，否則，只會(huì)讓學(xué)生苦不堪言。

（江蘇省宜興市第二實(shí)驗(yàn)小學(xué) ? 214206）