小學(xué)生幾何直觀能力發(fā)展的四個(gè)階段

宋健泳

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》首次提出了“幾何直觀”這一核心概念，并指出：“幾何直觀主要是指利用圖形描述和分析問題?！边@里的解釋并非嚴(yán)格的概念界定，但我們也可以從中把握幾個(gè)關(guān)鍵特征：其一，幾何直觀是一種描述和解決數(shù)學(xué)問題的方法，它與“直觀幾何”的區(qū)別在于，后者是指幾何學(xué)中的一個(gè)研究領(lǐng)域，主要研究包括認(rèn)識圖形、進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換等內(nèi)容。其二，“幾何”可以理解為研究工具，即“幾何直觀”是借助幾何圖形的形象關(guān)系來研究問題的，這就體現(xiàn)了與實(shí)物直觀（以實(shí)物為直觀工具，如小棒等）的差異。需要特別指出的是，幾何直觀研究的對象并不局限于幾何學(xué)范圍，更多的是研究數(shù)量之間的關(guān)系。其三，“直觀”是指研究問題的方式和手段，是指對事物進(jìn)行的不經(jīng)過邏輯分析的直接判斷。這里包含了兩層意思：一是通過對事物的直接接觸而獲得的感性認(rèn)識;二是通過直觀感知而對事物本質(zhì)的直接洞察和直接把握。有了以上認(rèn)識，我們可以進(jìn)一步分析“幾何直觀”的能力結(jié)構(gòu)，如下圖：

其中，空間想象能力和數(shù)形轉(zhuǎn)換能力是“幾何直觀”的基礎(chǔ)層面。“幾何直觀”以幾何圖形為研究問題的工具，這就需要對幾何圖形的特點(diǎn)有準(zhǔn)確的認(rèn)識，并具有較強(qiáng)的空間想象能力。此外，數(shù)形轉(zhuǎn)換能力也是幾何直觀的重要內(nèi)容，即在符號語言（數(shù)）與圖式語言（形）之間建立聯(lián)系，能熟練地進(jìn)行互譯。讀圖分析能力和畫圖思考能力是幾何直觀的表現(xiàn)形式。前者主要體現(xiàn)了借助圖形描述數(shù)學(xué)問題，后前則是借助圖形分析和思考數(shù)學(xué)問題。因而，小學(xué)生的幾何直觀能力必然有一個(gè)發(fā)生發(fā)展的過程。筆者將其大致分為四個(gè)階段：孕育階段→過渡階段→萌發(fā)階段→生長階段，各個(gè)階段培養(yǎng)的側(cè)重點(diǎn)應(yīng)有所不同。本文試就此問題結(jié)合教學(xué)實(shí)踐作一些探討。

一、孕育階段——關(guān)注直觀載體的逐步抽象

“幾何直觀”能力發(fā)展的孕育階段主要是指小學(xué)一、二年級時(shí)期。這個(gè)階段的學(xué)生以動(dòng)作思維、形象思維為主，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)很大程度上依賴直觀教學(xué)。但這里的直觀教學(xué)主要借助實(shí)物、圖片、符號等直觀載體，從嚴(yán)格意義講還不能稱之為幾何直觀（以幾何圖形的形象關(guān)系為直觀載體）。因而適當(dāng)進(jìn)行抽象和提煉，由實(shí)物、符號直觀逐步向圖形直觀過渡是很有必要的。如人教版一下“100以內(nèi)數(shù)的認(rèn)識”教學(xué)中，教材上借助回形針、小棒、第納斯木塊等實(shí)物幫助學(xué)生認(rèn)識數(shù)的組成、理解計(jì)數(shù)單位（圖1）。

圖1

這是以實(shí)物為直觀載體來認(rèn)識數(shù)學(xué)對象，我們可以稱之為實(shí)物直觀。從幾何直觀的角度看，這三種實(shí)物中哪一種最具價(jià)值？我們不妨做一個(gè)比較：用回形針計(jì)數(shù)，“10個(gè)回形針一小堆”“100個(gè)回形針一大堆”分別對應(yīng)計(jì)數(shù)單位“十”和“百”;用小棒計(jì)數(shù)，則是“10根一小捆” “100根一大捆”;用第納斯木塊計(jì)數(shù)， 1個(gè)小木塊對應(yīng)“一”，10個(gè)小方塊排成一行對應(yīng)“十”，而10行拼成一片對應(yīng)“百”。如果僅從促進(jìn)本課時(shí)知識內(nèi)容的理解來看，三者差異并不大，但是從后續(xù)發(fā)展來看顯然第納斯木塊更有價(jià)值。因?yàn)楸M管在這里小木塊只是作為實(shí)物呈現(xiàn)，但它的構(gòu)建方式具備了“點(diǎn)—線—面”的幾何圖形特征，并為進(jìn)一步認(rèn)識“千”（體）積累了直觀經(jīng)驗(yàn)（如圖2）。這樣的構(gòu)造系列更有利于幫助學(xué)生建立計(jì)數(shù)單位與幾何模型之間的關(guān)聯(lián)，從而促進(jìn)學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展。

圖2

二、過渡階段——關(guān)注幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累

直觀是對事物的直接判斷，是屬于經(jīng)驗(yàn)層面的。從某種意義上說，“幾何直觀”就是數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)不斷積累所形成的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)主要包括兩個(gè)方面，即實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)和思維的經(jīng)驗(yàn)，兩者均有賴于學(xué)生參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，獲得切身的過程性體驗(yàn)。小學(xué)階段的幾何課程以直觀幾何、實(shí)驗(yàn)幾何為主，包括通過直觀感知認(rèn)識各種圖形的特征，進(jìn)行立體圖形與平面圖形的轉(zhuǎn)換等。其中，平面圖形的認(rèn)識大部分編排在三、四年級，如線段、直線、射線、角、多邊形（正方形、長方形、平行四邊形、梯形、三角形等），我們將這一階段稱之為幾何直觀能力發(fā)展的過渡階段。教學(xué)中，一方面要重視開展“看一看、做一做、拼一拼、搭一搭、折一折、畫一畫”等實(shí)踐活動(dòng)，積累實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)，另一方面更要重視反思和提煉，逐步將實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)上升為思維經(jīng)驗(yàn)。以“三角形的內(nèi)角和”教學(xué)為例：

一般來說，探究三角形內(nèi)角和的方法有以下幾種：

（1）度量三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，求和;

（2）把三個(gè)內(nèi)角撕下來再拼成一個(gè)平角（圖3）;

（3）通過折紙，把三個(gè)內(nèi)角向內(nèi)折疊拼成一個(gè)平角（圖4）;

圖3

圖4

顯然，這三種探索的方法都是基于實(shí)踐操作的，探究過程遠(yuǎn)不如幾何推理那么嚴(yán)密（存在操作的誤差性）。但就小學(xué)階段而言，筆者認(rèn)為還是應(yīng)該強(qiáng)調(diào)動(dòng)手實(shí)踐。它的價(jià)值不在于結(jié)果，而在于過程，在于實(shí)踐活動(dòng)中所積累的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)和獲得的直觀體驗(yàn)。在此基礎(chǔ)上，我們可以進(jìn)一步對這三種方法的思維方式進(jìn)行溝通，即想方設(shè)法將三個(gè)內(nèi)角拼起來，體現(xiàn)出“求和”的思想。這樣，實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)上升為思維的經(jīng)驗(yàn)，為初中階段的演繹幾何（圖5）奠定基礎(chǔ)。

圖5

三、萌發(fā)階段——關(guān)注幾何直觀意識的培養(yǎng)

一般來說進(jìn)入第二學(xué)段——小學(xué)四年級，小學(xué)生的幾何直觀能力進(jìn)入了萌發(fā)階段。這是因?yàn)橐环矫鎸W(xué)生開始具備一定的幾何知識基礎(chǔ);另一方面數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)內(nèi)容的抽象程度逐步提升，越來越需要借助直觀形象的手段來提供支撐。由于簡潔表達(dá)的需要，這時(shí)的直觀載體逐步由實(shí)物變?yōu)閳D形，初步呈現(xiàn)出幾何直觀的特點(diǎn)。這個(gè)階段尤其要注重培養(yǎng)學(xué)生幾何直觀的意識，也就是說要促使學(xué)生在理解數(shù)學(xué)知識和解決數(shù)學(xué)問題時(shí)主動(dòng)地與幾何圖形建立聯(lián)系。意識的培養(yǎng)取決于價(jià)值的認(rèn)同。教學(xué)中教師可以積極引導(dǎo)，讓學(xué)生不斷體驗(yàn)幾何直觀的價(jià)值和作用。

如“異分母分?jǐn)?shù)加、減法”教學(xué)中，計(jì)算“+”，一般會(huì)出現(xiàn)以下情況：

（1）+=;（2）+=+=;（3）+=0.5+0.4=0.9。

在這里，理解為什么必須先通分才能相加是教學(xué)的關(guān)鍵，直指分?jǐn)?shù)加、減法也是“相同計(jì)數(shù)單位累加”的數(shù)學(xué)本質(zhì)。我們可以借助“分?jǐn)?shù)墻”（圖6）這一幾何模型進(jìn)行解釋。

從圖中我們可以很明顯地看出，由于每一份大小不同，不同的分?jǐn)?shù)單位是不能直接累加的。進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生從圖上尋找與和相等的分?jǐn)?shù)（等價(jià)類分?jǐn)?shù)），發(fā)現(xiàn)1個(gè)相當(dāng)于5個(gè)，2個(gè)相當(dāng)于4個(gè)，由于每一份的大小相同，相同的分?jǐn)?shù)單位可以進(jìn)行累加，得到9個(gè)。而轉(zhuǎn)化為小數(shù)進(jìn)行計(jì)算，其原理是與通分一致的。

圖6

四、生長階段——關(guān)注數(shù)形之間的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練

五、六年級學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展進(jìn)入了生長期。幾何直觀能力的發(fā)展要求學(xué)生具備較強(qiáng)的數(shù)形轉(zhuǎn)換能力。數(shù)形轉(zhuǎn)換，也就是數(shù)與形之間的互譯，即能從數(shù)（式）想到圖式，能從圖式想到數(shù)（式）。教學(xué)中一方面教師可以針對具體的教學(xué)內(nèi)容加強(qiáng)圖式表征的訓(xùn)練，如“看圖寫數(shù)（式）”“看數(shù)（式）畫圖”等;另一方面也可以開展綜合實(shí)踐活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形轉(zhuǎn)換的能力，感悟數(shù)與形的互助性。如“正方形數(shù)”的認(rèn)識：

呈現(xiàn)圖7，首先引導(dǎo)學(xué)生觀察并思考：這些點(diǎn)子圖分別表示哪些數(shù)？點(diǎn)子圖的排列有什么特征？通過討論和交流，揭示像這樣的數(shù)叫“正方形數(shù)”。進(jìn)一步，通過圖形操作（分一分、連一連）尋找“正方形數(shù)”的數(shù)學(xué)模型，如表示為“完全平方數(shù)n2”;可以表示為從1開始的連續(xù)奇數(shù)之和：1+3+5+……+n;也可以“回”形構(gòu)造：例如4+3+3+2+2+1+1;甚至可以表示為兩個(gè)“三角形數(shù)”之和：1+2+3+……+n +……+3+2+1（圖8）。

圖7

圖8

像“三角形數(shù)”“正方形數(shù)”等都是比較特殊的數(shù)，具有明顯的圖形特征。運(yùn)用這樣的教學(xué)素材引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)的幾何特征，反復(fù)進(jìn)行數(shù)（式）與形（構(gòu)造方式）之間的轉(zhuǎn)換訓(xùn)練，對于發(fā)展學(xué)生的幾何直覺、感悟數(shù)形之間的密切關(guān)聯(lián)都是很有價(jià)值的。

必須指出，就整體而言，小學(xué)生幾何直觀能力的發(fā)展是不平衡的，甚至表現(xiàn)出很大的差異性;就個(gè)體而言，其發(fā)展過程也不是直線型的。因此，很難作嚴(yán)格意義上的劃分。本文所闡述的四個(gè)不同的發(fā)展階段也是相對的，沒有一個(gè)絕對意義上的時(shí)間分割點(diǎn)。但是其發(fā)生發(fā)展的一般規(guī)律性還是存在的，針對不同階段的特點(diǎn)采取相應(yīng)的培養(yǎng)策略才能事半功倍，這正是本文的用意所在。事實(shí)上，基于小學(xué)階段學(xué)生的年齡特點(diǎn)和教學(xué)內(nèi)容的局限，幾何直觀能力在小學(xué)階段還不能完全顯現(xiàn)（特別是直觀洞察性），但幾何基礎(chǔ)知識的掌握、幾何活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累、幾何直觀意識的培養(yǎng)必然能為幾何直觀水平的發(fā)展奠定良好的基礎(chǔ)。

（浙江省湖州市鳳凰小學(xué) ? 313000）