平面向量的概念與平面向量基本定理

褚人統(tǒng)

平面向量是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)工具之一，它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重性”，是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.有關(guān)平面向量的概念與平面向量的基本定理的試題是高考的“常青樹”，它以題目形式類型靈活多樣、解法精妙在向量中有著重要地位，但是許多同學(xué)由于對這類題“不懂章法”，陷入思維混亂的狀態(tài)，兜了一大圈子仍空手而歸. 本文通過對平面向量的有關(guān)概念、加減法的幾何意義、線性運(yùn)算、平面向量基本定理的認(rèn)識和理解，把相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行歸納整理，希望同學(xué)們面對向量問題能做到有的放矢，化解自如.

重點(diǎn)難點(diǎn)

重點(diǎn)：①平面向量的概念；②平面向量的加法與減法的三角形法則、平行四邊形法則，運(yùn)算律及其性質(zhì)；③向量數(shù)乘的定義及其運(yùn)算律；④平面向量基本定理的內(nèi)容及其應(yīng)用.

難點(diǎn)：①用平面向量共線定理來解決三點(diǎn)共線和兩直線平行的問題；②利用平面向量基本定理對一個向量的分解及其表示.

方法突破

1. 飲水思源——運(yùn)算律法

向量加、減法的運(yùn)算法則在形式上與實(shí)數(shù)的加、減法的運(yùn)算法則相同. 因此，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的變形手段在平面向量的線性運(yùn)算中仍然有效.

2. 借石攻玉——幾何意義法

數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微. 在求解平面向量的線性運(yùn)算過程中要善于把握“向量幾何意義”這一利器，注意平面向量的三角形法則和平行四邊形法則適用的條件：運(yùn)用平行四邊形法則時兩個向量的起點(diǎn)必須重合；運(yùn)用三角形法則時兩個向量必須首尾相接，否則就要把向量進(jìn)行平移，使之符合條件.

3. 中間橋梁——待定系數(shù)法

有關(guān)向量共線或三點(diǎn)共線的問題，常利用向量共線定理（向量b與非零向量a共線的充要條件是“有且只有一個實(shí)數(shù)λ使b=λa”）得到關(guān)于相關(guān)參數(shù)的方程組，通過待定系數(shù)這一橋梁，使得這類難題變得平凡. 注意：向量共線也稱向量平行，它與直線平行有區(qū)別. 直線平行不包括共線（即重合）的情況，而向量平行則包括共線（重合）的情況.

4. 移花接木——平面向量基本定理

平面向量基本定理實(shí)際上是向量的分解定理，并且是平面向量正交分解的理論依據(jù)，也是向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ). 用平面向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用平面向量的基本定理將條件和結(jié)論表示成基底的線性組合，再通過向量的運(yùn)算來證明. 在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便.