拋硬幣概率模型的妙用

葉華茂

“等可能條件下的概率”以拋擲一枚均勻的硬幣為例引入用樹狀圖或列表計算正面都朝上的概率.下面就以這種常見的基本實驗為模型進行拓展與應(yīng)用.

【延伸拓展】

將一枚均勻的硬幣拋擲1次，其出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有21種，1次拋擲是正面朝上的情況只有1種，概率是 ，即 .用樹狀圖驗證如圖1.

將1枚均勻的硬幣拋擲兩次，其出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有22種，兩次拋擲都是正面朝上的情況只有1種，概率是 ，即 .用樹狀圖驗證如圖2.

將1枚均勻的硬幣拋擲3次，其出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有23種，3次拋擲都是正面朝上的情況只有1種，概率是 ，即 .用樹狀圖驗證如圖3.

由此可以推斷，將1枚均勻的硬幣拋擲n次其出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有2n種，n次拋擲都是正面朝上的情況只有1種，概率是 .另外，在這個問題中，將n枚硬幣同時拋擲與將1枚硬幣連續(xù)拋出n次，在這兩種不同的操作情形下出現(xiàn)的結(jié)果概率是相同的，用樹狀圖可以驗證.

【模型應(yīng)用】

例1 （2014·山西）甲、乙、丙三位同學打乒乓球，想通過“手心手背”游戲來決定其中哪兩個人先打.規(guī)則如下：三個人同時各用一只手隨機出示手心或手背，若只有兩個人手勢相同（都是手心或都是手背），則這兩人先打，若三人手勢相同，則重新決定.那么通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是________.

【解析】可以將上述問題看成是拋硬幣概率模型的應(yīng)用.“手心手背”游戲相當于將1枚均勻的硬幣拋擲3次（分別用正、反表示手心、手背），出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有23種，通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的有4種情況，從而得知通過一次“手心手背”游戲能決定甲打乒乓球的概率是： = .

例2 （2014·黑龍江哈爾濱）在一個不透明的口袋中，有四個完全相同的小球，把它們分別標號為1、2、3、4，隨機地摸取一個小球記下標號后放回，再隨機地摸取一個小球記下標號，則兩次摸取的小球標號都是1的概率為________.

【解析】此題也可以看成是拋硬幣概率模型的應(yīng)用.此兩次摸取的小球標號都是1的概率相當于將1枚均勻的硬幣拋擲4次且4次拋擲的結(jié)果都是正面朝上的概率，由上述結(jié)論可知其概率為 ，即 .

例3 （2015·廣東茂名一模）將一個正六面體骰子連擲兩次，兩次拋擲的點數(shù)都是4的概率是________.

【解析】類比拋硬幣概率模型，將1枚骰子拋擲2次，出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有62種，2次拋擲骰子朝上的一面同是數(shù)字4的情況只有1種，概率是 ，即 .同樣可以推理驗證得出：將1枚骰子拋擲n次，出現(xiàn)的等可能結(jié)果共有6n種，n次拋擲骰子朝上的一面同是數(shù)字4的概率應(yīng)該是 .

（作者單位：江蘇省寶應(yīng)縣實驗初級中學）