透析三角函數(shù)，感悟數(shù)學思想

王吉全

數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，它蘊含著數(shù)學知識發(fā)生、發(fā)展和應(yīng)用的過程，對它的靈活運用，是數(shù)學能力的集中體現(xiàn).而三角函數(shù)又是高中階段重點知識，它具有公式多、思想豐富、變化靈活、滲透性強等特點.靈活地借助數(shù)學思想方法解題，往往可以避免復(fù)雜的運算，優(yōu)化解題過程，降低解題難度，加快解題速度.在教學中應(yīng)加以歸納與訓練，這樣有助于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)和思維能力，增強學生分析問題、解決問題的能力.本文將通過實例介紹解三角函數(shù)題時常用的數(shù)學思想方法.

一、數(shù)形結(jié)合的思想

總結(jié)：在判斷三角函數(shù)性質(zhì)的題目中，運用數(shù)形結(jié)合的思想解決，更容易讓學生形象化、具體化、生動化，進而讓學生理解、掌握.

二、換元的思想

總結(jié)：在三角函數(shù)式中，若同時含有sinα±cosα與sinαcosα，則可利用換元的思想，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題解決.

三、分類討論的思想

總結(jié)：在三角運算中，有關(guān)三角函數(shù)所在象限符號的選取常需要進行討論，三角函數(shù)與二次函數(shù)綜合問題，以及三角函數(shù)最值等問題也要注意討論.

四、化歸與轉(zhuǎn)化的思想

總結(jié)：本題從“角”“名”“形”不同的角度，將三角函數(shù)式進行轉(zhuǎn)化，使問題得以解決，化歸與轉(zhuǎn)化的思想普遍應(yīng)用于三角函數(shù)式的化簡、求值和證明中.

五、方程的思想

總結(jié)：利用方程的思想方法解有關(guān)三角函數(shù)問題，如果tanα，tanβ是二次方程的二根，則方程的系數(shù)由韋達定理作為橋梁與兩角和正切公式有著密切的聯(lián)系，這是方程與三角函數(shù)知識的一個交匯點.如果cosα，sinα是二次方程的二根，則方程的系數(shù)由韋達定理作為橋梁與sin■α+cosα■=1有著密切聯(lián)系，要注意利用這種關(guān)系解題.

三角函數(shù)這一知識點是高中階段的重點，雖然難度不大，但是公式較多.學生在學習時感覺困難，原因是公式多思維容易混亂，在運用數(shù)學思想解題時判斷數(shù)學方法也是難點，所以教師應(yīng)在落實基礎(chǔ)知識、基本技能的基礎(chǔ)上，增強運用三角工具的意識和運用數(shù)學思想方法的意識，著重培養(yǎng)和提高學生分析問題和解決問題的能力.