“變教為學(xué)”需要“誘人”的問(wèn)題

“變教為學(xué)”教學(xué)改革意欲將學(xué)生的學(xué)習(xí)方式從“被動(dòng)接受式”改變?yōu)椤爸鲃?dòng)生成式”；將教師的教學(xué)方式從“講授式”改變?yōu)椤耙l(fā)式”。其中“引發(fā)”的含義包括“引導(dǎo)學(xué)生專(zhuān)心，激勵(lì)學(xué)生努力，誘導(dǎo)學(xué)生愿意”。為此，教師就需要在備課中為學(xué)生設(shè)計(jì)能夠“吸引注意、煥發(fā)勇氣、激發(fā)動(dòng)機(jī)”的情境與問(wèn)題。這種“誘人”的問(wèn)題的開(kāi)發(fā)與設(shè)計(jì)，是“變教為學(xué)”教學(xué)改革研究的一項(xiàng)重要內(nèi)容。

“誘人（Engagement）”的情境與問(wèn)題的一個(gè)特征應(yīng)當(dāng)是“真實(shí)（Authentic）”，也就是問(wèn)題應(yīng)當(dāng)來(lái)源于真實(shí)發(fā)生的社會(huì)活動(dòng)或者自然現(xiàn)象中人的某種需求，歷史上許多這樣真實(shí)的問(wèn)題吸引了數(shù)學(xué)家們的注意并開(kāi)展研究，因此導(dǎo)致了數(shù)學(xué)中重大的發(fā)現(xiàn)或者發(fā)明。

比如，在18世紀(jì)的歐洲，普瑞格爾河（Pregel River）流過(guò)東普魯士（East Prussia）的古城哥尼斯堡（Konigsberg）市中心，河兩岸分別是圖1的B處和C處，流經(jīng)兩個(gè)小島分別是圖1中的A處和D處，連接兩岸和小島之間筑有七座古橋（見(jiàn)圖1）。每逢節(jié)假日，市民們紛紛上島游玩散步。凡旅游者都有一種愿望，游覽的景點(diǎn)盡量多，而且不走重復(fù)路。漸漸地，人們發(fā)現(xiàn)這七座橋不能滿(mǎn)足這一愿望。要想走遍七座橋，就一定有橋重復(fù)走，不重復(fù)就不能走遍七座橋。這就刺激人們產(chǎn)生了解決下面問(wèn)題的愿望：尋找一條行走路線(xiàn)，使得每座橋都走到，并且每座橋只走一次。這一問(wèn)題曾經(jīng)吸引了無(wú)數(shù)人的研究興趣，最終由當(dāng)時(shí)在彼得堡科學(xué)院工作的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Leonhard Euler，1707～1783）成功解決，并在此基礎(chǔ)上創(chuàng)立了數(shù)學(xué)的一個(gè)分支——“圖論”。[1]

這一問(wèn)題被后人稱(chēng)為“七橋問(wèn)題”，“七橋問(wèn)題”之所以誘人，從客觀(guān)的角度看，是人們?cè)谌粘；顒?dòng)中遇到的真實(shí)的事情，從主觀(guān)的角度看，正是人“占有更多”和“簡(jiǎn)捷省力”的愿望，導(dǎo)致了人們具有解決這個(gè)問(wèn)題的需求。因此可以說(shuō)“誘人”的問(wèn)題僅有“真實(shí)”的特征是不夠的，還應(yīng)當(dāng)與問(wèn)題解決者的愿望或者需求有聯(lián)系。

比如，在用現(xiàn)金購(gòu)物的活動(dòng)中，人們經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)需要“找零”的情況，對(duì)于商家來(lái)說(shuō)有時(shí)會(huì)出現(xiàn)缺少零錢(qián)而不能實(shí)現(xiàn)找零的窘境。因此就會(huì)出現(xiàn)下面的情境與問(wèn)題。

例題1：某件商品17元，顧客付款20元，商家應(yīng)當(dāng)找回零錢(qián)3元。如果此時(shí)商家恰好沒(méi)有3元零錢(qián)，那么有什么辦法可以解決這個(gè)問(wèn)題呢？

這樣的問(wèn)題來(lái)源于日?；顒?dòng)，反映了人們?cè)谏鐣?huì)活動(dòng)中的需求，應(yīng)當(dāng)說(shuō)具有“誘人”的特征。問(wèn)題的解決至少可以有兩個(gè)方案，第一是如果商家此時(shí)有5元紙幣，顧客有2元零錢(qián)，那么就可以請(qǐng)求顧客再付2元，而后商家找還給顧客5元。思考過(guò)程中需要的計(jì)算包括：

20-17=3（元）

20+2-17=5（元）

第二個(gè)方案與此類(lèi)似，如果商家此時(shí)沒(méi)有5元紙幣，但有10元紙幣，顧客恰好有7元零錢(qián)，那么就可以再付給商家7元，商家找還10元即可。用到的算式為：

20+7-17=10（元）

以上過(guò)程在實(shí)際教學(xué)中，不需要教師對(duì)解決方案進(jìn)行講解。教師可以通過(guò)“講故事”或者“視頻”的手段，向?qū)W生展示情境的發(fā)生與發(fā)展，而后組織學(xué)生思考并討論諸如下面的問(wèn)題：

要解決的問(wèn)題是什么？

可以怎樣解決？

解決過(guò)程用到了哪些知識(shí)和方法？

其中“要解決的問(wèn)題是什么”的思考與討論，目的是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、理解問(wèn)題、表達(dá)問(wèn)題”的過(guò)程。也就是讓學(xué)生在這個(gè)思考和討論的過(guò)程中，能夠感受到問(wèn)題的存在，理解問(wèn)題的含義，能夠用自己的語(yǔ)言表述。

對(duì)于“可以怎樣解決”這一問(wèn)題，其實(shí)是引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷對(duì)于解決問(wèn)題的過(guò)程與方法的設(shè)計(jì)過(guò)程。這一過(guò)程期望學(xué)生對(duì)每一個(gè)解決方案進(jìn)行細(xì)致思考，以及對(duì)不同方案的交流和比較。

關(guān)于“解決過(guò)程用到了哪些知識(shí)和方法”的思考，其實(shí)是對(duì)解決問(wèn)題后的反思或總結(jié)的過(guò)程。前面問(wèn)題的解決實(shí)際上運(yùn)用的是“湊整”的方法，是在減法運(yùn)算中為減法的結(jié)果“湊五”或“湊十”，用到了減法的一個(gè)運(yùn)算規(guī)律，即“如果減數(shù)不變，那么被減數(shù)增加或減少多少，差也增加或減少多少”。用算式表達(dá)出來(lái)就是：

（a+c）-b=（a-b）+c

（a-c）-b=（a-b）-c

由于這一問(wèn)題的解決所用到數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單，因此適合于低年級(jí)的計(jì)算以及解決問(wèn)題的教學(xué)。而在中年級(jí)學(xué)生學(xué)習(xí)混合運(yùn)算時(shí)，可以引導(dǎo)學(xué)生研究下面的問(wèn)題。

例題2：學(xué)校每天上午上4節(jié)課，每節(jié)課40分鐘。上午的一次課間為課間操，時(shí)間為30分鐘。其余課間休息每次時(shí)間為10分鐘。如果早晨第一節(jié)課8點(diǎn)整開(kāi)始，那么上午最后一節(jié)課什么時(shí)間結(jié)束？

這一問(wèn)題顯然與學(xué)生每天在學(xué)校的活動(dòng)息息相關(guān)，自然會(huì)喚起學(xué)生愿意去思考并解決的愿望。思考過(guò)程會(huì)用到“倒推”的思路，為了知道“什么時(shí)間結(jié)束”，需要知道“共用多少時(shí)間”；為了知道共用多少時(shí)間，先要知道“上課共用時(shí)間”和“課間共用時(shí)間”。這樣的思考過(guò)程可以用圖2的流程圖直觀(guān)表現(xiàn)出來(lái)：

有了以上分析，就可以通過(guò)計(jì)算解決問(wèn)題了。因?yàn)橐粋€(gè)上午共4節(jié)課，每節(jié)課40分鐘，因此一個(gè)上午“上課共用時(shí)間”為：

40×4=160（分）

又因?yàn)楣灿?次課間，其中2個(gè)每次是10分鐘，另一個(gè)是課間操需要30分鐘，所以課間共用時(shí)間為：

10×2+30=50（分）

所以共用時(shí)間為：160+50=210（分）

核算出210分鐘是3個(gè)半小時(shí)，因此從8點(diǎn)開(kāi)始上課，到最后一節(jié)課結(jié)束共經(jīng)過(guò)3個(gè)小時(shí)30分鐘，因此最后一節(jié)課結(jié)束時(shí)間應(yīng)當(dāng)是上午11點(diǎn)半。

實(shí)際教學(xué)中，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生對(duì)問(wèn)題進(jìn)行分析和轉(zhuǎn)化。也就是要引導(dǎo)學(xué)生理解下面這些問(wèn)題，并且理清這些問(wèn)題之間的關(guān)系：

最后一節(jié)課什么時(shí)候結(jié)束？

從早晨8點(diǎn)開(kāi)始上課，到最后一節(jié)課結(jié)束共經(jīng)過(guò)多少時(shí)間？

上課共用多少時(shí)間？

課間共用多少時(shí)間？

一個(gè)上午一共上幾節(jié)課？

一節(jié)課多少分鐘？

一個(gè)上午有幾次課間？

每個(gè)課間多少分鐘？

問(wèn)題的解決過(guò)程中，不僅要用到混合運(yùn)算的知識(shí)與方法，而且還用到了“植樹(shù)問(wèn)題”的模型。在“一個(gè)上午有幾次課間”這個(gè)問(wèn)題的思考中，因?yàn)橐粋€(gè)上午共有4節(jié)課，因此其中會(huì)出現(xiàn)3次課間，這實(shí)際上就是“植樹(shù)問(wèn)題”的模型。（見(jiàn)圖3）

學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)是分門(mén)別類(lèi)進(jìn)行學(xué)習(xí)的。而在解決實(shí)際問(wèn)題的時(shí)候，知識(shí)的應(yīng)用往往是綜合的，這就需要學(xué)生逐步形成一種能夠甄別、選擇和使用所學(xué)知識(shí)的能力。為了鍛煉這種能力，就需要給學(xué)生更多這樣的機(jī)會(huì)去經(jīng)歷和體驗(yàn)。

在人的日?；顒?dòng)中往往有對(duì)于“日期”和“星期”相互轉(zhuǎn)換的需求，比如：

例題3：在不查看日歷的情況下，如何能夠迅速知道2015年12月18日是星期幾？

對(duì)于這一問(wèn)題的思考，所依據(jù)的基本原理是數(shù)學(xué)中的“余數(shù)”。觀(guān)察日歷表可以發(fā)現(xiàn)12月18日的星期數(shù)與12月4日、11日、25日的星期數(shù)是一樣的，原因是4、11、18、25除以7的余數(shù)相同。由于這四個(gè)日期數(shù)均勻分布于整月中，因此，有一種方法就是利用所熟悉的特殊日期進(jìn)行推算，比如，如果12月6日恰好是自己或親朋好友的生日，因此對(duì)于12月6日是星期日印象深刻，由此推算12月4日是星期五，因此12月18日也是星期五。

另外一個(gè)簡(jiǎn)便的方法是記住12月第一個(gè)星期日的日期數(shù)，比如2015年12月第一個(gè)星期日的日期數(shù)是6日，從6日開(kāi)始過(guò)1天是7日，就是星期一，過(guò)2天是8日，就是星期二，依次類(lèi)推，從6日開(kāi)始算起，經(jīng)過(guò)幾天就是星期幾。因此要想求出18日的星期數(shù)，只要用18減去6的結(jié)果為12，說(shuō)明從6日到18日共經(jīng)過(guò)12天。用12除以7，余數(shù)為5，說(shuō)明經(jīng)過(guò)12天與經(jīng)過(guò)5天的星期數(shù)相同，因此5就是18日的星期數(shù)，即星期五。

在小學(xué)數(shù)學(xué)課程中有“探索規(guī)律”的課程內(nèi)容，所謂“探索規(guī)律”就是在運(yùn)動(dòng)與變化的過(guò)程中尋找不變因素，[2]一旦發(fā)現(xiàn)這樣的不變因素，就意味著發(fā)現(xiàn)了規(guī)律，進(jìn)而就可以實(shí)現(xiàn)“預(yù)見(jiàn)未來(lái)（Prediction）”的目的。如果把從12月6日到12月18日的變化過(guò)程用圖4表示出來(lái)，就可以明顯地看出這樣的規(guī)律：

實(shí)際教學(xué)中，應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生把注意力放在運(yùn)動(dòng)與變化上，以及其中蘊(yùn)含著的不變因素方面。在圖4的變化過(guò)程中存在著兩個(gè)不變因素，第一是從6日開(kāi)始過(guò)幾天就是星期幾（天數(shù)比8小的時(shí)候），比如過(guò)5天是11日恰好是星期五；第二是從任何一天經(jīng)過(guò)7天的星期數(shù)是相同的，比如從6日（星期日）經(jīng)過(guò)7天是13日，也是星期日。抓住了這樣兩個(gè)不變因素，就可以方便地計(jì)算出本月任何一天是星期幾。

這種在現(xiàn)實(shí)中與人的需求息息相關(guān)的真實(shí)情境與問(wèn)題是很多的，需要教師善于觀(guān)察發(fā)現(xiàn)，并且能夠與教學(xué)內(nèi)容建立聯(lián)系。比如在北京、杭州等城市，乘坐地鐵出行不僅準(zhǔn)時(shí)舒適，而且環(huán)保，圖5是北京地鐵1號(hào)線(xiàn)線(xiàn)路圖。

這樣的情境與小學(xué)數(shù)學(xué)課程中的“植樹(shù)問(wèn)題”就有緊密的聯(lián)系。對(duì)于有乘坐地鐵經(jīng)驗(yàn)的學(xué)生來(lái)說(shuō)，諸如下面的問(wèn)題都可以成為學(xué)生思考討論的真實(shí)問(wèn)題。

地鐵運(yùn)行一站大約需要多少時(shí)間？

地鐵在每站大約停多少時(shí)間？

從某地到某地共有多少站？

從某地到某地共經(jīng)過(guò)多少站？

從某地到某地需要多少時(shí)間？

為了在某個(gè)時(shí)刻到達(dá)目的地，在某地出發(fā)去目的地應(yīng)當(dāng)幾點(diǎn)出發(fā)？

再比如，我國(guó)許多地區(qū)都有過(guò)年“包餃子”的習(xí)俗，餃子通常會(huì)擺放在圓形“蓋簾兒”上。（見(jiàn)圖6）

在包餃子過(guò)程中，人們通常需要知道“是否夠吃”，也就是需要迅速知道一個(gè)蓋簾兒上大約擺放了多少餃子，如果一個(gè)一個(gè)去數(shù)，會(huì)比較麻煩。因此就有尋找簡(jiǎn)便的估算方法的需求。其中實(shí)際上蘊(yùn)含著一個(gè)有關(guān)圓面積與圓周長(zhǎng)之間關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)，即圓周長(zhǎng)的一半與圓半徑的乘積等于這個(gè)圓的面積。如果用字母r表示圓的半徑，圓周長(zhǎng)的一半就是，與半徑r的乘積為：×r=πr2。由于=2π×，因此這一關(guān)系還可以理解為：圓面積等于中間位置的同心圓的周長(zhǎng)與圓半徑的乘積。（見(jiàn)圖7）

估算餃子數(shù)量的方法與此相關(guān)，在圖6第一個(gè)圖中，中間一圈的餃子數(shù)量是25個(gè)，總共可以看作是擺放了3圈，因此這個(gè)蓋簾兒上大約擺放了（25×3=75）個(gè)餃子。第二個(gè)圖也可以用類(lèi)似方法估算出來(lái)。對(duì)于小學(xué)中低年級(jí)學(xué)生，關(guān)于乘法認(rèn)識(shí)、長(zhǎng)方形面積等數(shù)學(xué)內(nèi)容，可以用圖8中的擺放方式進(jìn)行探究。

讓學(xué)生經(jīng)歷真實(shí)情境與問(wèn)題的思考和研究，其目的一方面是讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)知識(shí)與方法的實(shí)際意義，進(jìn)而誘發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的動(dòng)機(jī)。另外對(duì)于學(xué)生在真實(shí)情境中善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的習(xí)慣養(yǎng)成和能力提升，都會(huì)有所裨益。真實(shí)情境中的問(wèn)題往往具有開(kāi)放性，也就是其條件、結(jié)論以及過(guò)程與方法未必是唯一確定的，因此對(duì)于學(xué)生綜合并且靈活運(yùn)用知識(shí)和方法的能力的逐步提升也會(huì)起到積極作用。凡此都需要教師不斷開(kāi)發(fā)并積累這樣的案例。

參考文獻(xiàn)：

[1]郜舒竹，徐春華. 歐拉究竟是怎樣解決七橋問(wèn)題的[J]. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2005（1）.

[2]郜舒竹. “探索規(guī)律”釋義[J]. 課程·教材·教法，2015（1）.

（首都師范大學(xué)初等教育學(xué)院 100048）