數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯

張鶴，海淀區(qū)教師進(jìn)修學(xué)校數(shù)學(xué)教研員，北京市特級(jí)教師。海淀區(qū)名師工作站中學(xué)數(shù)學(xué)導(dǎo)師組組長(zhǎng)，承擔(dān)海淀區(qū)優(yōu)秀教師的培養(yǎng)工作。2008年被授予蘇步青數(shù)學(xué)教育獎(jiǎng)（二等獎(jiǎng)）。

課堂教學(xué)中常?？吹竭@樣一種教學(xué)狀態(tài)：教師為了引入課題，向?qū)W生提出一些莫名其妙的問(wèn)題，讓學(xué)生摸不著頭腦。為了配合教師的教學(xué)，學(xué)生也努力地思考著并給出他們的解釋或回答。還有一種常常能看到的教學(xué)現(xiàn)象，就是學(xué)生們?cè)诮處煹闹噶钕逻M(jìn)行一些操作性的學(xué)習(xí)活動(dòng)（也常常美言為探究活動(dòng)），但是為什么探究，學(xué)生似乎也不是很關(guān)心，只要按照教師的要求做就是了。每當(dāng)在教學(xué)過(guò)程中出現(xiàn)一些思維難點(diǎn)時(shí)，這本來(lái)正是需要學(xué)生們靜靜思考的時(shí)候，教師卻耐不住這份寂寞，容不得靜悄悄的課堂，總要“煽動(dòng)”學(xué)生們進(jìn)行小組交流，開(kāi)展合作學(xué)習(xí)。這種喧鬧下的學(xué)習(xí)也總是能夠產(chǎn)生“奇效”，再難的問(wèn)題在合作學(xué)習(xí)下也“無(wú)堅(jiān)不摧”。如果按照時(shí)下流行的教學(xué)理念去對(duì)照課堂中出現(xiàn)的這些現(xiàn)象，都能看到教育教學(xué)改革的“效果”：在問(wèn)題解決中培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，在探究學(xué)習(xí)中培養(yǎng)學(xué)生的解決問(wèn)題能力。

實(shí)事求是地評(píng)價(jià)教學(xué)中的這些現(xiàn)象，不能不說(shuō)這樣的課堂總是讓人感到缺一點(diǎn)東西，失去了一些味道，讓人看不到貫穿課堂教學(xué)始終的一條主線。即使是教師自己來(lái)評(píng)價(jià)，也是不滿意的居多，他們也以只會(huì)教學(xué)生知識(shí)不會(huì)教學(xué)生能力自嘲。一些教師對(duì)課堂教學(xué)工作產(chǎn)生職業(yè)倦怠，也正是他們?cè)谡n堂教學(xué)的活動(dòng)中享受不到工作的樂(lè)趣所致。

北京師范大學(xué)王策三先生在他的專著《教學(xué)論稿》中指出：教學(xué)過(guò)程本質(zhì)上就是認(rèn)識(shí)的過(guò)程。這句話是對(duì)教學(xué)過(guò)程本質(zhì)的最精練概括，讓我們能夠靜下心來(lái)思考教學(xué)過(guò)程的最本質(zhì)的東西是什么，為什么我們的教學(xué)會(huì)出現(xiàn)不盡如人意的現(xiàn)象。

上述教學(xué)現(xiàn)象的產(chǎn)生，最根本的原因在于課堂教學(xué)邏輯的缺失。一個(gè)能夠讓學(xué)生體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂(lè)、讓教師享受到教學(xué)樂(lè)趣的課堂，一定是遵循了教學(xué)規(guī)律的課堂，這樣的課堂應(yīng)該賦有教學(xué)的邏輯。所謂邏輯通常是指思維的規(guī)律和方法。數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程是人認(rèn)識(shí)知識(shí)本質(zhì)的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中并存著教師的教學(xué)過(guò)程，知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程以及教師與學(xué)生的思維活動(dòng)過(guò)程，這些過(guò)程實(shí)際上都是教學(xué)中客觀存在的邏輯過(guò)程，它必然存在著思維層面的規(guī)律和方法。

教學(xué)的邏輯首先是知識(shí)的邏輯。教學(xué)的展開(kāi)都是以知識(shí)為載體的，而知識(shí)是有邏輯關(guān)系的。知識(shí)邏輯回答教學(xué)“教什么”的問(wèn)題，它是教學(xué)活動(dòng)中最具實(shí)質(zhì)性的要素。知識(shí)邏輯一方面體現(xiàn)在本節(jié)課的知識(shí)與其所屬學(xué)科其他知識(shí)之間的邏輯關(guān)系；另一方面體現(xiàn)在本節(jié)課的知識(shí)與學(xué)生此前所學(xué)知識(shí)的邏輯關(guān)系和此后將要學(xué)習(xí)的知識(shí)之間的邏輯關(guān)系。作為教師，在進(jìn)行一節(jié)課的知識(shí)教學(xué)前，就要能夠明確這些邏輯關(guān)系，并依據(jù)對(duì)知識(shí)的邏輯理解和認(rèn)識(shí)，進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)。知識(shí)的邏輯具有隱蔽性，但它無(wú)時(shí)無(wú)刻不在，如果你不去研究，你就看不到它，課堂教學(xué)就會(huì)不可避免地陷入單純的知識(shí)教學(xué)中，缺乏邏輯的教學(xué)也就“應(yīng)運(yùn)而生”了。

如何把握知識(shí)的邏輯關(guān)系呢？我認(rèn)為明確所教授的知識(shí)與這段知識(shí)所處學(xué)科的知識(shí)之間邏輯關(guān)系是最為重要的。這種關(guān)系能夠使我們看清楚教師今天所教授的知識(shí)在整個(gè)學(xué)科知識(shí)體系中的地位與價(jià)值；教師在課堂上所進(jìn)行的知識(shí)的教學(xué)是否遵循著學(xué)科的觀點(diǎn)和思維的方法；教師的課堂教學(xué)是不是在引導(dǎo)著學(xué)生探尋學(xué)科的本質(zhì)。可以說(shuō)，每一節(jié)課的知識(shí)的教學(xué)就是在明確著這些知識(shí)與學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在邏輯關(guān)系，讓學(xué)生通過(guò)知識(shí)的學(xué)習(xí)去體會(huì)、感受所學(xué)知識(shí)與知識(shí)所處的學(xué)科的邏輯關(guān)系。

例如，在平面幾何的各個(gè)單元知識(shí)的教學(xué)中，就要依據(jù)幾何學(xué)的學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在邏輯。即幾何學(xué)的教學(xué)要讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何研究單個(gè)的幾何對(duì)象的幾何性質(zhì)和不同幾何對(duì)象之間的位置關(guān)系。在幾何學(xué)不同階段的教學(xué)中，所教授的知識(shí)可能不同，但是都是要培養(yǎng)學(xué)生理解和掌握幾何學(xué)的這種學(xué)科觀點(diǎn)和研究問(wèn)題的方法，理解幾何學(xué)背景下的知識(shí)邏輯。

本文以義務(wù)教育九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第24章關(guān)于圓的部分教學(xué)內(nèi)容為例，就其知識(shí)邏輯進(jìn)行簡(jiǎn)要分析：圓是平面幾何學(xué)習(xí)的一個(gè)重要內(nèi)容，其教學(xué)就是要使學(xué)生通過(guò)圓的有關(guān)知識(shí)的學(xué)習(xí)，在直線型圖形研究的基礎(chǔ)上進(jìn)一步體會(huì)研究非直線型幾何圖形的思維與方法，深刻領(lǐng)悟幾何學(xué)的學(xué)科觀點(diǎn)。

圓這部分的知識(shí)邏輯主線是從兩個(gè)方面展開(kāi)的：其一是對(duì)圓自身性質(zhì)的研究，即圓的對(duì)稱性及其應(yīng)用。圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。這種對(duì)稱性反映了圓這一幾何圖形的本質(zhì)特征，它是圓的知識(shí)邏輯的核心，因而成為圓的知識(shí)邏輯展開(kāi)的一條主線。無(wú)論是學(xué)習(xí)“垂徑定理”還是研究“切線長(zhǎng)定理”，都是圓的軸對(duì)稱性質(zhì)的體現(xiàn)。關(guān)于圓心角定理和圓周角定理，包括“正多邊形與圓”的學(xué)習(xí)和“圓的弧長(zhǎng)公式”的學(xué)習(xí)，也都是在理解體會(huì)圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性質(zhì)或中心對(duì)稱圖形的性質(zhì)。其二是圓與其他幾何元素之間的邏輯關(guān)系。在直線與圓的位置關(guān)系的研究中，直線與圓相切是需要重點(diǎn)研究的一種位置關(guān)系。為了讓學(xué)生能夠更深刻地體會(huì)這種位置關(guān)系的判定和性質(zhì)，就要從聯(lián)系的、運(yùn)動(dòng)變化的角度去理解直線與圓的三種位置關(guān)系，進(jìn)而理解直線與圓的

相切。

總之，教師只有從研究幾何圖形的角度出發(fā)，依據(jù)平面幾何學(xué)的觀點(diǎn)、方法，才能夠揭示出圓的知識(shí)邏輯，實(shí)現(xiàn)圓的教學(xué)價(jià)值。

同樣，在高中階段的數(shù)學(xué)教學(xué)中，知識(shí)邏輯的確定也是提高教學(xué)質(zhì)量的前提，是教師進(jìn)行教學(xué)研究的切入點(diǎn)。如在平面解析幾何的教學(xué)中，如何有效地對(duì)幾何對(duì)象進(jìn)行代數(shù)化是教學(xué)最為重要的任務(wù)。很多時(shí)候，由于教師不能從幾何學(xué)的知識(shí)邏輯的角度理解教學(xué)，使得平面解析幾何的教學(xué)經(jīng)常陷入繁難的代數(shù)運(yùn)算中不能自拔。實(shí)際上，依據(jù)幾何學(xué)的知識(shí)邏輯，對(duì)于幾何元素所進(jìn)行的代數(shù)化不是一蹴而就的，而是要在明確幾何對(duì)象的幾何特征前提下進(jìn)行代數(shù)化。如果是用“曲線與方程”的觀點(diǎn)看幾何對(duì)象，就是要明確動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的幾何規(guī)律之后再進(jìn)行代數(shù)化。對(duì)于類似直線與橢圓（或雙曲線、拋物線）兩個(gè)或兩個(gè)以上幾何對(duì)象的研究，也是先要明確它們之間在幾何上的位置關(guān)系，才有可能用代數(shù)方法去解決它們的問(wèn)題。

又比如，在立體幾何的教學(xué)中，盡管研究的對(duì)象是空間幾何體，但是同樣要遵循幾何學(xué)知識(shí)邏輯展開(kāi)教學(xué)。也就是要研究幾何元素點(diǎn)、直線、平面的確定以及它們之間的位置關(guān)系。如2013年高考北京文科卷的第8題：在正方體的體對(duì)角線上有一個(gè)三等分點(diǎn)P，問(wèn)點(diǎn)P到正方體的八個(gè)頂點(diǎn)的距離有幾組不同的值。解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵就是要確定點(diǎn)P的位置。題目?jī)H是從代數(shù)的量的角度給出了點(diǎn)P的位置，但是點(diǎn)P的幾何特征仍然沒(méi)有明確下來(lái)。這個(gè)點(diǎn)在幾何上是如何確定的就成為解決問(wèn)題的關(guān)鍵。這種認(rèn)識(shí)就是基于數(shù)學(xué)問(wèn)題與幾何學(xué)知識(shí)邏輯的關(guān)系的思考與研究。

發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力是數(shù)學(xué)教育的基本目標(biāo)之一，教師的教學(xué)任務(wù)就是要通過(guò)教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的各個(gè)單元知識(shí)的思維特征，并能夠用知識(shí)所承載的思維方法理解數(shù)學(xué)問(wèn)題并解決數(shù)學(xué)問(wèn)題。因此，教學(xué)的邏輯不僅體現(xiàn)在知識(shí)本身的邏輯上，也反映在參與教學(xué)的教師與學(xué)生的思維活動(dòng)中。思維邏輯就是指在知識(shí)邏輯的基礎(chǔ)上，在師生之間所進(jìn)行的思維活動(dòng)的規(guī)律和方法。

數(shù)學(xué)的教學(xué)價(jià)值在于學(xué)生思維邏輯的確立，讓學(xué)生的思維具有邏輯是數(shù)學(xué)教學(xué)最為重要的任務(wù)。但這個(gè)目標(biāo)的達(dá)成不是知識(shí)邏輯自身能夠完成的，它需要授課教師在對(duì)知識(shí)邏輯具有深刻理解和認(rèn)同的基礎(chǔ)上進(jìn)行富有成效的教學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識(shí)的過(guò)程中建立起思維邏輯?？梢哉f(shuō)，思維邏輯不僅是教師教學(xué)工作專業(yè)性的體現(xiàn)，也是學(xué)生在知識(shí)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上學(xué)科素養(yǎng)全面提高的重要標(biāo)志。

既然思維的邏輯在數(shù)學(xué)教學(xué)中的地位如此重要，那么思維邏輯在現(xiàn)實(shí)的教學(xué)中是不是得到了應(yīng)有的地位呢？我們不得不承認(rèn)，在現(xiàn)如今的教學(xué)實(shí)踐中，應(yīng)試思維還非常普遍，它在一些教師和學(xué)生的頭腦中還根深蒂固。如在習(xí)題教學(xué)中，一些教師為了讓學(xué)生盡快地運(yùn)用數(shù)學(xué)的結(jié)論解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，主動(dòng)放棄了許多有學(xué)科價(jià)值的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，讓學(xué)生在沒(méi)有理解問(wèn)題的情況下就直接進(jìn)入到操作層面的學(xué)習(xí)活動(dòng)中，學(xué)生知其然不知其所以然的現(xiàn)象客觀存在。在應(yīng)試的思維下，“解題模型”已經(jīng)從商家的鼓噪堂而皇之地進(jìn)入我們的課堂，成為一些教師進(jìn)行解題教學(xué)的利器?，F(xiàn)如今，平面幾何教學(xué)中的基本圖形已經(jīng)不是10多年前的“基本圖形”的概念了。最早提出“基本圖形”概念的北京市西城區(qū)教育學(xué)院的傅佑珊老師在《平面幾何基本圖形的方法與教學(xué)實(shí)踐》一文中指出：“所謂基本圖形是指現(xiàn)行教材中概念公理和定理所對(duì)應(yīng)的圖形?！笨墒悄壳傲餍杏谡n堂教學(xué)中的基本圖形已經(jīng)發(fā)生了變異，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了當(dāng)年傅老師給“基本圖形”下的定義。各式各樣的“基本圖形”成為“題型”的代言人，“題型”教學(xué)穿上了美麗外衣在教學(xué)中大行其道。如在相似三角形判定的教學(xué)中，“A型圖和X型圖”成為能夠讓學(xué)生從復(fù)雜的圖形中找到解決問(wèn)題的“基本圖形”，并作為判斷三角形相似的依據(jù)。學(xué)生記住了“A型圖和X型圖”，卻失去了用最基本的幾何元素之間的位置關(guān)系去判斷三角形相似的思維訓(xùn)練。這種快餐式的教學(xué)就使得思維邏輯的建立變得極其艱難。

如何在教學(xué)實(shí)踐中確立思維邏輯呢？我們深知：數(shù)學(xué)中的基本概念反映了學(xué)科知識(shí)的本質(zhì)，它是學(xué)科思維方法的最重要的載體。思維邏輯就來(lái)源于教師和學(xué)生對(duì)基本概念的深刻理解；思維邏輯的建立就依賴于學(xué)生在教師的指導(dǎo)下遵循基本概念所承載的思維特點(diǎn)所進(jìn)行的思維活動(dòng)。如用函數(shù)自變量的變化特征和相對(duì)應(yīng)的因變量的關(guān)系來(lái)分析函數(shù)性質(zhì)的思維方法，就是依托于函數(shù)概念所確立的函數(shù)思維的邏輯?！敖忸}模型”是對(duì)思維邏輯的反動(dòng)，應(yīng)該拋棄；“基本圖形”要回歸到基本，讓學(xué)生有更多的機(jī)會(huì)用最基本的幾何位置關(guān)系去對(duì)問(wèn)題作出解釋和判斷。要讓學(xué)生具有思維邏輯，就要讓他們學(xué)會(huì)用最基本的概念去理解問(wèn)題和思考問(wèn)題，并能夠站在知識(shí)邏輯的高度去認(rèn)識(shí)知識(shí)所承載的思維

邏輯。

教學(xué)邏輯回答“怎么教”的問(wèn)題，它是使得教學(xué)活動(dòng)從不規(guī)范到規(guī)范、從隨意性向高度自覺(jué)性發(fā)展的要素。要讓教學(xué)過(guò)程賦有邏輯，課堂教學(xué)的主導(dǎo)者—教師不僅要研究教材，明確知識(shí)邏輯，還要研究知識(shí)所承載的思維，讓課堂教學(xué)活動(dòng)賦有思維邏輯?？梢哉f(shuō)，知識(shí)邏輯和思維邏輯的確立是教學(xué)邏輯準(zhǔn)確定位的基礎(chǔ)，教學(xué)邏輯的準(zhǔn)確定位又是知識(shí)邏輯和思維邏輯在教學(xué)中得以充分揭示與展現(xiàn)的條件。

教學(xué)邏輯所面臨的最大的問(wèn)題是教師的教學(xué)觀問(wèn)題，它是對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)本質(zhì)的溯源。教師的數(shù)學(xué)觀將直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)觀，具有正確數(shù)學(xué)觀的教師所理解的數(shù)學(xué)教育核心就是教好數(shù)學(xué)，讓他的學(xué)生的思維具有數(shù)學(xué)的邏輯。具有正確數(shù)學(xué)觀的教師所采用的教學(xué)方法是為學(xué)生理解數(shù)學(xué)內(nèi)容、研究數(shù)學(xué)問(wèn)題服務(wù)的方法。數(shù)學(xué)本質(zhì)在具有正確數(shù)學(xué)觀教師的課堂上是不會(huì)被淹沒(méi)于表面化的教學(xué)形式、意義不當(dāng)?shù)挠?xùn)練和枝節(jié)性的步驟之中的。

總之，作為教學(xué)研究者的教師，要準(zhǔn)確把握教學(xué)中的知識(shí)邏輯和思維邏輯，并據(jù)此確立教學(xué)邏輯。在教學(xué)活動(dòng)中揭示出所教授知識(shí)的本質(zhì)，實(shí)現(xiàn)知識(shí)教學(xué)的教育價(jià)值，讓學(xué)生通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，感受到數(shù)學(xué)邏輯的魅力。要讓學(xué)生掌握研究數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法，養(yǎng)成理性思維的習(xí)慣，為他們今后的學(xué)習(xí)、研究打下一個(gè)堅(jiān)實(shí)的

基礎(chǔ)。

（責(zé)任編輯：趙彩俠）