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    關(guān)于不定積分湊微分法的一個注記

    2015-09-10 07:22:44陳勇李志文陳俊希
    考試周刊 2015年19期

    陳勇 李志文 陳俊希

    摘 要: 本文通過對復(fù)合函數(shù)由外向內(nèi)地剝離分析,借助一階微分形式不變性,提出了次外層微分法,以簡捷有效地解答高等數(shù)學(xué)教材中可通過湊微分法得解的不定積分問題.

    關(guān)鍵詞: 復(fù)合函數(shù)次外層 微分形式不變性 次外層微分法

    不定積分湊微分法是高等數(shù)學(xué)的教學(xué)重難點(diǎn)內(nèi)容.其基本原理[1]是:設(shè)f(u)具有原函數(shù)F(u),u=g(x),可導(dǎo),則有?蘩f[g(x)]g′(x)dx=?蘩f[g(x)]dg(x)=?蘩f(u)du=F(u)+C=F[g(x)+c].該方法是將一階微分形式不變性利用到求不定積分中,先湊出被積函數(shù)f[g(x)]g′(x)中復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的中間變量g(x)的微分dg(x),再借助基本積分公式,求得一些較復(fù)雜函數(shù)的不定積分.

    一、傳統(tǒng)教法效果不佳

    以上求解中,例1和例2都是通過了兩次湊微分運(yùn)算后才得解.

    由于湊微分是微分逆運(yùn)算,對初學(xué)者而言,其求導(dǎo)和微分都還不十分熟練.如果再要求其進(jìn)行求導(dǎo)和微分的反向運(yùn)算,這種非常規(guī)的反動作,就會使其感到十分別扭.從實(shí)踐教學(xué)反饋來看,學(xué)生對一些簡單題目,比如被積函數(shù)中所含的復(fù)合函數(shù)只有二層時,還可以容易求得結(jié)果,但面對多層復(fù)合函數(shù)情形,多數(shù)同學(xué)便束手無策,不知該如何下手,而且一次又一次地湊微分運(yùn)算,學(xué)生極易將積分公式和微分公式混淆,導(dǎo)致作業(yè)錯誤率極高,學(xué)習(xí)效率低下.學(xué)生對這部分內(nèi)容的普遍反映是學(xué)習(xí)難度大,方法不易掌握.

    二、微分形式不變性引發(fā)的新思路

    微分形式不變性[3]的基本原理是:設(shè)y=f(u),則dy=f′(u)du,其中u是自變量,設(shè)y=f(u),u=g(x)則dy=df(u)=f[g(x)]g(x)dx=f′(u)du,其中u是中間變量.可見,無論u是自變量還是中間變量,y=f(u)的微分形式不變,都是f′(u)du,類似地,多層復(fù)合函數(shù)f(u)的微分形式也是df(u)=f′(u)du.

    這就提示我們,可對?蘩f[g(x)]g′(x)dx中被積函數(shù)所含復(fù)合函數(shù)f(g(x))的結(jié)構(gòu)重新進(jìn)行分析,將f[g(x)]由外向內(nèi)地剝離,找到次外層u=g(x)再通過計(jì)算次外層微分du,找平積分式,最后利用常見的基本積分公式求得結(jié)論.

    這樣做的好處是,次外層是在由外向內(nèi)的剝離過程中直接找出來的,而不是由里向外一層層湊微分得到的.這就避免了別扭且容易犯錯的湊微分運(yùn)算,只需將找出來的次外層u,直接放到d的右邊,便可省事不費(fèi)力地得到夢寐以求的?蘩f(u)du.當(dāng)然,要想準(zhǔn)確解題,還需對次外層u進(jìn)行微分計(jì)算,并將新的積分式做還原處理,以使前后積分式相等.這種方法可簡稱為“次外層微分法”,一般地,可以按照“找、微、還、用”四步驟進(jìn)行解題:①找:找復(fù)合函數(shù)f(u)的次外層u;②微:計(jì)算次外層微分du;③還:對新積分式做系數(shù)處理,使之與原積分式相等;④用:利用常見的基本積分公式求得結(jié)論.

    在次外層微分法的四步驟中,能否迅速準(zhǔn)確地找到次外層u成為解題的關(guān)鍵,其要點(diǎn)是:復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的次外層u=g(x)常位于被積函數(shù)的分母上、根號下、括號內(nèi)等部位,也可能次外層u=g(x)就是含在被積函數(shù)中的最復(fù)雜的那個函數(shù)式,如反(反三角函數(shù))、對(對數(shù)函數(shù))、冪(冪函數(shù))、指(指數(shù)函數(shù))、三(三角函數(shù))等.

    三、應(yīng)用舉例

    1.找分母

    四、結(jié)語

    實(shí)踐教學(xué)中,為了幫助學(xué)生掌握次外層微分法的解題技巧,常需對學(xué)生進(jìn)行以下三方面針對性的訓(xùn)練:1.熟練計(jì)算復(fù)合函數(shù)微分;2.熟記并靈活運(yùn)用基本積分公式(u為自變量或中間變量);3.迅速準(zhǔn)確地找出復(fù)合函數(shù)次外層.學(xué)會方法后,學(xué)生一般都能一步到位地迅速解題,學(xué)習(xí)效果事半功倍,同時教師應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生將次外層微分法和湊微分法進(jìn)行比較,令其加深對微分和湊微分互逆運(yùn)算的認(rèn)識,充分理解復(fù)合函數(shù)既能由內(nèi)向外組裝,又可由外向內(nèi)剝離的結(jié)構(gòu)分析特征,更好地融合微積分知識,牢固掌握不定積分這部分內(nèi)容.

    參考文獻(xiàn):

    [1]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)(第六版上冊).高等教育出版社,2007.4,第六版.

    [2]吳傳生.經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)——微積分.高等教育出版社,2009.4,第2版.

    [3]李軍英,劉碧玉,韓旭里.微積分(上冊)(第二版).北京:科學(xué)出版社,2008.7,第二版.

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