數(shù)學(xué)解題“確定必可求”思想與思維可視化的整合應(yīng)用

羅勝彬

成為數(shù)學(xué)解題高手的秘訣是什么？有人說“知識(shí)基礎(chǔ)必須扎實(shí)”。知識(shí)基礎(chǔ)誠(chéng)然重要，沒有基礎(chǔ)肯定不行，但有了基礎(chǔ)也未必行。還有人說“必須多做題”。題一定是要做的，但搞題海戰(zhàn)術(shù)是不科學(xué)的，題做多了，會(huì)掉入“感性經(jīng)驗(yàn)解題”的陷阱——做題不是靠思考而是靠記憶。缺乏有效解題策略支持，盲目做題，不但負(fù)擔(dān)沉重，而且會(huì)造成思維僵化。筆者從事數(shù)學(xué)教學(xué)二十余年，總結(jié)出培養(yǎng)學(xué)生解題能力的兩大關(guān)鍵：一是培養(yǎng)其心理能力，即遇到難題時(shí)，不慌，不亂，不怕。二是培養(yǎng)其思維能力，即要形成有效的解題策略。筆者把培養(yǎng)這兩種關(guān)鍵能力的思想總結(jié)為“確定必可求”。筆者將結(jié)合思維可視化技術(shù)來分享這一數(shù)學(xué)解題思想在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用。

初中數(shù)學(xué)擔(dān)負(fù)著一個(gè)重要的使命——幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式（主要是思維方式）。由于小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)相對(duì)簡(jiǎn)單，不是特別強(qiáng)調(diào)深度理解，很多學(xué)生養(yǎng)成了死記硬背的學(xué)習(xí)習(xí)慣（背公式、背定理甚至是背題目），但到了初中，再依靠死記硬背顯然難以應(yīng)對(duì)變得復(fù)雜和抽象的數(shù)學(xué)題目，因此初中數(shù)學(xué)教師必須幫助學(xué)生轉(zhuǎn)變解題思維，即從“感性經(jīng)驗(yàn)答題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤袄硇运伎冀忸}”。但“理性思考”很抽象，不好理解，怎么辦？筆者認(rèn)為思維可視化是較好的選擇。因?yàn)椋軌驅(qū)⒉豢梢姷乃季S（思考方法和思考路徑）呈現(xiàn)出來，使其清晰可見，更易于理解。下面筆者就結(jié)合自己的教學(xué)實(shí)踐，談?wù)勅绾螌?shù)學(xué)解題策略的研究與思維可視化技術(shù)進(jìn)行有效整合，提高數(shù)學(xué)教學(xué)效能。

何為“確定必可求”的解題思想

一些相對(duì)復(fù)雜或綜合性的數(shù)學(xué)題目，由于條件較多，圖形復(fù)雜，學(xué)生做題時(shí)往往會(huì)心理慌亂，思維無序，解不出來。如果學(xué)生能夠熟練運(yùn)用“確定必可求”的解題思想，則能夠較輕松地應(yīng)對(duì)了。那么，到底什么是“確定必可求”呢？

要搞清這個(gè)思想，我們首先要理解“確定”這個(gè)概念（如圖1）。所謂“確定”即明確的、肯定的意思。在數(shù)學(xué)解題中，“確定”是指確定一個(gè)宏觀的解題對(duì)象。在幾何中，這個(gè)對(duì)象可能是一個(gè)確定的、具體的三角形、四邊形、圓形等圖形，我們稱之為“定形”。在代數(shù)中這個(gè)對(duì)象可能是一個(gè)確定的、具體的方程、函數(shù)等代數(shù)關(guān)系，我們稱之為“定性”。這里要強(qiáng)調(diào)的是它必須是一個(gè)確定的、具體的圖形或關(guān)系，而不是一個(gè)“類”的概念，如果是一個(gè)“類”的概念，就會(huì)存在著多種可能性，是無法解的。在初中數(shù)學(xué)題目中，所有的對(duì)象都是確定的、具體對(duì)象，所以才一定是可解的。

其次，還要知道如何“確定”？也就是說根據(jù)什么條件證明這個(gè)解題對(duì)象存在或成立呢？答案是“滿足這個(gè)對(duì)象存在的一切條件都可以”。接下來我們來了解“必可求”：哪些是必可求的呢？答案是“跟這個(gè)解題對(duì)象有關(guān)的一切未知條件都是必可求的”。用什么來求呢？并不是用題目中所給的那些條件直接求，如果能直接求的那就不是“難題”了。而是要用給的那些條件去“確定”解題對(duì)象，再根據(jù)解題對(duì)象所具有的特性去解決問題，這就是“確定必可求”。下面，我們舉例來說明。

例如，解一道有關(guān)三角形的證明題，首先要確定三角形的成立，用什么條件來確定呢？一般用全等思想（結(jié)合特殊圖形）來確定，既然能滿足與另外一個(gè)三角形全等的條件，那么這個(gè)三角形一定存在，若題干中給出了三條邊，那么就可根據(jù)“SSS”的全等思想來確定這個(gè)三角形；如果是特殊三角形，若條件給出了高和斜邊長(zhǎng)，那么就可根據(jù)“HL”來確定直角三角形。一旦確定了這個(gè)具體的三角形，那么此三角形的特性及相關(guān)要素就都是可求的，如三角形的邊長(zhǎng)、周長(zhǎng)、面積、角度、角平分線、高線、中線、中位線等都可求了。既然所有的都是可求的，那么要求的條件肯定在可求的之列，所以解題時(shí)只要按照“確定必可求”的思想先確定解題對(duì)象，然后再根據(jù)這個(gè)對(duì)象的特性去推導(dǎo)出要求的就可以了。

“確定必可求”的解題思想按照華東師大劉濯源教授提出的“六種思考方式”來分類屬于“轉(zhuǎn)化思維”，所謂轉(zhuǎn)化思維就是從具體到抽象，再?gòu)某橄舐涞骄唧w的思維過程。從哲學(xué)角度講，就是從個(gè)別到一般，再?gòu)囊话愕絺€(gè)別的思考過程。把這種思想運(yùn)用在數(shù)學(xué)解題中（如圖2），就是根據(jù)題干中所給出的條件A1、A2來確定A（也就是我們所說的解題對(duì)象），再根據(jù)A所具有的特性，推導(dǎo)出A3、A4、A5。這種思維模式在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)用非常廣泛，可以稱之為數(shù)學(xué)解題“第一思維”。

如何應(yīng)用“確定必可求”的解題思想

下面用一道初中數(shù)學(xué)綜合題（函數(shù)與三角形相結(jié)合）來舉例說明如何在具體的解題實(shí)踐中運(yùn)用“確定必可求”的解題思想。

例：如下頁(yè)圖3，已知，是一次函數(shù)的圖像和反比例函數(shù) 的圖像的兩個(gè)交點(diǎn)，求△的面積。

這道題的解題步驟比較繁雜，很多學(xué)生遇到這類題時(shí)要么感覺無從下手，要么就會(huì)思維混亂，亂中出錯(cuò)。但是按照“確定必可求”的思想并結(jié)合思維可視化中的魚骨圖（如圖4）來解題就容易多了。

解題魚骨圖由三部分構(gòu)成：中間脊骨為總問題及解題的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)；脊骨下方為策略分析過程，主要由“追問策略”來引導(dǎo)；脊骨上方為條件轉(zhuǎn)化（已知→未知）過程。如圖4所示本題的總目標(biāo)為求△AOB的面積，那么根據(jù)“確定必可求”的解題思想，只要確定了三角形，與其有關(guān)的其他未知都可求，包括它的面積。那么用什么條件來確定呢？這道題中顯然要用邊長(zhǎng)來確定，如何確定邊長(zhǎng)？確定A、B、C、O四點(diǎn)的坐標(biāo)即可，B點(diǎn)與O點(diǎn)的坐標(biāo)已知，那么三角形面積的問題則轉(zhuǎn)化為求A與C兩點(diǎn)坐標(biāo)的問題。如何求出A與C點(diǎn)的坐標(biāo)？由于A點(diǎn)為雙曲線上的一點(diǎn)，那么只要知道反比例函數(shù)的解析式即可求出，根據(jù)“確定必可求”的思想——一點(diǎn)確定雙曲線，已知B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出反比例函數(shù)解析式，進(jìn)而得出A點(diǎn)坐標(biāo)。C點(diǎn)為一次函數(shù)圖像與X軸交點(diǎn)，確定一次函數(shù)解析式即可求，根據(jù)“確定必可求”的思想——兩點(diǎn)確定一條直線，已知A與B點(diǎn)坐標(biāo)即可求出一次函數(shù)解析式，進(jìn)而求出C點(diǎn)坐標(biāo)。得知A、B、C、O四點(diǎn)坐標(biāo)可確定邊長(zhǎng)，進(jìn)而求出△AOB的面積。

或許你會(huì)覺得這樣做一道題太復(fù)雜，但是題不在多，而在于做透，做透的目的不僅僅是讓學(xué)生做會(huì)這道題，而是要讓學(xué)生掌握解這類題的有效思考策略。因此，以上看似復(fù)雜的分析過程是非常有價(jià)值的，按這種方式練習(xí)，時(shí)間長(zhǎng)了，這種思考策略就會(huì)被學(xué)生“內(nèi)化”，從而實(shí)現(xiàn)腦內(nèi)畫圖，那么這個(gè)解題過程就不用畫在紙上了，而是在學(xué)生大腦中快速呈現(xiàn)，進(jìn)而解題效率大大提高。