一道習(xí)題引發(fā)的思考

呂敏 夏俊

“統(tǒng)計(jì)與概率”的內(nèi)容在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》中作了較大調(diào)整，學(xué)習(xí)層次性更加明確，也更加強(qiáng)調(diào)了培養(yǎng)學(xué)生數(shù)據(jù)分析觀念的重要性。細(xì)細(xì)品味，該板塊內(nèi)容對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)能力的全面發(fā)展具有重要意義，它帶給學(xué)生應(yīng)對(duì)數(shù)據(jù)時(shí)的一種態(tài)度與策略，帶給學(xué)生一種更加寬廣的思考方式，而這一切都基于數(shù)據(jù)分析觀念的養(yǎng)成。

但是，在統(tǒng)計(jì)圖教學(xué)中又如何具體開展數(shù)據(jù)分析呢？在具體的課堂中學(xué)生分析數(shù)據(jù)的現(xiàn)狀又是怎樣呢？本文筆者通過對(duì)一道習(xí)題的深入分析、思考，總結(jié)數(shù)據(jù)分析觀念養(yǎng)成的具體策略與途徑。

一、習(xí)題呈現(xiàn)

四年級(jí)下學(xué)生在學(xué)習(xí)了“單式折線統(tǒng)計(jì)圖”后有這樣的一道習(xí)題。

下面是一種糖果幾年來各個(gè)月份的批發(fā)價(jià)統(tǒng)計(jì)情況。

問題：

（1）從統(tǒng)計(jì)圖中可以看出，（ ? ?）年（ ? ?）月的批發(fā)價(jià)最高，（ ? ?）年（ ? ?）月的批發(fā)價(jià)最低。

（2）從統(tǒng)計(jì)圖中，你還發(fā)現(xiàn)了哪些信息？

（3）如果你是超市經(jīng)理，2011年哪個(gè)月應(yīng)該多進(jìn)貨，為什么？

問題（1）學(xué)生的錯(cuò)誤率較低，答案也較統(tǒng)一。問題（2）（3）學(xué)生的解答可謂是五花八門，這也引引起了筆者的關(guān)注，現(xiàn)整理如下：

第（2）

小題 學(xué)生答案分類 詳述 百分比

直接看到的信息 只關(guān)注看到的信息 2009年4月和2011年6月批發(fā)價(jià)相同。

2009年12月與2008年2月一樣。

2008年4、6月批發(fā)價(jià)一樣。

2011年6月份的批發(fā)價(jià)是3元/千克 59.3%

經(jīng)過簡單推理得到的信息 關(guān)注數(shù)據(jù)的比較 2008～2011年最便宜和最昂貴的糖果的錢相差2.8元。

2008年批發(fā)價(jià)最高。

2008年糖果批發(fā)總價(jià)比2009、2010年的高。 15.3%

關(guān)注整體的變化 從2008年2月到2011年6月總體呈下降趨勢(shì)。

2008年12月到2009年6月下降得最快。 18.6%

其他 6.8%

第（3）小題 學(xué)生答案分類 詳述 百分比

預(yù)測(cè)或解釋根據(jù)不足 數(shù)據(jù)中蘊(yùn)含的信息未完全讀懂 12月，因12月每年批發(fā)價(jià)都很高。

12月，因?yàn)閺纳厦?008年、2009年和2010年的銷售量看12月都是銷售最多的。

因?yàn)閺纳厦娼y(tǒng)計(jì)圖來看，12月都是最多的。

2月，因批發(fā)價(jià)高，4月的話很快會(huì)跌下去。

因?yàn)?月賣的糖果多。 44.1%

不分析數(shù)據(jù)，單憑經(jīng)驗(yàn) 2011年12月份應(yīng)該多進(jìn)貨，因?yàn)?2月份正好要過年了，所以買糖的人會(huì)很多。 22.0%

在理解數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上的預(yù)測(cè) 觀察、比較，但以生活經(jīng)驗(yàn)為主 2011年6月應(yīng)該多進(jìn)貨，因?yàn)樘枪@個(gè)月批發(fā)價(jià)比前兩個(gè)月便宜。

6月應(yīng)該多進(jìn)貨，因?yàn)橘I的人最多。

因?yàn)?月份的時(shí)候價(jià)格便宜。

因?yàn)槟菚r(shí)糖果價(jià)最便宜，而且6月有兒童節(jié)，很多小朋友會(huì)去買。 15.3%

通過觀察、比較、分析后的預(yù)測(cè) 10月，因?yàn)?0月批發(fā)價(jià)在一年中是最便宜的。

10月，每年的10月糖果價(jià)是最低的。 18.6%

二、追蹤成因

針對(duì)第（2）小題，在發(fā)現(xiàn)信息的過程中，學(xué)生的回答其實(shí)都無關(guān)對(duì)錯(cuò)，這是由統(tǒng)計(jì)教學(xué)中問題的開放性決定的，學(xué)生切入點(diǎn)的不一致直接產(chǎn)生多樣化的觀察結(jié)果。

細(xì)細(xì)思考學(xué)生選取的“切入點(diǎn)”，我們能大致發(fā)現(xiàn)學(xué)生觀察的結(jié)果可分為三大類，即“只關(guān)注看到的信息”“關(guān)注數(shù)據(jù)的比較”“關(guān)注整體的變化”，其中關(guān)注直接看到的信息的同學(xué)占了大多數(shù)（59.3%）。經(jīng)訪談，筆者驚訝地發(fā)現(xiàn)，很多學(xué)生針對(duì)“發(fā)現(xiàn)了哪些信息”這個(gè)問題時(shí)，長期以來視野比較狹窄，有相當(dāng)部分的學(xué)生從未想到過要從“數(shù)據(jù)的比較”和“數(shù)據(jù)的整體變化情況”這樣的角度去看待數(shù)據(jù)。

“統(tǒng)計(jì)與概率”教學(xué)幾乎每一學(xué)年都有，從最初的象形統(tǒng)計(jì)圖，到條形統(tǒng)計(jì)圖，再到折線統(tǒng)計(jì)圖、扇形統(tǒng)計(jì)圖，為什么還有這么多學(xué)生在得到信息時(shí)只能讀出統(tǒng)計(jì)圖中直接看到的信息呢？

我們不妨從學(xué)生的思維特征角度來進(jìn)行分析。學(xué)生在分析數(shù)據(jù)的過程中，對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)識(shí)層次差異其實(shí)比較大，大致可以分成如圖三個(gè)層次。

作為讀圖的最基礎(chǔ)層次，學(xué)生能反饋“看得見”的信息，當(dāng)學(xué)生能積極思考經(jīng)簡單推理得到的信息，能進(jìn)行數(shù)據(jù)的比較和數(shù)據(jù)的整體變化的判斷時(shí)，學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖就有高一層次的認(rèn)識(shí)了，當(dāng)學(xué)生能對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行進(jìn)一步分析，并運(yùn)用其去思考、去解釋、去判斷時(shí)，學(xué)生對(duì)統(tǒng)計(jì)圖的認(rèn)知就更進(jìn)一步了！

分析第（3）小題，其中有66.1%的學(xué)生所作出的預(yù)測(cè)或解釋根據(jù)不足，過多的數(shù)據(jù)使學(xué)生在觀察時(shí)更傾向于局部而不是整體。學(xué)生對(duì)某些點(diǎn)所表示確定意義的理解要遠(yuǎn)遠(yuǎn)強(qiáng)于對(duì)數(shù)據(jù)整體的判斷。同時(shí)，竟有44.1%的學(xué)生對(duì)“批發(fā)價(jià)”不理解，“批發(fā)”這種在生活中司空見慣的事情，學(xué)生卻不甚了解。究其原因，學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上不曾經(jīng)歷過，沒有直觀體驗(yàn)才是問題的關(guān)鍵。學(xué)生在解決大數(shù)據(jù)問題時(shí)的態(tài)度與方法并不是一蹴而就能學(xué)到的，關(guān)鍵是在長期的教學(xué)中，教師是否關(guān)注到學(xué)生對(duì)過程的參與、整理和思考。

分析中還隱隱暴露出學(xué)生存在的一個(gè)問題：過于依賴已有經(jīng)驗(yàn)?！敖y(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)中的不確定性并不是完全由個(gè)人經(jīng)驗(yàn)不同而帶來的。教學(xué)實(shí)踐中，在改造學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)方面，我們的關(guān)注度還是太低！上述所有問題似乎都指向我們的課堂，那么教師在課堂教學(xué)中具體該如何發(fā)展學(xué)生的讀圖能力、培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)據(jù)分析觀念呢？筆者有以下幾點(diǎn)建議。

三、教學(xué)建議

（一）教師應(yīng)幫助學(xué)生靈活運(yùn)用“定量刻畫”與“定性推斷”

“定量刻畫”是指學(xué)生在面對(duì)統(tǒng)計(jì)圖時(shí)對(duì)其中的具體值、點(diǎn)、所占大小的理解，包括數(shù)據(jù)的比較（多少、倍數(shù)、百分比等）和數(shù)據(jù)的整體變化的判斷（最大、最小、變化情況等）?！岸ㄐ酝茢唷笔侵笇?duì)柱形的高低比較、線的走勢(shì)、百分比的意義等的大致感受與答題判斷。當(dāng)“定量刻畫”積累到一定程度時(shí)，為了促進(jìn)量變向質(zhì)變的轉(zhuǎn)化，教師應(yīng)該及時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，幫助、鼓勵(lì)學(xué)生有依據(jù)地作定性推斷。值得一提的是，學(xué)生們?cè)趧偨佑|統(tǒng)計(jì)與概率的知識(shí)時(shí)也主要是一些大致感受的判斷，這與本文所說的“定性推斷”的重大區(qū)別就在于是否建立在分析數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，或者說是否建立在“定量刻畫”的基礎(chǔ)上。定量刻畫與定性推斷兩者是相互影響、相輔相成的！

【教學(xué)案例一】

1.出示湖州市某日氣溫統(tǒng)計(jì)表。

時(shí)間（h） 4 8 12 16 20 24

氣溫（℃） 15 18 31 27 19 17

從統(tǒng)計(jì)表中你能看出是統(tǒng)計(jì)什么嗎？

師小結(jié)：怎樣讓信息看起來更加直觀？（根據(jù)統(tǒng)計(jì)表能畫出統(tǒng)計(jì)圖）

2.出示折線統(tǒng)計(jì)圖。

①你見過這樣的統(tǒng)計(jì)圖嗎？（揭題：折線統(tǒng)計(jì)圖）

②你想掌握什么內(nèi)容？（為什么叫折線統(tǒng)計(jì)圖、怎么畫、作用）

3.整體感知折線統(tǒng)計(jì)圖。

①關(guān)注線。（隱去每個(gè)氣溫?cái)?shù)據(jù)）從這條線上你看懂了什么？你是怎么看出來的？（線—溫度的變化：上升→增加，下降→減少）從幾點(diǎn)到幾點(diǎn)氣溫上升？從幾點(diǎn)到幾點(diǎn)氣溫下降？

②關(guān)注點(diǎn)。（局部突出）除了從線上看出氣溫在上升，還能從什么角度看出氣溫在上升？這些點(diǎn)分別表示什么？

③你還能說出哪個(gè)點(diǎn)的意思？（根據(jù)學(xué)生的回答將點(diǎn)完整標(biāo)注在折線統(tǒng)計(jì)圖上）

師小結(jié)：點(diǎn)和線是折線統(tǒng)計(jì)圖最基本的組成部分。

該材料在運(yùn)用的過程中，從學(xué)生熟悉的氣溫入手，溫度的變化趨勢(shì)有升有降，更完整地展示出溫度變化的“全貌”， 讓學(xué)生“有話可說”。相比傳統(tǒng)教學(xué)一般從條形統(tǒng)計(jì)圖入手，這個(gè)教學(xué)案例更多地是在整體感知與具體把握上花功夫，即運(yùn)用“定量刻畫”“定性判斷”來幫助學(xué)生直觀、形象地認(rèn)識(shí)折線統(tǒng)計(jì)圖中點(diǎn)與線的意義。在應(yīng)用過程中，通過問題引導(dǎo)，學(xué)生關(guān)注到增減的快慢，通過對(duì)“所占格子的多少、數(shù)據(jù)相差程度、線的長度、傾斜的情況”的思考，加深學(xué)生對(duì)折線統(tǒng)計(jì)圖中“線和點(diǎn)”的認(rèn)識(shí)，并學(xué)習(xí)如何運(yùn)用數(shù)據(jù)作出合理判斷。這樣的思考方式能促使學(xué)生逐步形成更加全面的數(shù)據(jù)分析策略與方法。

（二）教師應(yīng)幫助學(xué)生學(xué)會(huì)分析數(shù)據(jù)的大勢(shì)（求同），同時(shí)注意特殊數(shù)據(jù)的分析（存異）

身處這個(gè)時(shí)代，教師應(yīng)該有一個(gè)清醒的認(rèn)識(shí)：這個(gè)大數(shù)據(jù)時(shí)代充斥著海量、零碎的信息，但正是基于對(duì)這些數(shù)據(jù)的處理所產(chǎn)生的規(guī)律性使得我們的生活可以有一定的預(yù)判，每一個(gè)零散數(shù)據(jù)又顯得如此重要?；氐叫W(xué)數(shù)學(xué)課堂里，這就是我們所說的隨機(jī)性。當(dāng)我們帶領(lǐng)學(xué)生分析大量數(shù)據(jù)時(shí)所呈現(xiàn)出來的大勢(shì)可以看出規(guī)律性，因此隨機(jī)性并不是毫無規(guī)律可循，同時(shí)，我們也應(yīng)該讓學(xué)生充分感受到確實(shí)存在個(gè)別數(shù)據(jù)可能嚴(yán)重偏離預(yù)期，但不會(huì)影響對(duì)整體的判斷。

這是對(duì)學(xué)生已有經(jīng)驗(yàn)（事物是確定的）的一次重大改造，具體來說也是發(fā)展學(xué)生更高層次的讀圖能力的一個(gè)方面！

【教學(xué)案例二】

第24屆～第29屆奧運(yùn)會(huì)中國獲金牌數(shù)統(tǒng)計(jì)表

屆數(shù) 24 25 26 27 28 29

金牌數(shù)（枚） 5 16 16 28 32 51

1.繪制成折線統(tǒng)計(jì)圖。

①你準(zhǔn)備怎么畫？

② 28屆、29屆的金牌數(shù)換一下行不行？

師小結(jié)：原來橫軸上的時(shí)間是按順序排列的，所以我們也應(yīng)按順序連！

2.合理預(yù)測(cè)，體會(huì)數(shù)據(jù)的隨機(jī)性。

①從這幅統(tǒng)計(jì)圖上你獲得了哪些信息？

②哪兩屆獲金牌數(shù)增長得最快？你是怎么看出來的？

③請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下第30屆奧運(yùn)會(huì)中國有幾枚金牌？（猜→出示第30屆倫敦奧運(yùn)會(huì)中國得金牌38枚、出示第29屆北京奧運(yùn)會(huì)中國得金牌51枚）是不是體育水平在下降？

④請(qǐng)你預(yù)測(cè)一下第31屆巴西奧運(yùn)會(huì)中國有幾枚金牌？

師小結(jié)：根據(jù)折線統(tǒng)計(jì)圖，我們能清楚地看出金牌數(shù)的變化趨勢(shì)，還能作出一定的預(yù)測(cè)，但是預(yù)測(cè)的結(jié)果是不確定的。

在分析數(shù)據(jù)的過程中，當(dāng)學(xué)生的思考是建立在分析基礎(chǔ)上時(shí)，結(jié)果就相對(duì)合理。先猜測(cè)第30屆奧運(yùn)會(huì)的情況（其實(shí)就是倫敦奧運(yùn)會(huì)，已發(fā)生），然后出示比賽結(jié)果，對(duì)比北京奧運(yùn)會(huì)，讓學(xué)生感受到數(shù)據(jù)是不確定的，然后讓學(xué)生猜測(cè)第31屆奧運(yùn)會(huì)的情況。學(xué)生對(duì)數(shù)據(jù)變化的猜想經(jīng)歷了隨意—慎重的過程，步步為營的猜想又促進(jìn)了學(xué)生的思考，學(xué)生自覺地對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行簡單分析，學(xué)生的猜測(cè)也更有根據(jù)！

總而言之，我們所說的數(shù)據(jù)分析觀念是有一定的維度的，反映在課堂上，教師應(yīng)有更加全面的認(rèn)識(shí)，努力促使學(xué)生的讀圖能力向更高層次水平發(fā)展，同時(shí)我們也應(yīng)清楚：了解現(xiàn)實(shí)問題應(yīng)當(dāng)先做調(diào)查研究，搜集數(shù)據(jù)，這雖不是本文的重點(diǎn)，但它是統(tǒng)計(jì)開始的地方，這個(gè)過程亦是相當(dāng)重要！

（浙江省湖州市長興縣李家巷鎮(zhèn)中心小學(xué) ? 313102

浙江省湖州市湖師附小教育集團(tuán) ? 313000）