返璞歸真 正本清源

張奠宙

杭州師大戎松魁先生來信，邀我看一下小學數(shù)學教材中“比”的定義和例題。信中寫道：

在人教版小學實驗教科書《數(shù)學》六年級上冊第43頁上，以我國“神舟五號”順利升空為載體，對“比”和“比值”的意義作了這樣的描述：“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”“比的前項除以后項所得的商叫作比值”“比值通常用分數(shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示?！痹?014年7月出版的人教版義務(wù)教育教科書《數(shù)學》六年級上冊第48頁上引進“比”和“比值”的概念時，內(nèi)容基本不變，就是把“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”這句話改為了“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”。而在與課本配套的《教師教學用書》第86頁上指出：“教師還可以指出，兩個同類量的比表示這兩個量之間的倍數(shù)關(guān)系，兩個不同類量的比可以表示一個新的量。如‘路程比時間’又表示速度。”

實驗教科書和2014版教科書引進“比”的例子相同，其一都是用航天員展示的國旗長15厘米，寬10厘米，長和寬的比是15比10，可記作15∶10，15∶10=15÷10=，就是比值。其二是“神舟五號”平均90分鐘繞地球一周，大約運行42252km，指出“路程和時間的比是42252比90”。

根據(jù)教科書的例題看，比值是不帶計量單位名稱的，這里路程和時間的比值應該是42252÷90=（或469.46）。

從教科書和配套的《教師教學用書》引出值得我們思考的幾個問題。

1.在小學數(shù)學教學中應該怎樣引出“比”和“比值”的概念？“比”究竟是“兩個數(shù)的比”還是“兩個量的比”，或者兩者都可以？

2.“神舟五號”繞地球一周運行的路程和時間的比是42252比90，那么根據(jù)教材中“比值”的定義，它們的比值應該是42252÷90=（或469.46）。而根據(jù)《教師教學用書》所言，“兩個不同類量的比可以表示一個新的量”。那么該例中比值要不要寫成千米/分？能不能寫成千米/分？

3. 在小學數(shù)學教材中是否有必要引進不同類量的 “比”和“比值”的概念？

信中提到的把“比”等同于除法的信息，令人驚訝。恰巧接信不久，又蒙某教材編輯寄來2014年修改的教材一套。于是連同網(wǎng)上下載的舊版，看到了“比的認識”一節(jié)的修改過程。

圖1

圖2

某教材的較早版本在編排“比的認識”一課時，曾用獲勝場次的多少加以比較（圖2）。顯然這不屬于“比”的例子。原以為編者想用此例區(qū)別一般的排名和“比”的概念有別，可是教材未置一詞（新版則刪去了，頗為可惜）。接著就是路程除以時間得速度，總價除以數(shù)量得單價的不同類量的相除。這本來是一類標準的除法題目，教材卻不加說明地拿來當作“比”的概念的引例。那么有了除法為什么還要引進“比”？沒有任何解釋。在隨后的兩頁中，倒是研究了同類量之比，矩形的放大與縮小，樹和影子的長度。尤其是甘蔗汁和水的配比，極具“比”的意義。但是教材卻偏偏不說這些例子和“比”有什么關(guān)系。這樣一來，教材就成了讓人費猜的謎語。

新版教材使用照片長、寬比值不同而引起人像變形的童趣例子，這本來可以引向比的意義?？墒墙滩膮s突然說“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”。（圖1）

閱讀之后，不覺陷入沉思。

隨手打開《辭?！?，看到“比”的條目這樣寫著：

“比較兩個同類量的關(guān)系時，如果以 b為單位來度量a，稱為a比b，所得的k值稱為比值”。

這大概是“比”的老式定義。新潮的小學數(shù)學教材已經(jīng)將之廢除，直接把兩數(shù)之“比”說成就是兩數(shù)相除了。其目的不過是要學生記?。罕戎皇浅ǖ牧硪环N說法而已，并沒有新的內(nèi)容。這樣的“改革”，究竟是進步，還是倒退？沒頭沒腦地將除法說成就是比，把“比”當作除法的附庸，該如何落實知識發(fā)生的過程性目標？既然要貫徹“四基”，那么“比”的基本數(shù)學思想方法何在？返璞歸真，正本清源，是數(shù)學教學的一項基本原理。稍微想想就可以知道，《辭海》的定義重在揭示“比和比值”概念的內(nèi)涵，而新潮教材則回避了“比”的本質(zhì)，僅僅是描述了“比”的外殼而已。

讓我們作進一步的分析。

顧名思義，學生看到“比”，第一個聯(lián)想到的詞就是“比較”?！掇o?！丰屃x中，首先提到的也是“比較”兩字。對六年級的學生而言，關(guān)于如何比較兩個量的大小，已經(jīng)學過兩種方法。

第一種方法是比較兩數(shù)的差距關(guān)系。如果a比b大，用減法就可以知道差距是a – b。在日常語境中我們常說：

（1）小明“比”小華高2厘米;

（2）甲、乙兩隊籃球比賽的結(jié)果是100 比99，乙隊以一分之差輸了;

（3）中國乒乓球隊以3比0 完勝對手。

（4）比較勝利場次排名次。

這里都用到“比”這個詞。但只是比較差距，而差距用減法可求得。這是a與b之間的“差關(guān)系”。

第二種方法是比較兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系。對a，b兩正數(shù)，若a>b， 那么a÷b = k >1; 如果a

（1）姚明“比”我高，他的身高是我身高的1.5倍;

（2）我比小胖的體重輕，我的體重只是他的0.8倍。

這就是說，“比”這一概念的本源是“比較”。用倍數(shù)比較大小，表明a與b之間存在著“比關(guān)系”。本單元要學習的就是這第二種方法的比較。

現(xiàn)在，我們可以給“比”下一個比較合理的定義了。

“兩個量a，b，如果以b為單位去衡量a，稱a和b之間有關(guān)系a比b，記作a∶b。 a÷b = k 稱為比值”。

通過以下的例子，可以不斷強化“比”的本源意義。

例1.做面包時，用三杯面粉加一杯水。面粉體積和水體積是3比1，記作3∶1。比值是 3÷1=3。

例2.用1杯純甘蔗汁加5杯水兌成甘蔗飲料。甘蔗汁和水的數(shù)量是1比5，記作1∶5。比值是 1÷5=。

例3.在某時刻，以樹影子長度衡量樹的高度，形成2比1的關(guān)系，記為2∶1.比值是 2÷1 = 2。（如圖3）

圖3

例4. 一個矩形的長度a 和寬度b，形成a比b的關(guān)系。如果比值a÷b=k >1， 那么矩形是扁平狀的。如果 k< 1，則矩形是豎條狀的，若k=1，矩形是正方形。（如圖4所示放置）

圖4

對于上述“比”的定義，我們再作一些進一步的解釋。

（一） “比”是一種數(shù)量關(guān)系?！氨取辈皇浅ㄟ\算，只是在求比值時才要用除法

“比”在《辭?！范x中明確提到a與b之間是一種關(guān)系。“維珍百科”里，對英文ratio的解釋中，也說“比”是一種關(guān)系（relationship）。實際上，“比”有時候只是描述了兩個量之間的一種狀態(tài)，一種對比。說兩個同類量a與b 之間存在著比的關(guān)系，可以先求出比值，也可以不必求比值。如例1中，做面包時3杯面粉要用1杯水調(diào)和，我們就直接說面粉與水的用量是“3比1”，寫成3 ∶1?，F(xiàn)實中直接照此操作就是了，并非一定要先用除法去計算其比值為3之后再來說二者之比。

換句話說，比，只是在求比值時才是除法。3∶2 可以只是一種狀態(tài)，3÷2 則是一種運算，二者在意義上不一樣。

（二） “比”是為比例做準備，并可以擴展為一種變量之間的正比例函數(shù)關(guān)系。這種比例關(guān)系，其含義遠超“除法”

例如，某教材中樹高和它影子的關(guān)系，就可以看作是一個正比例的函數(shù)關(guān)系。事實上，在固定的時刻，樹高x決定了影子的長度y; 不同高度的樹，其影子長度都是樹高的k倍，形成 y = kx 的函數(shù)關(guān)系。這就是說，小學里“比”的學習，不等于重學一遍除法。比的概念，還要進一步發(fā)展為四個量的比例關(guān)系，并為將來學習正比例函數(shù)做準備。這種函數(shù)對應思想，較之除法的意蘊要深刻得多。

當然，并非所有的“比關(guān)系”都可以擴展為函數(shù)關(guān)系。例如本班的男生數(shù)和女生數(shù)恰好相等，形成1比1的關(guān)系。但是，別的班級未必如此，我們不能說任何班級的男生和女生的人數(shù)都相等。

（三）“比”原本是同類量的比較關(guān)系，但是也可以推廣到不是“同類量”的情形。不過，同類量之比是“源”，不同類量之比只是“流”

《辭?！范x規(guī)定，只有同類量才能作“比”。我們在上述定義中，沒有這樣限制。事實上，日常生活里有許多對“非同類量”進行比較的事例。例如，為了鼓勵回收易拉罐，規(guī)定10只易拉罐，可以換100克糖果。易拉罐的個數(shù)，與糖果的重量，不是同類量，但我們也會說，易拉罐和糖果之比是10個∶100克。又如我們看到一則廣告說，買某牌子牙膏3支，奉送牙刷2把。“牙膏支數(shù)”和“牙刷把數(shù)”不是同類量，但也會說購買的牙膏數(shù)與贈送的牙刷數(shù)是3比2。

由于不同類量之間，不能說“倍數(shù)”，所以這個定義里只用了“以b為單位去衡量a”的說法。

但是，比的概念的源頭畢竟是同類量的比較。不同類量的比乃是流，是派生、引申出來的。區(qū)別源流，分清主次，是概念教學的要義。在倡導“過程性”教學目標的今天，更顯示出正本清源的重要性。

（四） 不同類量的比，不宜作為“比”的主要情景引入

我們注意到，人教社的教材中，引出“比”的主要例子之一是一個不同類量之比：

“神舟五號”平均90分鐘繞地球一周，大約運行42252km。于是指出“路程和時間的比是42252比90”。

這樣做，未免失當。如上所述，“比”的本質(zhì)是“比較”關(guān)系，一個除法問題難以覆蓋“比”的內(nèi)在含義。路程除以時間等于速度，明明是一個計算運轉(zhuǎn)速度的除法問題，并沒有比較路程與時間大小的含義在內(nèi)。用不同類量作為主要引例，顛倒了源流關(guān)系，增加了學生的理解困難。此外，對于比的理解，先要從兩個簡單的整數(shù)之比說起。例如面粉和水之比為3比1之類?，F(xiàn)在一下子出現(xiàn)42252這樣大的一個數(shù)，分散了學生對“比”的意義的注意力。

至于某教材里問“哪種蘋果最便宜”的例子，給出了三種總價和數(shù)量，然后計算三種單價，再比較這些單價得出“最便宜”的答案（這里的比較和“比”無關(guān)，學生容易混淆）。編者的意圖是要學生說出單價是總價與數(shù)量之比。但是這明明就是一個典型的除法情景，日常生活中總是說“總價除以數(shù)量為單價”。這里生硬地把除法說成是“比”，對學生理解“比”的概念不但沒有益處，反而會產(chǎn)生干擾。

（五）同類量的比值沒有量綱，不同類量的比值一定會有量綱

同類量之比，其比值是無量綱的。例如長度（4厘米）比寬度（2厘米），相除以后，單位（厘米）約去，比值是無量綱的數(shù)2。但是不同類量之比，比的前后項里的量綱不能約去。作為“量”而言，兩個量之比一定是有量綱的。路程（米）比時間（秒）得到速度，其量綱是米/秒，不能省略。人教版說“神舟五號”繞地球一周運行的路程和時間的比是42252比90。這樣，按教材中“比值”的定義就得出二者的比值是42252÷90=（或469.46），那是不正確的。有人會辯白說那只是“兩個數(shù)之比”。確實，任何“數(shù)”都是無量綱的，例如，有理數(shù)是兩個整數(shù)之比。但是，量和數(shù)不能混為一談?！吧裰畚逄枴边\行的距離和時間都是具體的量，具有清晰的速度量綱，不能隨意抹去。

（六）把“兩個數(shù)相除，又叫作兩個數(shù)的比”作為“比”的定義，乃是舍本逐末

比的概念，有一個發(fā)展過程。最先是同類量的簡單倍數(shù)比較，如甘蔗飲料的配比1∶5。 然后是同類量的復雜比，如樹高與其影長之比，具有函數(shù)對應的背景。再次是不同類量的比較，具有量綱，如速度。最后，則是從“量”到“數(shù)”，引出兩個無量綱的數(shù)的比。

這就是說，直接把“兩個同類量之比”定義為“兩個數(shù)相除”，就跳過了許多步驟，抽去了“比”的概念發(fā)生過程，把引申出來的最邊遠結(jié)論當作了概念的本源，不啻是一種本末倒置的做法。

“比值”的計算固然要用到除法，但是“比”不等于除法。比有比的意義，除法有除法的用途。如前所述，比，可以只是兩個量之間的一種比較關(guān)系，一種對應，一種狀態(tài)，可以不必凸顯“除法”。另一方面，除法的用途很廣，可以離開“比較”的本意很遠。例如，假定數(shù)學和語文的成績分別是92 和90，那么它們的平均成績是91。這里只用除法的意義，無須想到這是兩科總成績與2之間的一種比較。

這里，我們不妨以周樹人和魯迅的關(guān)系，對“比和除法”作一個比方。周樹人和魯迅確是同一個人，但是含義不同。周樹人是出生于19世紀末紹興周家的自然人和社會人，魯迅則是一個20世紀的文學家和思想家。周樹人是本源，魯迅是后來派生出來的。如果在解釋“周樹人”時只寫一句“周樹人即魯迅”就算完事，豈不是以偏概全，違反常識了？

通過以上的分析，對于戎老師提出的三個問題，已經(jīng)發(fā)表了我的看法。下面是關(guān)于“比的認識”一節(jié)教材若干設(shè)計建議。小學教材用上述方式定義“比”的概念，固然也是一種選擇，但是也可以將同類量之比和不同類量之比分別陳述。

第一段 ? ?“比較”

給出兩個量，如何比較大??？

例1.籃球賽 55比50 差距5分。排球賽 3比0。

（用加減法比較差距，以前學過）

例2.一樣大小的六個紅色方塊，三個藍色方塊。紅色方塊比藍色方塊多，6是3的2倍。稱為6比3，記作6∶3;藍色方塊少，只是紅色方塊的倍。稱為3比6，記作3∶6。

（今天要學的“比”是要用除法所得倍數(shù)來比較大小或多少等，和例1不同）

例3.做米飯合理的配比是4杯米要用2杯水。我們說米和水的用量是4比2，記作4∶2。

（生活化的術(shù)語，不涉及比值與除法）

第二段 ? ?比的定義

國旗的長、寬比。

從某產(chǎn)品目錄中看到國旗尺寸分6種規(guī)格，長與寬分別為（單位：毫米）：

1號，2880 ，1920;

2號，2400 ，1600;

3號，1920 ，1280;

4號，1440 ，960;

5號， 960， 640;

6號， 660， 440。

以寬度為單位，求出長度是寬度的幾倍？這些國旗的長、寬尺寸都不相同，但每種規(guī)格的國旗長都是寬的1.5倍。 由此給出比的定義：

“兩個同類量a，b，若以a是b的倍數(shù)k來比較它們的大小，稱為a比b ，記為a：b。數(shù) a÷b =k稱為a與b的比值。比值k就是a除以b 的商?！?/p>

（這里先要求“同類量”， 突出“比較”的本意，陳述一種狀態(tài)，但最后歸結(jié)為除法。為下一步具有廣泛應用的“比例”打基礎(chǔ)，數(shù)是量的抽象表示，兩個數(shù)相除稱為兩個數(shù)之比，是自然的結(jié)論）

第三段 ? ?比的練習

繼續(xù)舉例，并練習。

（1）本班男生人數(shù)和女生人數(shù)的比;

（2）糖水中糖與水重量的配比;

（3）食物的配比;

（4） 農(nóng)藥的配比;

（5） 樹高與其影長之比;

（6） ?增加同比與環(huán)比內(nèi)容。某廠月生產(chǎn)量的同比與環(huán)比。如某校每年5月和10月，都要捐書給希望小學。今年10月同比于去年10月，環(huán)比于今年5月。

（不斷強調(diào)“比”的意義，突出“除法”之外的特定內(nèi)涵）

第四段 ? ?不同類量之比

“兩個不同類的量a，b，雖然彼此沒有倍數(shù)關(guān)系，如果以b為單位衡量a，即考察a÷b，我們也把它叫作a比b，記為a ∶b。”

（1）某商店賣牙膏規(guī)定：顧客每買三支牙膏送一把牙刷。購買商品與贈品之比為3支∶1把，比值為3支/把;

（2）路程÷時間 = 速度。我們也說速度是路程與時間之比。如劉翔打破110米欄世界紀錄的速度 。

（作為小學教材，把同類量和不同類量之比分開來敘述，眉目清楚）

小學教育是基礎(chǔ)教育，小學數(shù)學教材應有助于學生理解基本數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)。比的概念，作為小學生數(shù)學素質(zhì)的重要一環(huán)，有其特定的內(nèi)涵。教材設(shè)計，應該緊扣“比較”的本意加以理解和生成，力求返璞歸真，正本清源，循序漸進，平易近人。

（華東師范大學數(shù)學系 ? 200241）