鹽巖非線性Burgers 模型及其參數(shù)識別

王軍保 ，劉新榮 ，楊欣，黃明

(1. 西安建筑科技大學(xué) 土木工程學(xué)院，陜西 西安，710055；2. 重慶大學(xué) 土木工程學(xué)院，重慶，400045；3. 福州大學(xué) 土木工程學(xué)院，福建 福州，350108)

鹽巖是一種特殊的軟巖，具有結(jié)構(gòu)致密、孔隙度低、滲透性低、力學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定、蠕變性良好和損傷自恢復(fù)能力強(qiáng)等諸多優(yōu)點(diǎn)，被公認(rèn)為是能源(石油、天然氣)地下儲存和放射性廢棄物地下處置的理想介質(zhì)[1]。蠕變特性作為鹽巖最為重要的力學(xué)性質(zhì)之一，是影響鹽巖地下儲存庫長期穩(wěn)定性、安全性以及可用性的關(guān)鍵因素：因此，對鹽巖蠕變特性進(jìn)行研究尤為重要。由于鹽巖在能源地下儲存方面的重要地位，近年來國內(nèi)外學(xué)者對鹽巖蠕變本構(gòu)關(guān)系進(jìn)行了較多研究，提出了多種蠕變模型[1-9]。但總體上，這些模型可以分為以下三大類[10]：經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ?、唯象模型和元件組合模型。從整個巖石力學(xué)流變領(lǐng)域來看，元件組合模型由于本構(gòu)方程形式簡單，模型及其參數(shù)物理意義明確，且能夠把巖石復(fù)雜的力學(xué)性質(zhì)直觀地表現(xiàn)出來，因而應(yīng)用較為廣泛。但傳統(tǒng)的元件組合模型是一種線性模型，無法描述巖石蠕變的非線性特征。為了克服這一不足，一種有效的方法就是采用非線性流變元件代替常規(guī)線性流變元件，并據(jù)此建立巖石蠕變模型。熊良宵等[11]提出了一個可以描述巖石非線性黏彈性流變特征的黏滯體，將該非線性黏滯體替換Burgers 模型中的線性黏滯體，得到了非定常 Burgers 模型。黃明等[12]提出了一種修正Kelvin 模型，并將該模型與黏滯體、彈性體進(jìn)行串聯(lián)建立了可描述巖石非線性蠕變特性的修正Burgers 模型?？涤绖偟萚13]為了描述巖石蠕變?nèi)^程，用非定常黏滯體替換Burgers 模型中的定常黏滯體，給出了一種非定常Burgers 模型。Steipi 等[14]將西原模型中的黏塑性參數(shù)描述為黏塑性應(yīng)變的函數(shù)，提出了改進(jìn)的西原模型。蔣昱州等[15]提出了一個變系數(shù)的黏滯體，建立了新的巖石非線性黏彈塑性全過程蠕變模型。楊文東等[16]構(gòu)建了由彈性體、村山體、非線性黏塑性體串聯(lián)而成的非線性黏彈塑性流變模型，該模型可以描述巖石流變的加速階段。曹平等[17]定義應(yīng)力與試件長期強(qiáng)度的比值為加速蠕變速率冪級數(shù)n，模型發(fā)生加速蠕變時的總?cè)渥兞繛槿渥兲卣鏖L度 εc，進(jìn)而建立了能夠描述巖石加速蠕變的力學(xué)模型。以往對于巖石非線性蠕變模型的研究大多是針對巖石加速蠕變階段展開的，而巖石特別是鹽巖，在前2 個蠕變階段也存在非線性特征，且在圍壓作用下，鹽巖加速蠕變并不容易出現(xiàn)[1]?；诖?，本文作者結(jié)合非線性流變力學(xué)理論，對常規(guī)黏滯體元件進(jìn)行改進(jìn)，提出一種變系數(shù)非線性黏滯體，然后通過將該非線性黏滯體替換常規(guī)Burgers 模型中的線性黏滯體，建立一種非線性Burgers 模型即NBurgers 模型，并利用鹽巖三軸壓縮蠕變試驗(yàn)結(jié)果對NBurgers 模型參數(shù)進(jìn)行反演識別，以驗(yàn)證模型的適用性。

1 非線性黏滯體的提出及其特性分析

傳統(tǒng)的元件組合模型通常無法反映巖石蠕變的非線性特征，這是因?yàn)檫@類模型將黏性元件假定為理想的牛頓流體，認(rèn)為其黏性系數(shù)是固定不變的常數(shù)的緣故[15]。近年來，隨著人們對巖石非線性蠕變特征的逐步研究和認(rèn)識，發(fā)現(xiàn)這一假定不夠準(zhǔn)確，巖石材料的黏滯系數(shù)在蠕變過程中是不斷發(fā)生變化的。陳文玲等[18]通過對巖石蠕變過程的分析，指出當(dāng)施加的荷載為中高應(yīng)力水平但未達(dá)到巖石破壞應(yīng)力時，巖石蠕變僅出現(xiàn)前2 個階段，即衰減蠕變階段和穩(wěn)態(tài)蠕變階段，此時，黏滯系數(shù)隨著時間增加而逐漸增大，并最終達(dá)到一個穩(wěn)定值后不再變化。

受此啟發(fā)，為了更好地描述鹽巖的非線性蠕變特征，本文提出一個變系數(shù)的非線性黏滯體，其本構(gòu)關(guān)系如下：

式中：σ 為應(yīng)力；dε/dt為應(yīng)變速率；t 為時間；m 為非線性系數(shù)；η0為黏滯系數(shù)的最大值。

從式(1)可以看出該黏滯體的黏滯系數(shù)隨時間增加不斷發(fā)生變化，且其變化規(guī)律符合下式：

下面對式(2)函數(shù)特點(diǎn)進(jìn)行分析。

當(dāng)t=0 時，

即 η (t)初始值不為0。

將式(2)對時間求導(dǎo)數(shù)并整理，可得

說明η (t)單調(diào)遞增。

將式(2)變形可得

由式(5)可知：當(dāng)t→∞時，η (t)→η0，這說明η (t)存在上限值且上限值為η0。

由以上分析可以看出：當(dāng)時間t 從0→∞時，黏滯系數(shù)η (t)從η0/(1+m)→η0。因此，式(2)所示函數(shù)特點(diǎn)與文獻(xiàn)[18]所描述的巖石黏滯系數(shù)隨時間的變化規(guī)律較符合。

式(1)變形可得

將式(6)對時間積分，并結(jié)合初始條件(t=0，ε=0)，可得該非線性黏滯體的蠕變方程為

1.1 非線性系數(shù)對蠕變應(yīng)變的影響

圖1 所示為σ和η0均相同的情況下，非線性系數(shù)m 的變化對蠕變曲線的影響規(guī)律示意圖。由圖1可以看出：當(dāng)m=0時，此時實(shí)質(zhì)為常規(guī)黏滯體，蠕變曲線為斜率不變的直線，僅存在穩(wěn)態(tài)蠕變階段；當(dāng)m≠0時，蠕變曲線不再是直線，而是一簇形狀相似的曲線簇，且均存在衰減蠕變和近似穩(wěn)態(tài)蠕變2 個階段。隨著m 增大，衰減蠕變階段越來越明顯，持續(xù)時間越來越長，進(jìn)入穩(wěn)態(tài)蠕變的時間越來越晚，且相同時刻的變形量也越來越大。這說明非線性黏滯體具有衰減蠕變特性，與常規(guī)黏滯體不同。

圖1 不同非線性系數(shù)下的蠕變曲線Fig.1 Creep curves with different nonlinear coefficients

1.2 非線性系數(shù)對蠕變速率的影響

式(6)所示為非線性黏滯體蠕變速率的表達(dá)式。由式(6)可知：m=0時，此時實(shí)質(zhì)為常規(guī)黏滯體，蠕變速率保持σ/η0不變；m≠0時蠕變速率隨時間增加而單調(diào)遞減，且當(dāng)t=0時，dε/dt=σ(1+m)/η0；當(dāng)t→∞時，dε/dt=σ/η0。這說明非線性黏滯體的初始蠕變速率為常規(guī)黏滯體蠕變速率的(1 + m)倍，且只有當(dāng)t→∞時，2 種黏滯體的蠕變速率才相等，其余時刻非線性黏滯體的蠕變速率均大于常規(guī)黏滯體的蠕變速率。

圖2 所示為不同非線性系數(shù)下的蠕變速率曲線示意圖。由圖2 可見：當(dāng)m=0時，蠕變速率最小且保持恒定，蠕變速率曲線為1 條水平線；當(dāng)m≠0時，蠕變速率在初始時刻最大，隨著時間延長而逐漸衰減，且m 越大衰減過程越顯著。理論上，只有當(dāng)t→∞時，非線性黏滯體和常規(guī)黏滯體的蠕變速率才會相等；而實(shí)際上，由于非線性系數(shù)m 是1 個有限值，當(dāng)時間增加到一定程度后，m/(t+1)已經(jīng)接近于0，此時兩者的蠕變速率已經(jīng)非常接近。圖2 所示曲線可以清楚地說明這一點(diǎn)。

圖2 不同非線性系數(shù)下的蠕變速率曲線Fig.2 Creep rate curves with different nonlinear coefficients

由以上分析可以看出：非線性黏滯體不僅包含了常規(guī)黏滯體的基本特性，而且還具有常規(guī)黏滯體所不具有的特殊性質(zhì)。因此，在描述鹽巖蠕變特性時將會具有更好的適應(yīng)性。

2 鹽巖蠕變試驗(yàn)及非線性蠕變模型

2.1 鹽巖蠕變試驗(yàn)

試驗(yàn)所用鹽巖試樣取自江蘇淮安某鹽礦，主要成分為NaCl，質(zhì)地較純，呈白色、灰白色，部分略帶灰黑色不溶物雜質(zhì)。按照巖石力學(xué)試驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)的要求，將巖樣加工成直徑為50 mm、高度為100 mm 的圓柱形標(biāo)準(zhǔn)試件。試驗(yàn)儀器采用長春朝陽儀器廠生產(chǎn)的RLW-2000 巖石流變試驗(yàn)機(jī)。該設(shè)備主要由機(jī)架、軸向穩(wěn)壓系統(tǒng)、側(cè)向穩(wěn)壓系統(tǒng)、數(shù)字控制系統(tǒng)及微機(jī)系統(tǒng)等5 部分組成，最大軸向荷載為2 000 kN，最大圍壓為60 MPa。

為了研究該礦鹽巖的蠕變特性，對4 個試件進(jìn)行不同圍壓下的分級加載蠕變試驗(yàn)。圖3 所示為圍壓10 MPa 試件的分級加載蠕變試驗(yàn)曲線，軸向應(yīng)力分別為20，25 和30 MPa。由圖3 可以看到：鹽巖在各級荷載作用下的變形均由加載過程產(chǎn)生的瞬時應(yīng)變、衰減蠕變應(yīng)變以及蠕變速率較為穩(wěn)定的穩(wěn)態(tài)蠕變應(yīng)變3部分組成。由于試驗(yàn)所施加的最高應(yīng)力未達(dá)到使巖樣發(fā)生加速蠕變的臨界應(yīng)力，且受試驗(yàn)條件限制，加載時間不夠長，鹽巖未進(jìn)入到加速蠕變階段；在圍壓不變的情況下，隨著軸向應(yīng)力增大，鹽巖瞬時應(yīng)變、蠕變應(yīng)變、穩(wěn)態(tài)蠕變速率等均隨之增大，且軸向應(yīng)力越大，衰減蠕變階段蠕變曲線的曲率半徑越大，經(jīng)歷的時間越長，達(dá)到穩(wěn)態(tài)蠕變的時間越晚。

圖3 鹽巖分級加載蠕變試驗(yàn)曲線Fig.3 Creep curve of salt rock under step loading

2.2 非線性蠕變模型的建立

通過前面對鹽巖蠕變曲線特征的分析可以看出，試驗(yàn)曲線與Bugrers 模型蠕變曲線較為相似，但常規(guī)Bugrers 模型無法反映鹽巖蠕變的非線性特征。為了能夠較好地描述鹽巖的非線性黏彈性蠕變特性，本文將前面提出的非線性黏滯體替換常規(guī)Bugrers 模型中的線性黏滯體，從而構(gòu)成變系數(shù)的非線性Burgers 模型，本文將其命名為NBurgers 模型。NBurgers 模型由彈性體(H)、非線性黏滯體(NN)和非線性黏彈性體(NN/H)共3 部分串聯(lián)組成?？紤]到參數(shù)數(shù)量過多會給模型參數(shù)求解增加難度，本文取NN 體的非線性系數(shù)m1和NN/H 體的非線性系數(shù)m2為同一值，且均以m 來表示。模型示意圖見圖4。

圖4 NBurgers 模型示意圖Fig.4 Schematic view of NBurgers model

在該模型中，假定彈性體的變形為 εe，非線性黏滯體的變形為 εnv，非線性黏彈性體的變形為 εnve，則模型總變形可表示為

假定在t=0時，施加瞬間應(yīng)力σ=σ0，則有

(1) 彈性體(H)的本構(gòu)關(guān)系為

式中：E1為彈性模量。

(2) 非線性黏滯體(NN)中，結(jié)合式(7)可得其蠕變方程為

(3) 非線性黏彈性體(NN/H)中，結(jié)合常規(guī)Kelvin模型，可得其本構(gòu)方程為

式中：E2為黏彈性模量。

將式(11)變形為

對式(12)解微分方程，可得

式中：C 為積分常數(shù)。

對于非線性黏彈性體(NN/H)來說，當(dāng)t=0時，εnve=0。對式(13)代入初始條件，則可解得

將C 代入式(13)可得非線性黏彈性體的蠕變方程為

由于模型中3 部分串聯(lián)，根據(jù)式(8)，NBurgers 模型在一維應(yīng)力狀態(tài)下的蠕變方程可寫為

在三維應(yīng)力狀態(tài)下，鹽巖內(nèi)部應(yīng)力張量 σij可以分解為應(yīng)力球張量 σm和應(yīng)力偏張量 Sij，應(yīng)變張量 εij分解為應(yīng)變球張量 εm和應(yīng)變偏張量 eij。根據(jù)廣義虎克定律，則有

其中

式中：K 為體積模量；G 為剪切模量；ν 為泊松比。

假定鹽巖為各向同性材料，其蠕變變形僅由應(yīng)力偏張量引起，且在蠕變過程中鹽巖泊松比不隨時間變化[16]，則在三維應(yīng)力狀態(tài)下，考慮σ2=σ3，NBurgers模型的軸向蠕變方程為

在三維應(yīng)力狀態(tài)下，當(dāng)σ2=σ3時，Burgers 模型的軸向蠕變方程為[11]

對比式(19)和式(20)可以看出：當(dāng)非線性系數(shù)m=0時，NBurgers 模型退化為常規(guī)Burgers 模型。因此，常規(guī)Burgers 模型是本文非線性模型在m=0時的一種特例。

3 鹽巖非線性蠕變模型參數(shù)識別

為了對NBurgers 模型進(jìn)行參數(shù)識別，首先將圖3所示鹽巖分級加載蠕變曲線進(jìn)行處理，得到了不同軸壓時的單級蠕變曲線(圖5 中散點(diǎn)曲線)。

最小二乘法是確定巖石蠕變參數(shù)應(yīng)用較為廣泛的一種方法。本文根據(jù)鹽巖蠕變試驗(yàn)結(jié)果，基于非線性最小二乘法基本原理，利用1stOpt 軟件，采用自定義函數(shù)的方法，對式(19)所示NBurgers 模型參數(shù)進(jìn)行反演識別。具體方法及過程如下。

(1) 以待反演的蠕變參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量，即

圖5 擬合曲線和試驗(yàn)曲線對比圖Fig.5 Comparison between fitting curves and test curves

式中：K 和G1可根據(jù)式(18)轉(zhuǎn)變?yōu)榇_定彈性模量E1，鹽巖泊松比取ν=0.3。

(2) 取設(shè)計(jì)變量如式(21)所示，建立目標(biāo)函數(shù)

式中：N 為試驗(yàn)數(shù)據(jù)組數(shù)；wi(X,ti)為t 時刻計(jì)算變形值；wi為t 時刻試驗(yàn)實(shí)測變形值。

(3) 設(shè)定目標(biāo)函數(shù)Q 的控制精度并進(jìn)行參數(shù)迭代求解。若Q 滿足精度要求，則停止迭代，輸出計(jì)算結(jié)果；若不滿足，則繼續(xù)迭代，直到滿足精度要求為止。

參數(shù)反演結(jié)果見表1。圖5 給出了NBurgers 模型擬合曲線與試驗(yàn)曲線的對比情況。圖5 同時給出了采用常規(guī)Burgers 模型對試驗(yàn)數(shù)據(jù)的擬合情況。

從表1 和圖5 可以看到：NBurgers 模型擬合效果良好，相對誤差較小，擬合值非常逼近于試驗(yàn)值，且其與試驗(yàn)值的吻合程度要明顯比常規(guī)Burgers 模型的高，說明NBurgers 模型能夠更好地描述鹽巖的黏彈性蠕變特性，具有一定的適用性。

表1 NBurgers 模型參數(shù)反演結(jié)果Table 1 Creep parameters of NBurgers model

4 結(jié)論

(1) 基于非線性流變力學(xué)理論，對常規(guī)黏滯體元件進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種變系數(shù)的非線性黏滯體，并對其特性進(jìn)行了分析。分析表明，由于非線性系數(shù)的引入，改進(jìn)后的非線性黏滯體在描述巖石蠕變特性時具有更好的適應(yīng)性。

(2) 將非線性黏滯體替換常規(guī)Burgers 模型中的線性黏滯體，建立了非線性Burgers 模型，即NBurgers模型。該模型在一定條件下可退化為常規(guī)Burgers模型。

(3)對鹽巖試件開展了三軸壓縮蠕變試驗(yàn)，并利用試驗(yàn)結(jié)果對模型參數(shù)進(jìn)行了反演識別。擬合曲線和試驗(yàn)曲線對比顯示，NBurgers 模型擬合曲線和試驗(yàn)曲線的吻合程度要明顯高于常規(guī)Burgers 模型，說明該模型能夠更好地描述鹽巖的黏彈性蠕變特性。

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