正、余弦定理在近年高考題中的應(yīng)用

張杰 喻羅嬌

摘 要： 正、余弦定理是高中數(shù)學(xué)的重要組成部分，本文主要對近年全國各省高考題中的相關(guān)問題進(jìn)行相應(yīng)的分析，并結(jié)合試題的特點(diǎn)及常規(guī)思路提出了一些復(fù)習(xí)建議.

關(guān)鍵詞： 高考 正弦定理 余弦定理

1.引言

正、余弦定理是高中數(shù)學(xué)中三角函數(shù)知識的重要組成部分，又是高考考查的重點(diǎn)之一，在近年高考題中占有一定的地位.我們往往以正、余弦定理為工具，結(jié)合三角恒等變換，具體求解三角形的某條邊、某個角，判斷某個角的取值范圍、三角形的形狀及求解三角形的面積等問題.此類問題靈活多變，涉及的知識面比較廣泛，不容易完全做對，重點(diǎn)考查的是學(xué)生熟練掌握公式、靈活運(yùn)用公式的能力，計算能力，以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

就近三年高考試題而言，頻繁考查了正、余弦定理問題，且其在高考中多以中檔題出現(xiàn)，選擇題、填空題、解答題均有可能，并且每年試題的題量都相對較穩(wěn)定.從近幾年的情況來看，正、余弦定理往往運(yùn)用于解答題中的某一個問中，占的分值比較穩(wěn)定，通常在6分左右.在選擇題或者在填空題中出現(xiàn)的分值更是穩(wěn)定，通常在5分左右.下面我就近年全國相關(guān)高考數(shù)學(xué)題，談?wù)務(wù)?、余弦定理的幾種應(yīng)用.

2.正、余弦定理的幾種應(yīng)用

2.1利用正、余弦定理求解三角形的某條邊或兩邊的比值

此類問題往往是已知三角形的兩邊一角，要求其另一邊，我們會直接利用正、余弦定理求解，如果是已知邊與角的關(guān)系，要求其邊的比值，那么我們通常會利用正、余弦定理將題目中的邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純粹的邊的關(guān)系或角的關(guān)系，再進(jìn)行求解.

小結(jié)：本題難度不大，主要考查對余弦定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將角全轉(zhuǎn)化為邊，考查我們靈活運(yùn)用公式的能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.2利用正、余弦定理求解三角形的某個角

此類問題有時會已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，要求其他兩角，我們將通過正弦定理直接求出一個角，再通過內(nèi)角和定理求出另一個角，但通常會已知邊角關(guān)系，這時我們需要利用正、余弦定理將其轉(zhuǎn)化為純粹的邊的關(guān)系或角的關(guān)系，進(jìn)而求出角的值.

小結(jié)：本題難度不大，關(guān)鍵是利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，再結(jié)合余弦定理聯(lián)立求解，是正弦定理與余弦定理的綜合考查，主要考查處理數(shù)據(jù)的能力及運(yùn)算能力.

2.3利用正、余弦定理判斷某個角的范圍

此類問題通常是已知三角形三邊的關(guān)系，要求某個角的范圍，我們需要利用余弦定理，再結(jié)合均值不等式得到角的取值范圍.

綜上，此題答案為①②③.

小結(jié)：本題的難度比較大，每個選項中都已知了三角形三邊的關(guān)系，要求角的范圍，我們利用余弦定理進(jìn)行計算，并結(jié)合均值不等式得出結(jié)論.此題是余弦定理和均值不等式的結(jié)合應(yīng)用，主要考查熟練掌握及靈活運(yùn)用公式的能力.

2.4利用正、余弦定理判斷三角形的形狀

判斷三角形的形狀，往往會轉(zhuǎn)化為判斷角的取值或者邊的關(guān)系.此類問題往往需要我們利用正弦定理將角的關(guān)系轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系或者是利用余弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純粹的邊的關(guān)系或角的關(guān)系，再結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理及三角恒等變換確定某個角的大小判斷三角形的形狀.

小結(jié)：本題難度比較大，主要考查余弦定理及三角形面積公式，同時考查利用余弦定理解決三角形面積的實(shí)際能力與計算能力.

2.6正、余弦定理與其他知識的交匯

對正、余弦定理的考查，伴隨著與其他知識的融合，通常會出現(xiàn)正、余弦定理與向量、數(shù)列等的交匯應(yīng)用，此類問題往往會利用已知條件中的向量關(guān)系或者數(shù)列關(guān)系求出三角函數(shù)中邊與角的關(guān)系，再轉(zhuǎn)化為前面的幾種類型，其本質(zhì)上是對正、余弦定理的應(yīng)用.

例6（2014年陜西（理）第16題第（Ⅱ）問6分）△ABC的內(nèi)角A，B，C所對應(yīng)的邊分別是a，b，c.

（Ⅰ）若a，b，c成等差數(shù)列，證明：sinA+sinC=2sin（A+C）；

（Ⅱ）若a，b，c成等比數(shù)列，求cosB的最小值.

小結(jié)：本題屬于中檔題，是對等比數(shù)列、余弦定理與均值不等式的綜合應(yīng)用，等比數(shù)列是前提，核心是余弦定理，最終利用均值不等式求出最小值，主要考查靈活運(yùn)用公式的能力及優(yōu)化的數(shù)學(xué)思想.

2.7正、余弦定理在立體幾何中的應(yīng)用

立體幾何中通常會出現(xiàn)求解某個角的值，某條邊的值或者某個角的取值范圍，這實(shí)際上就是類型2.1，2.2，2.3的應(yīng)用.

小結(jié)：本題難度比較大，它是立體幾何中涉及關(guān)于角的取值范圍的問題，考查了余弦定理，利用特殊的位置作為臨界點(diǎn)，這樣有利于節(jié)約時間，考查我們的邏輯思維能力及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.

2.8正、余弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用

此類問題是將生活中的實(shí)際問題抽象出來，通過畫示意圖反映真實(shí)情況，從而轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，再通過正、余弦定理，三角恒等變換，三角形的內(nèi)角和定理等計算出我們要找的某個角或某條邊.

（Ⅰ）求索道AB的長；

（Ⅱ）問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短；

（Ⅲ）為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？

小結(jié)：本題難度不大，它是正弦定理在實(shí)際問題中的應(yīng)用，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為具體圖形，具體數(shù)學(xué)問題，再通過求解數(shù)學(xué)問題得出答案，主要考查了我們利用數(shù)學(xué)知識解決實(shí)際問題的能力.

3.結(jié)語

通過對正、余弦定理在近年高考中的應(yīng)用的討論，可以看出在解決邊、角、判斷三角形的形狀、求解三角形的面積等問題時往往會考慮正、余弦定理，但試題一般不會單獨(dú)考查公式的直接應(yīng)用，需要我們靈活運(yùn)用三角形的內(nèi)角和定理、三角恒等變換、三角形的面積公式及均值不等式等與正、余弦定理綜合解決.對于正、余弦定理的應(yīng)用，有的需要我們利用正、余弦定理將邊角關(guān)系轉(zhuǎn)化為純粹的邊的關(guān)系、角的關(guān)系，然后得出結(jié)論，有的需要我們利用正、余弦定理求出某個角、某條邊的具體值，然后解決問題.此類問題往往考查了合理利用公式的能力、計算能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，這些與平時的積累是息息相關(guān)的.只有注意平時積累，才能在考試中迅速解決問題，節(jié)約考試時間.

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基金項目：貴州省遵義師范學(xué)院基礎(chǔ)教育研究項目（13ZYJ029）