關(guān)于平面機構(gòu)自由度的思考

岳彩青

摘 要： 機構(gòu)自由度是機構(gòu)具有獨立運動的參數(shù)，是機械設(shè)計和分析中重要的概念，針對分析機構(gòu)自由度時出現(xiàn)的問題，說明機構(gòu)自由度公式的應(yīng)用范圍及需注意的問題，并基于此提出思考，以便更好地運用和掌握。

關(guān)鍵詞： 機械設(shè)計 機構(gòu) 自由度 獨立運動

引言

機構(gòu)具有確定運動時所必須給定的獨立運動參數(shù)的數(shù)目，稱為機構(gòu)的自由度[1]。機構(gòu)自由度計算問題，無論在《機械原理》課程中還是在實際機械的設(shè)計和分析中都占有重要地位。常規(guī)設(shè)計的機構(gòu)，其運動必須是確定的；一個運動鏈?zhǔn)欠癯蔀闄C構(gòu)不僅取決于其結(jié)構(gòu)，還取決于其原動件數(shù)目，機構(gòu)具有確定運動的條件是：機構(gòu)的自由度數(shù)（以F表示）等于機構(gòu)給定的原動件數(shù)（以s表示），即S=F且F>0；故自由度計算正確與否將會引起機構(gòu)確定運動分析結(jié)果的正確，它是機構(gòu)設(shè)計必需的步驟。所以機構(gòu)的自由度計算在機構(gòu)的設(shè)計中占有很重要的地位。早在19世紀(jì)中后期，德、俄等國學(xué)者已開始對機構(gòu)的組成要素、組成方式及分類方法等問題進行研究，提出的諸如運動副等基本概念、機構(gòu)自由度等基本方法一直沿用至今[2]。我國現(xiàn)行的教材無一例外采用1869 年由俄國科學(xué)院院士契貝舍夫（Grübler-Kutzbach）提出的契氏公式計算平面機構(gòu)的自由度。即

F=3n-2■-p■ （1）

其中n為活動構(gòu)件數(shù)，p■ 為低副數(shù)，p■為高副數(shù)

但是，在用此公式分析一些平面機構(gòu)如全移動副平面機構(gòu)時出現(xiàn)錯誤的結(jié)論，與實際情況不符?；诖?，筆者對公式應(yīng)用條件、注意事項等進行了研究并提出了幾點思考。

1.契氏公式的應(yīng)用條件

契氏公式應(yīng)用到現(xiàn)在已近150年的歷史，從發(fā)展的角度看，任何事物的存在都不是完備的，都有其一定的局限性，契氏公式也不例外。隨著機構(gòu)的發(fā)展、結(jié)構(gòu)自由度研究的進展， 人們逐步揭示了機構(gòu)學(xué)的運動本質(zhì)和規(guī)律， 揭示了機構(gòu)學(xué)與結(jié)構(gòu)學(xué)之間的內(nèi)在聯(lián)系，自由度計算公式的局限性逐漸凸顯出來。

1.1 僅適用于平面機構(gòu)，不適用于空間機構(gòu)。

一個活動桿件在平面上有三個自由度，一個平面低副引入兩個約束，一個平面高副引入1個約束，故機構(gòu)的自由度F=3n-2■-p■，顯然契氏公式是適用于平面機構(gòu)的。一個在空間不受任何約束而自由運動的構(gòu)件共有六個自由度，每個運動副引入約束最多為五，最少為一，顯然契氏公式不能滿足分析空間機構(gòu)的需要，基于此前蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士陀勃羅伏爾斯基于1943年提出空間機構(gòu)自由度計算分式：

F=（6-m）n-■（i-m）p■ （2）

其中n為活動構(gòu)件數(shù)， m 為機構(gòu)各構(gòu)件在運動時所受到的公共約束數(shù)， i 為i級運動副的約束數(shù)， 由運動副產(chǎn)生的約束數(shù)決定，P■為i級運動副的個數(shù)。

1.2不適用于全移動副平面機構(gòu)。

圖1為平面楔形滑塊機構(gòu)，活動活動構(gòu)件數(shù)n=2，低副數(shù)pL=3，高副數(shù)pH=0，計算得機構(gòu)的自由度為F=0，這與實際情況不符。就一般推論而言， 平面機構(gòu)可以理解為空間機構(gòu)的特例，圖1所示機構(gòu)可以用上述空間機構(gòu)自由度公式來計算。由于該機構(gòu)為一全移動副平面機構(gòu)，其兩活動構(gòu)件被限制在xy平面內(nèi)移動，故其公共約束m=4，則該機構(gòu)的自由度為：

F=（6-m）n-（5-m）p■=（6-4）×2-（5-4）×3=1

圖1 楔形滑塊機構(gòu)

（a） 閉鏈 （b）開鏈

圖2 五桿機構(gòu)

1.3僅適用于閉鏈機構(gòu)，不適用于開鏈機構(gòu)。

圖2為五桿機構(gòu)，活動活動構(gòu)件數(shù)n=4，圖（a）中低副數(shù)p■=5，高副數(shù)p■=0，計算得機構(gòu)的自由度為F=2，結(jié)果正確。圖（b）中低副數(shù)p■=4，高副數(shù)p■=0，計算得機構(gòu)的自由度為F=4，這與實際情況不符，由此看出契氏公式不適用于開鏈機構(gòu)自由度的計算。

2.契氏公式應(yīng)用時注意事項

契氏公式存在天然的缺陷與不足，然而時至今日，在我國的各種教材、設(shè)計手冊中，契氏公式仍然還作為最主要的公式在使用，其在很多情況下計算是正確的，在計算機構(gòu)的自由度時除了明確其使用條件外，還有一些應(yīng)注意的事項必須正確處理，否則得不到正確結(jié)果。

2.1復(fù)合鉸鏈。

兩個以上的構(gòu)件同時在一處用轉(zhuǎn)動副相連接就構(gòu)成復(fù)合鉸鏈。圖3是三個構(gòu)件匯交成的復(fù)合鉸鏈，這三個構(gòu)件共組成兩個轉(zhuǎn)動副。依次類推，K個構(gòu)件匯交而成的復(fù)合鉸鏈應(yīng)具有（K-1）個轉(zhuǎn)動副。在計算機構(gòu)自由度時應(yīng)注意識別復(fù)合鉸鏈，以免把轉(zhuǎn)動副的個數(shù)算錯。

圖3 復(fù)合鉸鏈 圖4 局部自由度

2.2局部自由度。

在有些機構(gòu)中， 其某些構(gòu)件所能產(chǎn)生的局部運動并不影響其他構(gòu)件的運動， 我們把這些構(gòu)件所能產(chǎn)生的這種局部運動的自由度稱為局部自由度。如圖 2 所示的凸輪機構(gòu)，凸輪為主動件，頂桿為從動件。凸輪機構(gòu)的功用是用頂桿獲得預(yù)期的運動，滾子是為減少高副元素的磨損而加入的從動件，滾子與頂桿間形成的自由度不會影響輸出件的運動，所以滾子與頂桿間的自由度為局部自由度，在計算機構(gòu)自由度時， 假想滾子和安裝滾子的構(gòu)件固接為一個整體，成為一個構(gòu)件或?qū)C構(gòu)中的局部自由度除去不計，否則機構(gòu)的自由度為二，是不正確的。

2.3虛約束。

在機構(gòu)中，有些運動副帶入的約束對機構(gòu)的運動只起重復(fù)約束作用，特把這類約束稱為虛約束，在計算機構(gòu)的自由度時應(yīng)將這類虛約束除去，機構(gòu)中的虛約束常發(fā)生在下列情況：

2.3.1在機構(gòu)中如果兩構(gòu)件用轉(zhuǎn)動副連接，連接前后其連接點的運動軌跡重合，則該連接將帶入1個虛約束。如圖5（a）中轉(zhuǎn)動副C所連接的C■與C■兩點的軌跡就是重合的，均沿y軸作直線運動，故帶入一個虛約束。

2.3.2如果兩構(gòu)件在多處接觸而構(gòu)成移動副，且移動方向彼此平行，則只能算一個移動副。如圖5（b）中構(gòu)件3和4在兩處形成移動副，且移動方向重合，則在計算自由度時只算一個；如果兩構(gòu)件在多處相配合而構(gòu)成轉(zhuǎn)動副，且轉(zhuǎn)動軸線重合，則只能算一個轉(zhuǎn)動副。如圖5（c）中構(gòu)件1和2在三處形成轉(zhuǎn)動副，且轉(zhuǎn)動軸線重合，則在計算自由度時只算一個；如果兩構(gòu)件在多處相接觸而構(gòu)成平面高副，且各接觸點處的公法線彼此重合，則只能算一個平面高副，如圖5（d）中兩構(gòu)件兩處相接觸而構(gòu)成平面高副，且各接觸點處的公法線彼此重合，因此只算一個高副。圖5（e）中高副各接觸點處的公法線不重合，所以此種情況沒有虛約束。

2.3.3在機構(gòu)運動的過程中，若兩構(gòu)件上某兩點之間的距離始終保持不變，則如用雙轉(zhuǎn)動副桿將此兩點相連，也將帶入1個虛約束。圖5（f）中連桿3作平動，BC線上各點的軌跡均為圓心在AD線上而半徑等于AB的圓周。構(gòu)件5與AB等長，兩個轉(zhuǎn)動副E、F對機構(gòu)的運動不產(chǎn)生任何影響，由此帶入1個虛約束。

應(yīng)當(dāng)注意，對于虛約束，從機構(gòu)的運動觀點看是多余的，但能增強機構(gòu)的剛性，改善其受力狀況，因而被廣泛采用。但是虛約束的情況比較復(fù)雜，有時很難判斷，因此分析時要注意機構(gòu)的結(jié)構(gòu)，具體問題具體分析，正確計算機構(gòu)的自由度。

（a） （b） （c）

（d） （e） （f）

圖5 具有虛約束的機構(gòu)

3.機構(gòu)自由度計算的思考

平面機構(gòu)自由度的計算公式非常簡單，但實際計算很復(fù)雜。對于一個工程實際問題，實際自由度的確定往往不能簡單地套用公式計算，除了需要考慮復(fù)合鉸鏈、局部自由度和虛約束等問題（特別是虛約束的問題，往往不容易判斷）外，還必須具體問題具體分析。對此提出以下幾點思考。

思考一：不管是最早的平面機構(gòu)自由度公式，后來的空間機構(gòu)自由度公式，還是現(xiàn)在的新公式[3]新方法[4]，機構(gòu)自由度計算的思想是一致的。

一百多年以來，人們對機構(gòu)的認識在不斷提高，對機構(gòu)理論的研究也越來越深入，機構(gòu)自由度計算公式也在不斷完善，無論公式的形式如何變化，理論如何更新，這些公式或方法的思想都是統(tǒng)一的，都是利用活動構(gòu)件的自由度減去運動副引入的約束得到的。也就說只要正確獲得活動構(gòu)件的自由度與運動副引入的約束數(shù)，機構(gòu)自由度的計算結(jié)果便是正確的。

思考二：活動構(gòu)件數(shù)及自由度的判斷是否正確，直接影響到機構(gòu)自由度計算的正確性。

在現(xiàn)行各種教材及參考書中，都著重介紹復(fù)合鉸鏈、局部自由度及虛約束等的分析判斷，未見分析活動構(gòu)件數(shù)及自由度對機構(gòu)自由度的影響。實際上，對于全移動副楔形滑塊機構(gòu)自由度計算應(yīng)用平面機構(gòu)自由度公式是沒錯的，前提是搞清楚活動構(gòu)件的自由度，如圖1所示，活動構(gòu)件數(shù)為2，移動副為3，由于兩活動構(gòu)件被限制在只能在xy平面內(nèi)運動，即活動構(gòu)件的自由度不再是3，而是2，移動副引入的約束不是2，而是1，則有F=2×2-3×1=1，結(jié)果正確。

在計算機構(gòu)自由度時，活動構(gòu)件數(shù)目判斷不對，計算結(jié)果也是錯誤的。如圖6剎車機構(gòu)，若把車輪誤認為機構(gòu)的一個構(gòu)件，則結(jié)果不正確。

圖6 剎車機構(gòu)

思考三：在分析運動副引入的約束時，應(yīng)根據(jù)具體情況具體分析，不應(yīng)一味照搬某些結(jié)論。一般認為平面機構(gòu)中，轉(zhuǎn)動副和移動副引入兩個約束，但在圖1所示楔形滑塊機構(gòu)中，移動副引入一個約束，這是因為兩活動構(gòu)件被限制在只能在xy平面內(nèi)運動，單個活動構(gòu)件的自由度為2，移動副只可能引入1個約束，若按引入兩個約束計算，結(jié)果將是機構(gòu)不能動，這與實際情況不符。

結(jié)語

機構(gòu)理論不斷發(fā)展，機構(gòu)自由度公式也在不斷完善，這些公式各有特點，在應(yīng)用時除了要明確其適用范圍，注意復(fù)合鉸鏈、局部自由度及虛約束等問題外，對機構(gòu)自由度計算提出幾點思考，以便更好地運用和掌握公式，正確計算機構(gòu)自由度。

參考文獻：

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