關(guān)于高中幾種數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)

劉祖金

數(shù)學(xué)思想方法是一種數(shù)學(xué)意識，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思維能力、知識轉(zhuǎn)化能力、分析解決問題的能力，能夠全面反映學(xué)生的綜合素質(zhì).高中生在解題時(shí)常常會出現(xiàn)束手無策、目的不明確，思維混亂，思路不清晰的情況，在學(xué)習(xí)中不懂得掌握知識點(diǎn)、知識網(wǎng)絡(luò)，不會融會貫通、舉一反三等.其主要原因還是在學(xué)習(xí)中沒有形成必要的數(shù)學(xué)思想方法.

高中階段常見的有數(shù)形結(jié)合、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化、函數(shù)和方程、建模等思想方法.正確運(yùn)用這些思想方法，對提高學(xué)生的解題能力起非常關(guān)鍵的作用.因此，在教學(xué)中應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想方法.我現(xiàn)結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐探討其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法.

一、數(shù)形結(jié)合的思想方法

數(shù)形結(jié)合就是把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形相結(jié)合、抽象思維和形象思維相結(jié)合，通過“以形助數(shù)”“以數(shù)輔形”兩個(gè)方面，可使復(fù)雜問題簡單化，抽象問題具體化，有助于把握數(shù)學(xué)問題的本質(zhì)，它是數(shù)學(xué)的規(guī)律性與靈活性的有機(jī)結(jié)合.巧妙運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法解決一些抽象數(shù)學(xué)問題，可收到化繁為簡、化難為易、事半功倍的效果.數(shù)形結(jié)合的重點(diǎn)是“以形助數(shù)”，但以數(shù)解形在近年高考試題中也得到了加強(qiáng)，其發(fā)展趨勢不容忽視.

數(shù)形結(jié)合常用于函數(shù)與函數(shù)的圖像、解不等式、曲線與方程，參數(shù)本身的幾何意義，代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，求函數(shù)的值域、向量問題等常?？梢杂脭?shù)形結(jié)合思想尋找解題思路.

（一）由數(shù)化形、以形為手段，以數(shù)為目的，通過建立坐標(biāo)系由條件繪制相應(yīng)圖形，使圖形充分反映出它們相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系，從而解決問題.

（二）由形化數(shù)，借助于圖形，通過觀察揭示出圖形中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，反映出事物本質(zhì)特征.

（三）數(shù)形轉(zhuǎn)換，“數(shù)”和“形”可以互相轉(zhuǎn)換，化抽象為直觀，化直觀為精確，化難為易，從而使問題得到解決.

評注：數(shù)形結(jié)合思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在解選擇題、填空題中應(yīng)用廣泛，在解答題中一般可用數(shù)形結(jié)合法尋找解題思路，解答過程如用數(shù)形結(jié)合，敘述要嚴(yán)謹(jǐn)，防止只畫個(gè)圖形而解題過程不規(guī)范現(xiàn)象的發(fā)生.著名數(shù)學(xué)家華羅庚對“數(shù)形結(jié)合”的重要性，精辟地概括為“數(shù)無形，少直觀；形無數(shù)，難入微”，形象地道出了數(shù)形結(jié)合的特征和重要性.

二、分類討論的思想方法

在解某些數(shù)學(xué)題時(shí)，它的結(jié)果可能不唯一，對可能的情況要一一加以分類討論.它是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，在高考中占有十分重要的地位，分類討論試題具有明顯的邏輯性、探索性的特點(diǎn)，試題難度屬中高檔.

（一）引起分類討論的原因大致可分為如下幾種：

1.涉及的數(shù)學(xué)概念是分類定義的，如絕對值、直線斜率、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等.

2.運(yùn)用的定理、公式或運(yùn)算性質(zhì)、法則是分類給出的，如等比數(shù)列的求和.

3.由圖形的不確定性引起的分類討論：有的圖形的類型、位置需要分類：如角的終邊所在的象限，點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系等.

4.數(shù)學(xué)問題中含有參數(shù)變量，如參數(shù)的方程、不等式，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得結(jié)果不同，或?qū)τ诓煌膮?shù)值要運(yùn)用不同的求解或證明方法.

5.對較復(fù)雜或非常規(guī)的數(shù)學(xué)問題，需要采取分類討論的解題策略來解決.

（二）分類的原則：分類的標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一；層次要分明，分類要做到不重不漏；能不分類的要盡量回避，或盡量推遲，決不無原則地討論.

（三）分類方法：①明確討論對象；②確定分類標(biāo)準(zhǔn)；③逐步詳細(xì)討論；④歸納小結(jié).

四、轉(zhuǎn)化與化歸思想

轉(zhuǎn)化與化歸思想是研究問題最基本、最重要的思想方法，它無處不在.比如：處理幾何問題時(shí)，將空間問題轉(zhuǎn)化到一個(gè)平面上解決；在解析幾何中，通過建立坐標(biāo)系將幾何問題化歸為代數(shù)問題；復(fù)數(shù)問題化歸為實(shí)數(shù)問題等.

（一）轉(zhuǎn)化與化歸的原則：（1）目標(biāo)簡單化原則；（2）具體化原則；（3）低層次原則；（4）正難則反原則.

（二）轉(zhuǎn)化與化歸常用的方法：（1）直接轉(zhuǎn)化法；（2）換元法；（3）數(shù)形結(jié)合法；（4）構(gòu)造法型；（5）坐標(biāo)法為工具；（6）類比法；（7）特殊化方法；（8）等價(jià)問題總之，數(shù)學(xué)思想方法較之?dāng)?shù)學(xué)基礎(chǔ)知識具有更高的層次，是對數(shù)學(xué)規(guī)律的理性認(rèn)識，是數(shù)學(xué)知識的精髓，是知識轉(zhuǎn)化為能力的橋梁，是打開數(shù)學(xué)宮殿的鑰匙，是數(shù)學(xué)的靈魂.重視數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)和運(yùn)用，突出數(shù)學(xué)思想方法，是提高解題能力的重要措施.讓學(xué)生靈活應(yīng)用所學(xué)的數(shù)學(xué)思想方法，以培養(yǎng)其分析問題和解決問題的能力；課堂教學(xué)中不斷總結(jié)、提煉、潛移默化才能使學(xué)生養(yǎng)成良好的思維習(xí)慣，對數(shù)學(xué)思想的運(yùn)用才能做到得心應(yīng)手.