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    一元一次不等式考點(diǎn)分析

    2015-09-10 07:22:44馬榮平
    初中生世界·七年級(jí) 2015年6期
    關(guān)鍵詞:數(shù)軸樹(shù)苗考點(diǎn)

    馬榮平

    一元一次不等式(組)的問(wèn)題中考中的一個(gè)重要的考查內(nèi)容,考查的題型可以是填空題、選題,也可以是解答題,考查的方式可以是單一知識(shí)的考查,也可以與其他知識(shí)點(diǎn)結(jié)合起來(lái)考查,如與方程、幾何圖形、函數(shù)等. 下面就以一些中考試題為例進(jìn)行分析.

    考查知識(shí)點(diǎn)一:不等式與不等式的性質(zhì)

    例1 (2014·廣東汕尾)若x>y,則下列式子中錯(cuò)誤的是( ).

    A. x-3>y-3

    B. x3>y3

    C. x+3>y+3

    D. -3x>-3y

    【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì),進(jìn)行選擇即可.

    【解答】A. 根據(jù)不等式的性質(zhì)1,可得x-3>y-3,故A正確;B. 根據(jù)不等式的性質(zhì)2,可得x3>y3,故B正確;C. 根據(jù)不等式的性質(zhì)1,可得x+3>y+3,故C正確;D. 根據(jù)不等式的性質(zhì)3,可得-3x<-3y,故D錯(cuò)誤;故選擇D.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式的性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟知不等式的性質(zhì)及注意事項(xiàng). 不等式的三個(gè)性質(zhì)(特別是第三個(gè)性質(zhì))是:(1) 不等式兩邊加(或減)同一個(gè)數(shù)(或式子),不等號(hào)的方向不變. (2) 不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)正數(shù),不等號(hào)的方向不變. (3) 不等式兩邊乘(或除以)同一個(gè)負(fù)數(shù),不等號(hào)的方向改變.

    考查知識(shí)點(diǎn)二:不等式(組)解集的表示

    例2 (2013·眉山)不等式組3x<2x+4,

    x+33-x≤-1.的解集在數(shù)軸上表示為( ).

    【分析】利用不等式的性質(zhì),先求出每個(gè)不等式的解集,然后分別在數(shù)軸上表示出來(lái)即可.

    【解答】3x<2x+4,①

    x+33-x≤-1.②由①得,x<4;由②得,x≥3,故此不等式組的解集為:3≤x<4,在數(shù)軸上表示為: 故選D.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式(組)解集的表示. 用數(shù)軸表示不等式的解集,有如下規(guī)律:大于向右畫(huà),小于向左畫(huà),有等號(hào)(≥,≤)畫(huà)實(shí)心點(diǎn),無(wú)等號(hào)(>,<)畫(huà)空心圈. 要特別注意空心實(shí)心的問(wèn)題.

    考查知識(shí)點(diǎn)三:解不等式(組)

    例3 (2014·鎮(zhèn)江)解不等式:2+2x-13≤x,并將它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

    【分析】按照去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)的步驟運(yùn)算.

    【解答】去分母,得6+2x-1≤3x.

    解得x≥5.

    它的解集在數(shù)軸上可表示為:

    【考點(diǎn)分析】本題考查了一元一次不等式的解法,解題的關(guān)鍵是不等式的基本性質(zhì). 解一元一次不等式與解一元一次方程的思想和方法差不多,只是最后系數(shù)化為1的時(shí)候不等式兩邊同時(shí)乘或除以正負(fù)數(shù)涉及到不等號(hào)是否改變的問(wèn)題. 對(duì)于在數(shù)軸在表示不等式的解集,有固定的要求,即“不含等號(hào)的不等式用空心,含等號(hào)的不等式用實(shí)心”,“不等號(hào)的尖端指向哪一邊則其解集指向這一邊”.

    例4 (2014·山東濟(jì)南)解不等式組:x-3<1,①

    4x-4≥x+2.②

    【分析】先求得兩個(gè)不等式的解集,然后確定其公共部分.

    【解答】解不等式①,得x<4,解不等式②,得x≥2,∴不等式組的解集為:2≤x<4.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了一元一次不等式組的解法,解題關(guān)鍵是掌握解不等式組的一般步驟. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是在化簡(jiǎn)不等式的過(guò)程中出現(xiàn)漏乘、寫(xiě)錯(cuò)符號(hào)等錯(cuò)誤,在解不等式的過(guò)程中,出現(xiàn)利用不等式的性質(zhì)3時(shí),沒(méi)有改變不等號(hào)方向的錯(cuò)誤.

    考查知識(shí)點(diǎn)四:不等式(組)整數(shù)解

    例5 (2014·貴州黔東南州)解不等式組23x+5>1-x,

    x-1<34x-18.并寫(xiě)出它的非負(fù)整數(shù)解.

    【分析】逐一解兩個(gè)不等式,再求出不等式組解集,從中找出它的非負(fù)整數(shù)解.

    【解答】解不等式①,得x>-125;解不等式②,得x<72;∴不等式組的解集為:-125

    【考點(diǎn)分析】本題考查了一元一次不等式組的解法以及整數(shù)解,解題的關(guān)鍵是求出不等式組的解集. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是找不等式組解集的公共部分出錯(cuò).

    考查知識(shí)點(diǎn)五:不等式(組)有解無(wú)解

    例6 (2014·山東濰坊)若不等式組x+a≥0,

    1-2x>x-2.無(wú)解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

    A. a≥-1

    B. a<-1

    C. a≤1

    D. a≤-1

    【分析】先分別解出兩個(gè)不等式,然后根據(jù)不等式組無(wú)解確定a的取值范圍.

    【解答】解不等式①得x≥-a,解不等式②得x<1,因?yàn)椴坏仁浇M無(wú)解,故-a≥1,解得a≤-1,故選擇D.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式組的解法,解題的關(guān)鍵是明確解不等式組的口決. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是未考慮等號(hào)的情況從而誤選答案B. 解不等式組的口訣:“同大取大,同小取小,大小小大中間找,大大小小無(wú)處找”.根據(jù)口訣找到關(guān)于未知數(shù)的不等式求解,同時(shí)要注意單獨(dú)考慮等號(hào)(界點(diǎn))是否符合題意.

    例7 (2014·山東泰安)若不等式組1+x

    x+92+1≥x+13-1.有解,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( ).

    A. a<-36

    B. a≤-36

    C. a>-36

    D. a≥-36

    【分析】先求出不等式組中每個(gè)不等式的解集,再根據(jù)原不等式組有解確定兩個(gè)不等式的解集之間的關(guān)系,建立不等式求出a的取值范圍.

    【解答】不等式1+x

    x≥-37.有解,其解集應(yīng)為-37≤x-37,解得a>-36,故應(yīng)選C.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式組的解集問(wèn)題,關(guān)鍵是要能求出不等式組中每個(gè)不等式的解集,能正確理解有解的意義. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是不能確定不等式組有解時(shí)原不等式組中的兩個(gè)不等式的解集之間的關(guān)系,找不出a應(yīng)滿足的條件而出錯(cuò). 根據(jù)一元一次不等式組的解集情況,推測(cè)字母系數(shù)的值的范圍,先確定不等式組解集用字母系數(shù)表示的情況,結(jié)合解集情況構(gòu)造關(guān)于字母系數(shù)的不等式. 本題也可以利用數(shù)軸,從直觀上去解決問(wèn)題.

    考查知識(shí)點(diǎn)五:不等式(組)應(yīng)用

    例8 (2014·湖南長(zhǎng)沙)為建設(shè)“秀美幸福之市”,長(zhǎng)沙市綠化提質(zhì)改造工程正如火如茶地進(jìn)行. 某施工隊(duì)計(jì)劃購(gòu)買(mǎi)甲乙兩種樹(shù)苗共400棵對(duì)芙蓉路的某標(biāo)段道路進(jìn)行綠化改造,已知甲種樹(shù)苗每棵200元,乙種樹(shù)苗每棵300元.

    (1) 若購(gòu)買(mǎi)兩種樹(shù)苗的總金額為90 000元,求需購(gòu)買(mǎi)甲、乙兩種樹(shù)苗各多少棵?

    (2) 若購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗的金額不少于購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的金額,至少應(yīng)購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗多少棵?

    【分析】(1) 根據(jù)甲乙兩種樹(shù)苗共400棵,總金額為90 000元建立方程(組)可求出其解;(2) 根據(jù)甲種樹(shù)苗的金額不少于購(gòu)買(mǎi)乙種樹(shù)苗的金額,建立一元一次不等式可求出其解.

    解:(1) 設(shè)需購(gòu)買(mǎi)甲樹(shù)苗x棵,則購(gòu)買(mǎi)乙樹(shù)苗(400-x)棵

    依題意得:200x+300(400-x)=90 000,

    解得:x=300,

    ∴400-x=400-300=100(棵).

    答:需購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗300棵,乙種樹(shù)苗100棵.

    (2)由題意得:200x≥300(400-x),

    解得:x≥240.

    ∴至少要購(gòu)買(mǎi)甲種樹(shù)苗240棵.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了用一元一次方程(組)和一元一次不等式解決實(shí)際問(wèn)題,解題的關(guān)鍵是找等量關(guān)系和不等關(guān)系. 此類問(wèn)題容易出錯(cuò)的地方是審題不清,找不到相等關(guān)系或不等關(guān)系. 其中列不等式(組)解應(yīng)用題的關(guān)鍵是根據(jù)題意找出題目中的不等關(guān)系或隱含的不等關(guān)系,再根據(jù)相應(yīng)的關(guān)系列出不等式(組). 要注意通常不等關(guān)系的給出總是以“至少”、“沒(méi)滿”、“少于”、“不超過(guò)”、“最大”等關(guān)鍵詞語(yǔ)作為標(biāo)志. 有時(shí)在解出不等式(組)之后,還要根據(jù)實(shí)際情境適當(dāng)取舍,選出符合要求的答案來(lái).

    例9 (2014·廣西百色)有2條生產(chǎn)線計(jì)劃在一個(gè)月(30天)內(nèi)組裝520臺(tái)產(chǎn)品(每天產(chǎn)品的產(chǎn)量相同),按原先的組裝速度,不能完成任務(wù);若加班生產(chǎn),每條生產(chǎn)線每天多組裝2臺(tái)產(chǎn)品,能提前完成任務(wù).

    (1) 每條生產(chǎn)線原先每天最多能多組裝多少臺(tái)產(chǎn)品?

    (2) 要按計(jì)劃完成任務(wù),策略一:增添1條生產(chǎn)線,共要多投資19 000元;策略二:按每天能組裝最多臺(tái)數(shù)加班生產(chǎn),每條生產(chǎn)線每天共要多花費(fèi)350元;選哪一個(gè)策略較省費(fèi)用?

    【分析】不等式的實(shí)際應(yīng)用是不等式知識(shí)的一個(gè)重要考點(diǎn),解題時(shí),我們要正確分析和處理已知信息,抓住隱含在題目中表征不等關(guān)系的關(guān)鍵詞,如‘不超過(guò)’、‘最低’、‘至少’、‘最多’、‘不大于’等,找準(zhǔn)不等關(guān)系,正確設(shè)出未知數(shù),列不等式解決.

    解:(1) 設(shè)每條生產(chǎn)線原先每天最多能多組裝x臺(tái)產(chǎn)品,依題意,得:

    2×30x<520,

    2×30(x+2)>520.解得:203

    (2) 選用策略一,共要多投資19 000元;選用策略二,共要多投資:350×2×520(8+2)×2=18 200(元);∵19 000>18 200,∴選用策略二較省費(fèi)用.

    【考點(diǎn)分析】本題考查了不等式組的實(shí)際應(yīng)用,正確找出題中的不等關(guān)系是解題的關(guān)鍵. 利用不等式組來(lái)解決方案選擇問(wèn)題是中考的常見(jiàn)題型,這類題的通常做法是:首先找出題目中隱含的不等關(guān)系,然后列出符合題意的不等式或不等式組求解;最后根據(jù)題目要求用不等式組的正整數(shù)解確定選擇符合要求的方案.

    (作者單位:江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

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