例談一元一次不等式（組）中的數(shù)學(xué)思想方法

錢(qián)小剛

課堂教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法是非常必要的.它包括培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察、分析，綜合概括抽象出概念、性質(zhì)的能力，對(duì)知識(shí)進(jìn)行分類(lèi)，系統(tǒng)化的能力；也包括運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)，矛盾轉(zhuǎn)化的思想分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.本文就結(jié)合一元一次不等式（組）的教學(xué)，談?wù)勅绾螡B透類(lèi)比思想、數(shù)形結(jié)合和建模的的數(shù)學(xué)思想方法.

一、 數(shù)形結(jié)合的思想方法

在解決代數(shù)問(wèn)題時(shí)，我們可以借助圖形，直觀而形象，易于理解. 體現(xiàn)在不等式組上，即找各個(gè)不等式的公共解時(shí)，可以利用數(shù)軸來(lái)解決問(wèn)題.

例1 解不等式組x-3<0，①

x+1>0.②

解：由①得，x<3，由②得，x>-1，所以不等式組的解集為-1

【說(shuō)明】不等式的解也是組成它的每個(gè)不等式的解，即不等式組的解是每個(gè)不等式的公共解，體現(xiàn)在圖形上為每個(gè)解集都包含的部分.

二、 類(lèi)比思想方法

解一元一次不等式與解一元一次方程的步驟基本上一樣，不同的是解一元一次不等式根據(jù)的是不等式的性質(zhì)，而解一元一次方程根據(jù)的是等式的性質(zhì)；特別應(yīng)注意的是化系數(shù)為1時(shí)，若除以（或乘以）的是一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，解不等式時(shí)不等號(hào)的方向要改變，而解一元一次方程只要系數(shù)不為0，所得的方程與原來(lái)的方程同解. 通過(guò)類(lèi)比，加深了對(duì)它們的理解，避免了一些不該犯的錯(cuò)誤.

例2 解不等式 2（x+5）>3（x-5）.

解：去括號(hào)，得2x+10>3x-15，

移項(xiàng)，得2x-3x>-15-10，

合并同類(lèi)項(xiàng)，得-x>-25，

系數(shù)化為1，得 x<25.

例3 解方程 2（x+5）=3（x-5）.

解：去括號(hào)，得2x+10=3x-15，

移項(xiàng)，得2x-3x=-15-10，

合并同類(lèi)項(xiàng)，得-x=-25，

系數(shù)化為1，得x=25.

【說(shuō)明】通過(guò)這兩道例題，可以發(fā)現(xiàn)它們的解題步驟相同，但是所用的性質(zhì)不同，加強(qiáng)學(xué)生在解一元一次不等式時(shí)改變符號(hào)的意識(shí).

三、 建模的思想方法

在日常生活中，利潤(rùn)的優(yōu)化，方案的設(shè)計(jì)等都有不等關(guān)系，所以建立不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題也是我們數(shù)學(xué)中的一種很好的思考方法.

例4 君實(shí)機(jī)械廠(chǎng)為青揚(yáng)公司生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，該機(jī)械廠(chǎng)由甲車(chē)間生產(chǎn)A種產(chǎn)品，乙車(chē)間生產(chǎn)B種產(chǎn)品，兩車(chē)間同時(shí)生產(chǎn). 甲車(chē)間每天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品比乙車(chē)間每天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品多2件，甲車(chē)間3天生產(chǎn)的A種產(chǎn)品與乙車(chē)間4天生產(chǎn)的B種產(chǎn)品數(shù)量相同.

（1） 求甲車(chē)間每天生產(chǎn)多少件A種產(chǎn)品？乙車(chē)間每天生產(chǎn)多少件B種產(chǎn)品？

（2） 君實(shí)機(jī)械廠(chǎng)生產(chǎn)的A種產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)為每件200元，B種產(chǎn)品的出廠(chǎng)價(jià)為每件180元. 現(xiàn)青揚(yáng)公司需一次性購(gòu)買(mǎi)A、B兩種產(chǎn)品共80件，君實(shí)機(jī)械廠(chǎng)甲、乙兩車(chē)間在沒(méi)有庫(kù)存的情況下只生產(chǎn)8天，若青揚(yáng)公司按出廠(chǎng)價(jià)購(gòu)買(mǎi)A、B兩種產(chǎn)品的費(fèi)用超過(guò)15 000元而不超過(guò)15 080元. 請(qǐng)你通過(guò)計(jì)算為青揚(yáng)公司設(shè)計(jì)購(gòu)買(mǎi)方案.

解：（1） 設(shè)乙車(chē)間每天生產(chǎn)x件B種產(chǎn)品，則甲車(chē)間每天生產(chǎn)（x+2）件A種產(chǎn)品.

根據(jù)題意3（x+2）=4x；解得x=6；∴x+2=8.

答：甲車(chē)間每天生產(chǎn)8件A種產(chǎn)品，乙車(chē)間每天生產(chǎn)6件B種產(chǎn)品.

（2） 設(shè)青揚(yáng)公司購(gòu)買(mǎi)B種產(chǎn)品m件，則購(gòu)買(mǎi)A種產(chǎn)品（80-m）件，

∵15 000<200（80-m）+180m≤15 080，∴46≤m<50.

∵m為整數(shù)，∴m為46或47或48或49；又∵乙車(chē)間8天生產(chǎn)48件，∴m為46或47或48.

∴有三種購(gòu)買(mǎi)方案：購(gòu)買(mǎi)A種產(chǎn)品32件，B種產(chǎn)品48件；購(gòu)買(mǎi)A種產(chǎn)品33件，B種產(chǎn)品47件；購(gòu)買(mǎi)A種產(chǎn)品34件，B種產(chǎn)品46件.

【說(shuō)明】本題以產(chǎn)品的加工與經(jīng)銷(xiāo)問(wèn)題背景，借助方程與不等式，進(jìn)行方案設(shè)計(jì)，突出考查了學(xué)生綜合運(yùn)用方程與不等式知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，體現(xiàn)了建模的數(shù)學(xué)思想.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）