例析一元一次不等式的概念

孫玉根

一元一次不等式是初中階段在一元一次方程和二元一次方程組的學(xué)習(xí)之后，進(jìn)一步探究現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的重要內(nèi)容. 應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)解一元一次不等式，是一項(xiàng)基本技能，也是學(xué)生以后學(xué)習(xí)函數(shù)、一元二次方程以及進(jìn)一步學(xué)習(xí)不等式知識(shí)的基礎(chǔ). 數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)對(duì)一元一次不等式內(nèi)容的教學(xué)目標(biāo)是“會(huì)解簡(jiǎn)單的一元一次不等式”和“解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題”. 下面通過(guò)例子將本章知識(shí)進(jìn)行梳理.

一、 不等式的概念

用不等號(hào)（>，≥，<，≤，≠）表示不等關(guān)系的式子，叫做不等式. 在判斷不等式時(shí)，需要嚴(yán)格按照不等式的定義.

例1 在數(shù)學(xué)表達(dá)式：①-3<0，②3x+5>0，③x↑2-6，④x=-2，⑤y≠0，⑥x+2≥x中，不等式的個(gè)數(shù)是（ ）.

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

【解析】對(duì)照定義即可解決，其中x+2 ≥ x是矛盾不等式，也屬于不等式的一種. 故選C.

二、 不等式的性質(zhì)

不等式的性質(zhì)與等式的性質(zhì)有相同之處也有不同之處，所以我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)要注意. 不等式性質(zhì)之一是：不等式兩邊加上（或減去）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變，即如a>b，那么a±c>b±c；性質(zhì)之二是：不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變，即如果a>b，c>0，那么ac>bc（或ac>bc）. 性質(zhì)之三是：不等式兩邊乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向改變，即如果a>b，c<0，那么ac

例2 如果a>b，那么下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（ ）.

A. a-3>b-3

B. 3a>3b

C. a3>b3

D. -a>-b

【解析】不等式的性質(zhì)是解不等式的關(guān)鍵，只有理解了不等式的性質(zhì)才能正確求出不等式（組）的解集和解決與不等式有關(guān)的一些問(wèn)題.利用不等式的基本性質(zhì)（1）可知A正確；利用基本性質(zhì)（2）可知B，C正確.故選D.

例3 學(xué)習(xí)了不等式的性質(zhì)后，小明和小亮對(duì)3a>2a是否成立進(jìn)行了爭(zhēng)論. 小明說(shuō)：“給 3a>2a的兩邊同時(shí)除以a，得3>2，因?yàn)?>2成立，所以3a>2a也一定成立.”小亮說(shuō)：“這是不正確的.”你認(rèn)為誰(shuí)說(shuō)的對(duì)？為什么？

【解析】當(dāng)a>0時(shí)，在不等式3>2的兩邊同乘以a，根據(jù)性質(zhì)2，不等號(hào)方向不改變，此時(shí)3a>2a；當(dāng)a=0時(shí)，3a=2a=0；當(dāng)a<0時(shí)，在不等式3>2的兩邊同乘以a，根據(jù)性質(zhì)3，不等號(hào)方向改變，此時(shí)3a<2a.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式的性質(zhì)，解決這類問(wèn)題首先要分清不等式兩邊同時(shí)乘以的是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，若是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向一定要改變，其次就是掌握分類討論的數(shù)學(xué)思想，對(duì)a進(jìn)行正確的分類.

三、 一元一次不等式的概念

類似于一元一次方程，含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式叫做一元一次不等式. 從概念中我們不難發(fā)現(xiàn)是不是一元一次不等式必須滿足三個(gè)條件：（1） 一個(gè)未知數(shù)；（2） 未知數(shù)次是1；（3） 左右兩邊均是整式.

例4 下列不等式中哪一個(gè)不是一元一次不等式（ ）.

A. x>3

B. -y+1>y

C. 1x>2

D. 2x>1

【解析】對(duì)照一元一次不等式的定義可知選C.

四、 一元一次不等式的的解和解集

一般地，能夠使一元一次不等式成立的未知數(shù)的值叫做一元一次不等式的解；它的所有的解的全體叫做這個(gè)不等式的解集. 一元一次不等式的解集可以用最簡(jiǎn)單的不等式表示，也可以用數(shù)軸來(lái)表示. 用數(shù)軸表示不等式的解集，應(yīng)記住下面的規(guī)律：大于向右畫(huà)，小于向左畫(huà)，有等號(hào)（≥，≤）畫(huà)實(shí)心點(diǎn)，無(wú)等號(hào)（>，<）畫(huà)空心圈.

例5 下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是（ ）.

A. 不等式x<2的正整數(shù)解只有一個(gè)

B. -2是不等式2x-1<0的一個(gè)解

C.不等式-3x>9的解集是x>-3

D.不等式x<10的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)

【解析】本題考查的是如何解不等式和求不等式整數(shù)解. 不等式x<2的正整數(shù)解為x=1；2x-1<0的一個(gè)解為x<12，-2在這個(gè)解集中；x<10的整數(shù)解有無(wú)數(shù)個(gè)，包括無(wú)數(shù)個(gè)負(fù)整數(shù)解、零和1到9這9個(gè)正整數(shù)解. 故選C.

例6 不等式2x+1≥3的解集在數(shù)軸上表示正確的是（ ）.

【解析】先解不等式，再在數(shù)軸上表示解集. 移項(xiàng)，合并，得2x≥2，將x的系數(shù)化為1，得x≥1，故選D.

五、 解一元一次不等式

一元一次不等式的解法與一元一次方程的解法類似，但要特別注意不等式的兩邊都乘以（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)時(shí)，不等號(hào)要改變方向. 解一元一次不等式的一般步驟：①去分母；②去括號(hào)；③移項(xiàng)；④合并同類項(xiàng)；⑤將項(xiàng)的系數(shù)化為1. 當(dāng)然我們?cè)诮獠坏仁綍r(shí)，上面的五個(gè)步驟不一定都能用到，并且不一定按照順序解，要根據(jù)不等式的形式靈活安排求解步驟.

例6 不等式2x+13-10x+16≥54x-5，并把它的解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

【解析】一元一次不等式的解法的一般步驟與一元一次方程相同，不等式中含有分母，應(yīng)先在不等式兩邊都乘以各分母的最小公倍數(shù)去掉分母，在去分母時(shí)不要漏乘沒(méi)有分母的項(xiàng)，再作其他變形. 所以去分母，得4（2x-1）-2（10x+1）≥15x-60；去括號(hào)，得8x-4-20x-2≥15x-60 ；項(xiàng)合并同類項(xiàng)，得-27x≥-54；系數(shù)化為1，得x≤2. 在數(shù)軸上表示解集如圖所示：

六、 一元一次不等式的應(yīng)用

列一元一次不等式解實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題，可類比列一元一次方程解應(yīng)用問(wèn)題的方法和技巧，不同的是，列不等式解應(yīng)用題，尋求的是不等關(guān)系，因此，根據(jù)問(wèn)題情境，抓住應(yīng)用問(wèn)題中“不等”關(guān)系的關(guān)鍵詞語(yǔ)，如“大于”、“小于”、“不小于”、“不大于”等，或從題意中體會(huì)、感悟出不等關(guān)系十分重要.

例7 甲、乙兩個(gè)廠家生產(chǎn)的辦公桌和辦公椅的質(zhì)量、價(jià)格一致，每張辦公桌800元，每張椅子80元. 甲、乙兩個(gè)廠家推出各自銷售的優(yōu)惠方案，甲廠家：買一張桌子送三張椅子；乙廠家：桌子和椅子全部按原價(jià)8折優(yōu)惠. 現(xiàn)某公司要購(gòu)買3張辦公桌和若干張椅子，若購(gòu)買的椅子數(shù)為x張（x≥9）.

（1） 分別用含x的式子表示甲、乙兩個(gè)廠家購(gòu)買桌椅所需的金額；

（2） 購(gòu)買的椅子至少多少?gòu)垥r(shí)，到乙廠家購(gòu)買更劃算？

【解析】（1） 根據(jù)甲乙兩廠家的優(yōu)惠方式可知：甲廠家所需金額為：3×800+80（x-9）=1 680+80x；乙廠家所需金額為：（3×800+80x）×0.8=1 920+64x；

（2） 令甲廠家的花費(fèi)大于乙廠家的花費(fèi)得：1 680+80x>1 920+64x，解得：x>15. 答：購(gòu)買的椅子至少16張時(shí)，到乙廠家購(gòu)買更劃算.

七、 一元一次不等式組的概念及解法

由幾個(gè)含有同一個(gè)未知數(shù)的一次不等式組成的不等式組就叫做一元一次不等式組.幾個(gè)一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們所組成的一元一次不等式組的解集. 我們把求一元一次不等式組的解集的過(guò)程，叫做解一元一次不等式組. 當(dāng)任何數(shù)都不能使不等式同時(shí)成立，我們就說(shuō)這個(gè)不等式組無(wú)解或其解為空集. 那如何解一元一次不等式組呢？通常是先分別求出不等式組中各個(gè)不等式的解集；然后利用數(shù)軸求出這些不等式的解集的公共部分，即這個(gè)不等式組的解集. 有時(shí)我們也可以用不等式組公共解的一般規(guī)律來(lái)確定解集. 這個(gè)規(guī)律就是：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小解不了.

例8 解不等式組2x+1<-1，

3-x≥1.并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái).

【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)求出每個(gè)不等式的解集，根據(jù)找不等式組解集的規(guī)律找出不等式組的解集即可.

【答案】2x+1<-1，①

3-x≥1.②

解不等式①得：x<-1，解不等式②得：x≤2，

所以不等式組的解集是：x<-1；在數(shù)軸上表示不等式組的解集，如圖所示：

【總結(jié)】本題主要考查對(duì)不等式的性質(zhì)，解一元一次不等式（組），在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握. 能夠根據(jù)不等式的解集找出不等式組的解集是解決此題的關(guān)鍵.

（作者單位：江蘇省泰州市姜堰區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)）