連接體運(yùn)動(dòng)的隱性力學(xué)特征及其應(yīng)用

黃健康

兩個(gè)或多個(gè)物體緊靠在一起、疊在一起或用不可伸長(zhǎng)的線連接在一起的運(yùn)動(dòng)，統(tǒng)稱為連接體運(yùn)動(dòng).沿運(yùn)動(dòng)方向或繩子軸線方向相連的物體速度和加速度大小時(shí)時(shí)刻刻都相等，這是大家都普遍知道的顯性特征.但是，很多人卻不知道連接體運(yùn)動(dòng)還隱藏著其它典型的力學(xué)特征，也就無法靈活運(yùn)用這些特征快速解決相關(guān)物理問題了.

下面，我們通過對(duì)連接體運(yùn)動(dòng)的深入探討研究，尋找并把握其隱性力學(xué)特征，以便靈活運(yùn)用這些特征快速解決相關(guān)物理問題.

1 連接體運(yùn)動(dòng)隱性力的特征的探尋

情形1：物體緊靠在一起或牽拉著一起沿斜面運(yùn)動(dòng)

當(dāng)兩物體緊靠在一起沿斜面向上運(yùn)動(dòng)（如圖1），或者牽拉著一起沿斜面向上運(yùn)動(dòng)（如圖2）時(shí)，設(shè)兩物體與斜面的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ1、μ2，兩物體間相互作用力大小為F12.對(duì)整體和物體m2建立牛頓第二定律關(guān)系式，可知

F12=F1-μ1m1gcosθ）m2+（F2+μ2m2gcosθ）m1m1+m2.

通過分析可知，F(xiàn)1′=F1-μ1m1gcosθ實(shí)質(zhì)是將作用在物體1上的摩擦力視為F1的一部分；F2′=F2+μ2m2gcosθ，實(shí)質(zhì)是將作用在物體2上的摩擦力視為F2的一部分.故兩物體間相互作用力存在

F12=F1′m2+F2′m1m1+m2關(guān)系.

當(dāng)兩物體緊靠在一起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)或者牽拉著一起沿斜面向下運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)整體和物體m2建立牛頓第二定律關(guān)系式，可知

F12=（F1+μ1m1gcosθ）m2+（F2-μ2m2gcosθ）m1m1+m2.

通過分析可知，F(xiàn)1′=F1+μ1m1gcosθ實(shí)質(zhì)也是將作用在物體1上的摩擦力視為F1的一部分；F2′=F2-μ2m2gcosθ實(shí)質(zhì)也是將作用在物體2上的摩擦力視為F2的一部分.因此兩物體間相互作用力也存在F12=F1′m2+F2′m1m1+m2關(guān)系.

當(dāng)μ1=μ2時(shí)，F(xiàn)12=F1m2+F2m1m1+m2，可以看出兩物體間相互作用力大小F12與重力、傾角θ及動(dòng)摩擦因數(shù)μ大小均無關(guān).

情形2：物體疊在一起沿斜面運(yùn)動(dòng)

如圖3，兩物體無論以加速度a沿斜面向上加速運(yùn)動(dòng)還是沿斜面向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，兩物體間的平行斜面方向的相互作用力F12其實(shí)都是靜摩擦力.

物體m2沿斜面向上加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，作用在其下表面的滑動(dòng)摩擦力沿斜面向下，作用在其上表面的摩擦力沿斜面向上，作用在物體m1下表面的摩擦力方向沿斜面向下，對(duì)整體和物體m2建立牛頓第二定律關(guān)系式，可知

F12=F1m2+[F2+μ（m1+m2）gcosθ]m1m1+m2.

通過分析可知，F(xiàn)2′=F2+μ（m1+m2）gcosθ實(shí)質(zhì)是將物體2下表面的滑動(dòng)摩擦力看成F2一部分結(jié)果，因此兩物體間的平行斜面方向的相互作用力也存在F12=F1m2+F2′m1m1+m2關(guān)系.

同理，當(dāng)兩物體以加速度a沿斜面向下加速運(yùn)動(dòng)時(shí)，對(duì)整體和m1（或m2）建立牛頓第二定律關(guān)系式，可知

F12=F1m2+[F2-μ（m1+m2）gcosθ]m1m1+m.

通過分析可知，F(xiàn)2′=F2+μ（m1+m2）gcosθ，實(shí)質(zhì)也是將物體2下表面的滑動(dòng)摩擦力看成F2一部分，疊體間沿運(yùn)動(dòng)方向的相互作用力大小同樣滿足F12=F1m2+F2′m1m1+m2關(guān)系.

從上面探討可以看出，只要我們將作用在物體上的滑動(dòng)摩擦力“移離”斜面，看成作用在本身物體上推力（或拉力）的一部分，則連接體運(yùn)動(dòng)的物體間沿運(yùn)動(dòng)方向的相互作用力大小，均滿足F12=F1m2+F2m1m1+m2關(guān)系.這無疑是連接體運(yùn)動(dòng)隱含的作用力關(guān)系特征.

知道連接體運(yùn)動(dòng)隱含的作用力關(guān)系特征，我們可以快速解決相關(guān)物體問題.

例1 如圖4所示，兩矩形物塊A、B質(zhì)量均為m，疊放在一個(gè)豎立著的彈簧上，彈簧的勁度系數(shù)為k，質(zhì)量可忽略不計(jì).今用一豎直向下的力F壓物塊A，彈簧在F作用下又縮短了Δl（仍在彈性限度內(nèi)），突然撤去外力F，此時(shí)A對(duì)B的壓力大小為

①F ②F+mg ③kΔl2-mg ④kΔl2+mg

分析與解 本題相當(dāng)于圖1兩物體互相靠在一起運(yùn)動(dòng)情形，而且屬于μ=0、θ=90°特殊情形，故A、B之間作用力滿足FAB=FAmB+FBmamA+mB關(guān)系.

設(shè)物塊A、B疊放在彈簧上時(shí)彈簧壓縮量為x，不施加力F時(shí)2mg=kx；施加力F后整體力平衡，F(xiàn)+2mg=k（x+Δl），F(xiàn)=kΔl.突然撤去外力F瞬間，作用在B上的彈簧彈力大小仍為k（x+Δl）=F+2mg=kΔl+2mg.

將圖4與圖1對(duì)比可看出FA=0、FB=k（x+Δl）=kΔl+2mg，故A對(duì)B的壓力大小

FAB=FAmB+FBmAmA+mB=kΔl2+mg=F2+mg

，選項(xiàng)④正確.

例2 如圖5，質(zhì)量為 的物體A 放置在質(zhì)量為 的物體B上，B與彈簧相連，它們一起在光滑水平面上作簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)過程中A、B之間無相對(duì)運(yùn)動(dòng).設(shè)彈簧的勁度系數(shù)為 .當(dāng)物體離開平衡位置的位移為 時(shí)，A、 圖5

B間摩擦力的大小等于

（A） 0； （B） ；

（C） ； （D） .

解：將圖5與圖3對(duì)比，可知 ， ， ， ， ， .故A、B間摩擦力大小 ，選項(xiàng)（D）正確.

2 連接體運(yùn)動(dòng)隱性能量特征的探尋

連接體運(yùn)動(dòng)時(shí)，有可能運(yùn)動(dòng)的高低位置發(fā)生變化，也有可能會(huì)額外牽引或擠壓彈簧，這些過程，往往會(huì)造成系統(tǒng)能量變化，運(yùn)動(dòng)形式也可能表現(xiàn)出某些特征.了解并把握這些特征，有助問題的分析解決.

對(duì)于系統(tǒng)，從能量守恒角度來說，做多少功，便要轉(zhuǎn)化多少能.設(shè)想系統(tǒng)受到人為外界拉力F作用，則人為外界拉力的做功，便等于系統(tǒng)總能量的增量.也即

WF=ΔE總=E總′-E總=（Q+Ek′+Ep′+Ep彈′+ε′）-（Ek+Ep+Ep彈+ε），

也即WF=ΔE總=E總′-E總=Q+ΔEk+ΔEp+ΔEp彈+Δe.

這是連接體運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)出的通用能量關(guān)系式，這可以說是連接體運(yùn)動(dòng)的另一個(gè)重要的隱性力學(xué)特征.該式通過對(duì)系統(tǒng)內(nèi)兩個(gè)物體各自建立動(dòng)能定理表達(dá)式，也可獲得.

該式有極強(qiáng)的通用性和易操作性.不過，為防止列式時(shí)出現(xiàn)重復(fù)量，列式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）式中等號(hào)右邊的變化量均是后來能與原來能之差.

（2）如果已經(jīng)將某系統(tǒng)中某部分重力視為外界拉力F，則該部分重力對(duì)應(yīng)部分的勢(shì)能變化量就不能包含在ΔEp內(nèi)；若是全部重力視為外界拉力，則等號(hào)右邊就不能包含全部勢(shì)能變化量ΔEp.

（3）物體摩擦發(fā)熱Q=f·s相對(duì).式中s相對(duì)是物體相對(duì)接觸面移動(dòng)的距離.

（4）沒有摩擦發(fā)熱，等號(hào)右邊式中Q不能列入；沒有彈簧，等號(hào)右邊式中ΔEp彈不能列入；沒有電場(chǎng)，等號(hào)右邊式中電勢(shì)能變化量Δε不能列入.

利用連接體運(yùn)動(dòng)通用的隱性能量關(guān)系式，我們可以快速解決相關(guān)物理解決問題.

例3 如圖6所示，一輕質(zhì)彈簧下端與固定擋板相連，上端與放在傾角θ=30°的光滑斜面上的小車A相接觸（未連接）.小車A質(zhì)量M=3 kg，內(nèi)有質(zhì)量m0=1 kg的砝碼，小車A又與 一跨過定滑輪的不可伸長(zhǎng)的輕繩一端相連，繩另一端懸掛著物體B，B的下面又掛著物體C，B和C質(zhì)量均為m=1 kg，A，B，C

均處于靜止?fàn)顟B(tài).現(xiàn)剪斷B和C之間的繩子，則A和B開始做振幅為d=5 cm的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，斜面足夠長(zhǎng)且始終靜止.（g取10 m/s2） 試求：（1）剪斷繩子的瞬間小車A的加速度大?。唬?）剪斷繩子后彈簧的最大彈性勢(shì)能；（3）當(dāng)小車A運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)，取走小車內(nèi)的砝碼，此后小車A沿斜面上滑的最大距離.

分析與解 （1）（本小題過程略）

（2）小車沿斜面向下運(yùn)動(dòng)到2d距離處，速度為零，彈性勢(shì)能最大.設(shè)該彈性勢(shì)能為Ep彈.不妨將物體B的重力視為外界恒定拉力，則

WF=-mg·2d，ΔEk=0，

ΔEp=0-（M+m0）g·2dsin30°，

ΔEp彈=Ep彈-0，

將上述量代入WF=ΔE總=E′-E總=ΔEk+ΔEp+ΔEp彈，

可求得ΔEp彈=1 J.

（3）取走小車內(nèi)砝碼，小車A沿斜面上滑會(huì)脫離彈簧，彈性勢(shì)能會(huì)減小為零.設(shè)小車上滑距離為s.不妨仍將小車B的重力視為外界恒定拉力，則

WF=mg·s， ΔEk=0，

ΔEp=Mg·ssin30°-0，

ΔEp彈=0-Ep彈=-1 J.

將上述量代入

WF=ΔE總=E總′-E總=ΔEk+ΔEp+ΔEp彈，

可求得s=0.2 m.