心有模式 手畫軌跡 巧建模型

羅文水

萬有引力定律及其在天體運動中的應用，重點是第一宇宙速度、衛(wèi)星線速度、角速度、周期等的計算、比較，是勻速圓周運動、牛頓第二定律的進一步應用，通過嫦娥奔月等我國航天事業(yè)的偉大成就，來激發(fā)學生的民族自豪感，培養(yǎng)學生愛國主義情操.筆者在長期教學實踐中對其進行總結如下：

1 理解基本規(guī)律、概念

1.1 基本規(guī)律

（1）F=GMmr2.

（2）F=mv2r=mrω2=m4π2T2r

1.2 基本概念

（1）四個距離：①萬有引力公式中r表示產(chǎn)生萬有引力的兩個物體質心間的距離簡稱引力距；

②F向公式中r表示產(chǎn)生向心力的兩個物體質心間的距離簡稱軌道半徑；

③中心天體半徑R和離地高度h.

（2）三個加速度：重力產(chǎn)生重力加速度，向心力產(chǎn)生向心加速度，萬有引力產(chǎn)生合加速度；

（3）兩個天體：中心天體和環(huán)繞天體，要求質量和密度的天體必須是中心天體.

2 心有運動模式

幾種常見天體運動模式：單星單軌、單星雙軌、雙星雙軌、單心雙軌（如圖1所示）

3 巧建天體模型

（1）兩個天體模型：①貼地衛(wèi)星，即緊貼地面運行的衛(wèi)星，是理想化的模型；②同步衛(wèi)星模型.

（2）當直接或間接涉及表面重力加速度為g和第一宇宙速度時就建立貼地衛(wèi)星；當涉及地球自轉時就應建立同步衛(wèi)星模型.

4 活選3個F

（1）3個F的選擇：在空中做勻速圓周運動的天體，若題設條件

①直接或間接涉及g和第一宇宙速度時選擇F重

②涉及v、ω 、 T時選擇F向

③涉及中心天體質量M或幾個環(huán)繞天體具有共同中心天體等其它情況時選擇F引

（2）涉及v就選擇F=mv2r；涉及ω就選擇F=mrω2；涉及T就選擇F=m4π2T2r

5 解題的基本思路

總結出應用萬有引力定律和圓周運動知識解決有關天體運動的問題的基本思路：

①建立必要的模型，畫天體運動的軌跡示意圖；

②明確研究對象及其運動過程；

③將半徑、質量、周期等物理量進行標注；

④針對所研究天體選擇3F中合適的2個F列方程.

6 應用舉例

例1 某衛(wèi)星貼近地球表面運行（簡稱貼地衛(wèi)星），離地高度可忽略，設地球半徑為R，試證明：

（1）設地球質量為M，引力常量為G.則該衛(wèi)星運行速度v=GMR.

（2）設地球表面重力加速度為g，則該衛(wèi)星運行速度v=gR.

（3）設地球質量為M，表面重力加速度為g，引力常量為G，則GM=gR2.

解析 畫出該衛(wèi)星的運動軌跡示意圖（單星單軌），如圖3所示.

（1）分析如何選擇3F：涉及v就選擇F向；涉及中心天體質量M就選擇F引.所以

由GMmR2=mv2R得：該衛(wèi)星的運行速度v=GMR.

（2）分析如何選擇3F：涉及v就選擇F向；涉及g就選擇F重.所以

由mg=mv2R得：該衛(wèi)星的運行速度v=gR.

（3）分析如何選擇3F：直接或間接涉及g就選擇F重；涉及中心天體質量M就選擇F引.所以由GMmR2得GM=gR2.

例2 已知地球自轉的周期為T，引力常量為G.若地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，試求地球同步衛(wèi)星離地高度為h.

解析 因為涉及表面重力加速度g，所以應建立貼地衛(wèi)星模型；本題涉及地球自轉周期T，應建立同步衛(wèi)星模型，因為同步衛(wèi)星周期與地球自轉周期相同；然后讓同學們畫出該衛(wèi)星的運動軌跡示意圖（單星雙軌），如圖4所示.分析如何選擇3F：貼地衛(wèi)星和同步衛(wèi)星具有共同中心天體所以選擇F引；因為貼地衛(wèi)星涉及表面重力加速度g所以應選擇F重，即

GMmR2=mg（1）

針對同步衛(wèi)星因為涉及T，所以還應選擇F向，即

GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）解得h=3gR2T24π2-R.

例3 嫦娥三號是我國嫦娥工程第二階段的登月探測器，于2013年12月2日凌晨1時30分在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心發(fā)射，攜玉兔號月球車奔向距地球38萬千米的月球；6日17時53分，嫦娥三號成功實施近月制動，順利進入距月面平均高度約100千米的環(huán)月軌道；14日21時11分在月球正面的虹灣地區(qū)，嫦娥三號又成功實現(xiàn)月面軟著陸，開始對月表形貌與地質構造等進行科學探測.若嫦娥三號環(huán)月飛行時運行周期為T，環(huán)月軌道（視為圓軌道）距月球表面高為h.已知月球半徑為R，引力常量為G，求：（1）月球的平均密度ρ；（2）月球表面的重力加速度g.

解析 （1）畫出該衛(wèi)星的運動軌跡示意圖（單星單軌），如圖5所示，分析如何選擇3F：涉及T就選擇F向；涉及中心天體質量M就選擇F引.所以

GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（1）

ρ=M43πR2（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）解得ρ=3π（R+h）3R3.

（2）因為涉及表面重力加速度g，所以應建立貼月衛(wèi)星模型，還有嫦娥三號繞月運行，畫出貼月衛(wèi)星的運動軌跡示意圖

（單星雙軌），如圖6所示.

分析如何選擇3F：貼月衛(wèi)星和嫦娥三號具有共同中心天體所以選擇F引；針對貼地衛(wèi)星因為涉及表面重力加速度g所以還應選擇F重，

即 GMmR2=mg（1）

針對同步衛(wèi)星因為涉及T，所以還應選擇F向，

即 GMm（R+h）2=m4π2T2（R+h）（2）

聯(lián)立方程（1）和（2）解得g=4π2（R+h）3R2T2.

例題4 我們的銀河系的恒星中大約四分之一是雙星.某雙星由質量不等的星體S1和S2構成，兩星在相互之間的萬有引力作用下繞兩者連線上某一定點O做勻速圓周運動，如圖7所示.已知該雙星運行角速度為ω，S1到O點的距離為r1，S1和S2的距離為r，已知引力常量為G.試求S2的質量m2.

解析 畫出雙星的運動軌跡示意圖（單心雙軌），如圖7所示.因為要求S2的質量，所以只能以S1為研究對象.分析如何選擇3F：

針對S1這一研究對象，涉及角速度就應選擇；不涉及軌道所在處加速度，就不選擇F重，所以還應選擇，即：F向=F引，也就是m1ω2r1=Gm1m2r2，解得m2=m2r1r2G.