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    探索發(fā)現(xiàn)型問題的解題策略

    2015-09-10 04:46:09洪三球
    考試周刊 2015年76期
    關(guān)鍵詞:題設(shè)四邊形梯形

    洪三球

    1.引言

    初中數(shù)學(xué)中的“探索發(fā)現(xiàn)”型試題是需要經(jīng)過推斷、補充并加以證明的命題,它不像傳統(tǒng)的解答題或證明題,定型于“條件—演繹—結(jié)論”這樣一個封閉的模式中。由于命題中缺少一定的題設(shè)或未給出明確的結(jié)論,因此必須利用題設(shè)大膽猜想、分析、比較、歸納、推理,由條件去探索不明確的結(jié)論;或由結(jié)論去探索未給予的條件;也或者去探索存在的各種可能性及發(fā)現(xiàn)所形成的客觀規(guī)律.

    在近幾年的中考試題中,探索性問題屢屢出現(xiàn),出題的角度越來越新穎,考察的能力要求越來越高,深受關(guān)注.但是,數(shù)學(xué)探索性問題的出現(xiàn)在一定程度上給學(xué)生的解題帶來了諸多困難,也給教師的教學(xué)提出了新的挑戰(zhàn),為此,筆者現(xiàn)就數(shù)學(xué)探索性問題的解題策略作探討.

    2.“探索發(fā)現(xiàn)”型問題的解題方法

    此類問題由于題型新穎、綜合性強、結(jié)構(gòu)獨特等,一般并無固定解題思路模式,但是可以從以下幾個角度考慮.

    2.1利用特殊值(特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等)進行歸納、概括,從特殊到一般,從而得出規(guī)律.

    2.2反演推理法,即先假設(shè)結(jié)論成立,根據(jù)假設(shè)進行推理,看是推導(dǎo)出矛盾還是能與已知條件一致.

    2.3分類討論法.當命題的題設(shè)和結(jié)論不唯一,難以統(tǒng)一解答時,則需要按可能出現(xiàn)的情況,分門別類加以討論求解.

    2.4類比猜想法,即由一個問題的結(jié)論或解決方法類比猜想出另一個類似問題的結(jié)論或解決方法,并加以嚴密論證.

    以上所述并不能全面概括此類命題的解題策略,因而具體操作時,應(yīng)更注重數(shù)學(xué)思想方法的綜合運用.

    3.“探索發(fā)現(xiàn)”型問題的分類及知識運用舉例

    3.1條件探索型:這類題結(jié)論明確,需要去探索發(fā)現(xiàn)使結(jié)論成立的條件.

    對應(yīng)的解題策略有:

    (1)模仿分析法.將原的題設(shè)和結(jié)論視為已知條件,分別進行演繹再有機地結(jié)合起來,推導(dǎo)出所需尋求的條件.

    (2)設(shè)出題目中指定的探索條件,將此假設(shè)為已知,結(jié)合題設(shè)條件列出滿足結(jié)論的等量或不等量關(guān)系,通過解方程或不等式,求出所需尋找的條件.

    例1:已知,如圖△ABC內(nèi)接于⊙O,(1)當點O與AB有怎樣的位置關(guān)系時,∠ACB是直角?(2)在滿足(1)的條件下,過點C作直線交AB于D,當CD與AB有什么樣的關(guān)系時,△ABC∽△CBD∽△ACD?(3)畫出符合(1)、(2)題意的兩種圖形,使圖形的CD=2cm.

    解析:(1)當點O在AB上(即O為AB的中點)時,∠ACB是直角;

    (2)∵∠ACB是直角,∴當CD⊥AB時,△ABC∽△CBD∽△ACD;

    (3)作直徑AB為5的⊙O,在AB上取一點D,使AD=1,BD=4,過D點作CD⊥AB交⊙O于C點,連接AC、BC,即為所求(如圖所示).

    評注:本題是一個簡單的幾何條件探索題,它突破了過去“假設(shè)—求證”的封閉式論證,而是給出問題的結(jié)論,逆求結(jié)論成立的條件,強化了對學(xué)生通過觀察、分析、猜想、推理、判斷等探索活動的要求.看似平常,實際上非常精彩.

    3.2結(jié)論探索型:這類題條件已知但無明確結(jié)論或結(jié)論不唯一,需要探索與條件相對應(yīng)的結(jié)論.

    對應(yīng)的解題策略有:

    (1)運用定義或定理直接導(dǎo)出結(jié)論;(2)通過具體到抽象,特殊到一般的歸納獲得結(jié)論,再給出嚴格證明;(3)通過類比,聯(lián)想,猜測出結(jié)論,再加以證明.

    例2:(2007北京市改編)我們知道:有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.類似地,我們定義:至少有一組對邊相等的四邊形叫做等對邊四邊形.

    (1)請寫出一個你學(xué)過的特殊四邊形中是等對邊四邊形的圖形的名稱;

    (2)在△ABC中,如果∠A是不等于60°的銳角,點D,E分別在AB,AC上,且∠DCB=∠EBC=∠A.探究:滿足上述條件的圖形中是否存在等對邊四邊形,并證明你的結(jié)論.

    解:(1)回答正確的給1分(如平行四邊形、等腰梯形等).

    (2)答:此時存在等對邊四邊形,是四邊形DBCE.

    如圖1,作CG⊥BE于G點,作BF⊥CD交CD延長線于F點.

    因為∠DCB=∠EBC=∠A,BC為公共邊,

    所以△BCF≌△CBG.所以BF=CG.

    因為∠BDF=∠ABE+∠EBC+∠DCB,∠BEC=∠ABE+∠A,所以∠BDF=∠BEC.

    可證△BDF≌△CEG.所以BD=CE.

    所以四邊形DBCE是等邊四邊形.

    評注:這是一道以探索結(jié)論為目的的開放型試題,它不限結(jié)論,而是讓考生根據(jù)條件去探索結(jié)論.因此,這類考題對開闊視野、啟迪智慧、培養(yǎng)發(fā)散思維能力大有好處。

    3.3存在探索型:這類問題是指在某種題設(shè)條件下,判斷具有某種性質(zhì)的數(shù)學(xué)對象是否存在.

    解題的策略與方法:先假設(shè)數(shù)學(xué)對象存在,以此為條件進行運算或推理.若無矛盾,說明假設(shè)正確,由此得出符合條件的數(shù)學(xué)對象存在;否則,說明不存在.

    例3:(2005年湖北省黃岡改編)如圖在直角坐標系中,O是原點,A、B、C三點的坐標分別為A(18,0)、B(18,6)、C(8,6),四邊形OABC是梯形.點P、Q同時從原點出發(fā),分別做勻速運動,其中點P沿OA向終點A運動,速度為每秒1個單位,點Q沿OC、CB向終點B運動,當這兩點有一點到達自己的終點時,另一點也停止運動.

    (1)求出直線OC的解析式.

    (2)設(shè)從出發(fā)起運動了t秒,當P、Q兩點運動的路程之和恰好等于梯形OABC的周長的一半時,直線PQ能否把梯形的面積也分成相等的兩部分?如有可能,請求出的值;如不可能,請說明理由.

    分析與解答:(1)設(shè)OC的解析式為y=kx,將C(8,6)代入,得k=,∴yx.

    (2)易得梯形的周長為44.

    ①如圖當Q點在OC上時,P運動的路程為,則Q運動的路程為(22-t).

    過Q作QM⊥OA于M,則QM=(22-t)×.

    ∴S(18+10)×6=84.

    假設(shè)存在t值,使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積,

    則有t(22-t)×=84×,即t-22t+140=0.

    ∵△=22-4×140<0,∴這樣的t不存在.

    ②如圖,當Q點在BC上時,Q走過的路程為(22-t),故CQ的長為:22-t-10=12-t.

    ∴S=(CQ+OP)AB=×(12-t+t)×6=36≠84×,

    ∴這樣的t也不存在.

    綜上所述,不存在這樣的值,使得P、Q兩點同時平分梯形的周長和面積.

    3.4規(guī)律探索型:是指在一定的條件下,探索有關(guān)數(shù)學(xué)對象所具有的規(guī)律性或不變性的題目.

    解題的策略與方法:根據(jù)已知條件或所提供的若干個特例,通過觀察、類比、歸納,提示和發(fā)現(xiàn)題目所蘊含的本質(zhì)規(guī)律與特征.

    例4.(2007四川樂山)如圖(15),在直角坐標系中,已知點P的坐標為(1,0),將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,再將其長度伸長為OP的2倍,得到線段OP;又將線段OP按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,長度伸長為O的2倍,得到線段OP;如此下去,得到線段OP,OP,…,OP(n為正整數(shù)).(1)求點P的坐標;(2)求△POP的面積;(3)我們規(guī)定:把點P(x,y)(n=0,1,2,3…)的橫坐標x、縱坐標y都取絕對值后得到的新坐標(|x|,|y|)稱之為點P的“絕對坐標”.根據(jù)圖中點P的分布規(guī)律,請你猜想點P的“絕對坐標”,并寫出來.

    解:(1)(2)略.

    (3)由題意知,OP旋轉(zhuǎn)8次之后回到x軸正半軸,在這8次中,點P分別落在坐標象限的平分線上或x軸或y軸上,但各點絕對坐標的橫、縱坐標均為非負數(shù),因此,點P的坐標可分三類情況:令旋轉(zhuǎn)次數(shù)為n,

    ①當n=8k或n=8k+4時(其中k為自然數(shù)),點P落在x軸上,此時,點P的絕對坐標為(2,0);

    ②當n=8k+1或n=8k+3或n=8k+5或n=8k+7時(其中k為自然數(shù)),點P落在各象限的平分線上,此時,點P的絕對坐標為(2,2;

    ③當n=8k+2或n=8k+6時(其中k為自然數(shù)),點P落在y軸上,此時,點的絕對坐標為(0,2).

    評注:本題從特殊情形入手,通過圖形的變換,尋找數(shù)量上的內(nèi)在規(guī)律,頗具新意.

    以上四個方面舉例,較全面地討論了開放性與探索性問題求解的基本思路與方法,但由于這類問題的條件或結(jié)論的不確定性,使我們解答過程中不能僅從一個思維層面上思考,應(yīng)該運用發(fā)散思維思考問題,探索要從特殊到一般,從感性到理性角度看問題,猜測要大膽,在確定解題思路方向的前提下,敢于采用所學(xué)習過的各種數(shù)學(xué)方法去嘗試,只要這樣訓(xùn)練,才能適應(yīng)新中考命題中不斷創(chuàng)新的試題的考試要求.

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