多元函數(shù)的極值與最值

徐秋倉

摘 ? ?要： 本文通過幾個(gè)例子的討論說明求多元函數(shù)的極值與最值比求一元函數(shù)極值與最值要復(fù)雜得多，某些一元函數(shù)求極值與最值的方法及結(jié)論對(duì)多元函數(shù)并不適用，因此在解題時(shí)要特別注意.

關(guān)鍵詞： 駐點(diǎn) ? ?極值 ? ?最值

我們?cè)趯W(xué)習(xí)多元函數(shù)的微積分學(xué)時(shí)知道，討論多元函數(shù)的微分及其應(yīng)用時(shí)以二元函數(shù)為主，因二元以上的函數(shù)的微分理論可以由二元函數(shù)的微分理論直接類推.一元函數(shù)到二元函數(shù)則不同，有些知識(shí)可以由一元函數(shù)的理論直接類推得到，但有些知識(shí)從一元函數(shù)類推到多元函數(shù)會(huì)產(chǎn)生新的問題.因而如果用一元函數(shù)的一些結(jié)論解決多元函數(shù)的問題，就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).本文就關(guān)于求多元函數(shù)的極值與最值問題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)做了探討.

判斷一元函數(shù)極值點(diǎn)的一般方法是：首先找出函數(shù)的駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn).其次由極值存在的第一充分條件來判斷，若某點(diǎn)左右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)相反，該點(diǎn)一定是極值點(diǎn).最后再具體判斷出是極小值點(diǎn)還是極大值點(diǎn)，從而求出函數(shù)的極值.

求可導(dǎo)的一元函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上的最值的一般方法是：首先找出函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一切駐點(diǎn)（即導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)），然后求出這些駐點(diǎn)和區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值，再進(jìn)行比較，最大者即為函數(shù)的最大值，最小者即為函數(shù)的最小值.

關(guān)于一元函數(shù)的極大值與極小值和最大值與最小值，我們有這樣的命題.

命題一：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I（有限或無窮，開或閉）上連續(xù)，若y=f（x）在I內(nèi)兩點(diǎn)x，x（x

命題二：若函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I（有限或無窮，開或閉）上可微，又在I內(nèi)有唯一駐點(diǎn)x且為極值點(diǎn)，則x就是y=f（x）在區(qū)間I上的最值點(diǎn).

這兩個(gè)命題的幾何意義非常明顯，且很容易證明.因此，在學(xué)習(xí)多元函數(shù)的極值和最值的過程中，如果也按一元函數(shù)的理論理解上述兩個(gè)命題，就很容易產(chǎn)生以下錯(cuò)誤認(rèn)識(shí).

（1）若函數(shù)z=f（x，y）在閉區(qū)域D內(nèi)可微且有多于兩個(gè)極大值（或極小值）點(diǎn)，那么在D內(nèi)，函數(shù)在閉區(qū)域D內(nèi)至少存在一個(gè)極小值（極大值）點(diǎn).

（2）若函數(shù)z=f（x，y）在有界閉區(qū)域D內(nèi)可微且有唯一的駐點(diǎn)（x，y）（f（x，y）=f（x，y）=0）且是函數(shù)的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)），則該點(diǎn)必是函數(shù)的最大值點(diǎn)（或最小值點(diǎn)）.

以上結(jié)論對(duì)多元函數(shù)都不成立.

對(duì)于錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)（1），我們有這樣的例子.

例1：討論函數(shù)z=f（x，y）=（1+e）cosx-ye的極值.

解：函數(shù)的定義區(qū)域是整個(gè)平面.

求駐點(diǎn)，解方程組

f（x，y）=-（1+e）sinx=0f（x，y）=e（cosx-1-y）=0

得無數(shù)個(gè)駐點(diǎn)（kπ，（-1）-1） ? ?k∈Z，

由f（x，y）=-（1+e）cosx，f（x，y）=-esinx，f（x，y）=e（cosx-2-y）

可知在點(diǎn)（2kπ，0）處：

在點(diǎn)（（2k-1）π，-2）處：

f（（2k-1）π，-2）-f（（2k-1）π，-2）·f（（2k-1）π，-2）=e（1+e）>0，函數(shù)無極值.

故可知此函數(shù)在全平面上有無窮多個(gè)極大值，但沒有極小值.考察此函數(shù)的曲面形態(tài)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，函數(shù)在全平面上的無數(shù)個(gè)極大點(diǎn)對(duì)應(yīng)曲面上無數(shù)個(gè)小“山包”，任意兩“山包”之間有溝，這些溝都有“斜坡”向下，不能形成“盆地”，故函數(shù)沒有極小值.

對(duì)于錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)（2），我們討論下例.

例2：設(shè)z=f（x，y）=8x+y-xy-8x，D：|x|≤，|y|≤.

解：求駐點(diǎn)，解方程組

f（x，y）=16x-y-24x=0f（x，y）=y-x=0

得兩個(gè)駐點(diǎn)（0，0）和，2.但，2不在D內(nèi)，故在D內(nèi)僅有唯一駐點(diǎn)（0，0）.

f（x，y）=16-48x ? ?f（x，y）=-1 ? ? f（x，y）=

在（0，0）點(diǎn)處，由f（0，0）-f（0，0）·f（0，0）=-3<0，f（0，0）=16>0，可以判定（0，0）為f（x，y）在D內(nèi)的唯一極小值點(diǎn).但可以求出f（x，y）在邊界點(diǎn)，處取得最小值，f，=π-π<0，因此f（0，0）=0并非最小值.

由例2可知z=g（u，v）在全平面上僅有一個(gè)駐點(diǎn)（0，0）且在該點(diǎn)處由

g（0，0）=16，g（0，0）=-1，g（0，0）=，

g（0，0）-g（0，0）·g（0，0）<0，g（0，0）=16>0，

可以判定（0，0）為z=g（u，v）在全平面內(nèi)的唯一極小值點(diǎn)，g（0，0）=0是極小值.但它并不是最小值，如z=g（tan1，tan1）=8-1-8=-<0.顯然函數(shù)的最小值不存在，因?yàn)槿矫媸情_區(qū)域，若有最小值，則一定是內(nèi)點(diǎn)，是域內(nèi)的極值點(diǎn)，但前面已證明域內(nèi)極小值點(diǎn)不是最小值點(diǎn).觀察這樣函數(shù)的曲面模型，我們可以看到顯然在極小值點(diǎn)處可以形成“盆地”，但在它周圍的高地以外有“斜坡”伸延到更低的地方，若區(qū)域有界，則最低點(diǎn)就在邊界上.

由以上討論可以看出，多元函數(shù)的極值和最值問題要比一元函數(shù)的情況復(fù)雜得多.即便在有界閉區(qū)域的邊界上有限個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值都大于區(qū)域內(nèi)點(diǎn)的函數(shù)值，也不能做出區(qū)域內(nèi)必有極小值點(diǎn)的判斷，更不能得出最小值一定在區(qū)域內(nèi)的結(jié)論.對(duì)極大值也是如此.所以對(duì)一般多元函數(shù)求最值的方法是首先找出函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的駐點(diǎn)和邊界上的最值點(diǎn)，然后比較它們的函數(shù)值確定函數(shù)的最值點(diǎn).在解決具體的實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，我們確實(shí)可以肯定函數(shù)是在區(qū)域內(nèi)部取得最值時(shí)，才能利用域內(nèi)有唯一駐點(diǎn)且是極值點(diǎn)而得出此點(diǎn)即為最值點(diǎn)的結(jié)論.

參考文獻(xiàn)：

[1]高等數(shù)學(xué).同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)教研室.高等教研出版社，1982.

[2]錢吉林，等.數(shù)學(xué)分析題解精粹.崇文書局，2003.