基于學(xué)生需求，借助直觀突顯核心概念

陳新華 于萍

一、教學(xué)背景

1.教學(xué)內(nèi)容

“整數(shù)除以整數(shù)，商是小數(shù)”是“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”中的一種類型。之前學(xué)習(xí)的“整數(shù)除法”與“小數(shù)的意義”是本課學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”的算理、算法都與整數(shù)除法基本相同，是根據(jù)小數(shù)的意義將整數(shù)部分的運(yùn)算向小數(shù)部分拓展。

人教版教材中“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”共安排了3個(gè)例題：例1是小數(shù)除以整數(shù)，除到被除數(shù)的末尾沒有余數(shù);例2是整數(shù)除以整數(shù)，除到被除數(shù)末尾仍有余數(shù)，需要添0繼續(xù)除;例3是被除數(shù)比除數(shù)小，整數(shù)部分不夠商1的情況。

2.學(xué)生情況

本單元教學(xué)之前，筆者安排學(xué)生對(duì)整個(gè)“小數(shù)除法”單元的計(jì)算部分進(jìn)行了預(yù)習(xí)，關(guān)于“除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法”學(xué)生提出了如下一些問題：

（1）為什么商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊？為什么不數(shù)小數(shù)點(diǎn)的位數(shù)呢？

（2）小數(shù)除法第一步看不看小數(shù)點(diǎn)？

（3）列豎式計(jì)算的過程中，商的小數(shù)點(diǎn)什么時(shí)候點(diǎn)？

（4）被除數(shù)位數(shù)不夠時(shí)為什么能添0繼續(xù)除？

……

從這些提問中可以分析出，學(xué)生不太能接受小數(shù)除法沒能像乘法那樣“先當(dāng)成整數(shù)算，最后再點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)”的計(jì)算方法，也不理解“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)對(duì)齊”“添0繼續(xù)除”等算法背后的算理。

基于此，本次教學(xué)調(diào)整了教材中例題的順序，先教學(xué)例2“整數(shù)除以整數(shù)，商是小數(shù)的情況”。先教學(xué)這類小數(shù)除法，可以從有余數(shù)的整數(shù)除法過渡到小數(shù)除法，這樣更有利于算理的理解、算法的遷移，同時(shí)也有利于學(xué)生更深刻地理解小數(shù)的意義——小數(shù)是比整數(shù)更精確的數(shù)。

二、教學(xué)目標(biāo)

1.探究整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的小數(shù)除法，掌握計(jì)算方法。在觀察、比較等活動(dòng)中，豐富學(xué)生對(duì)除法的認(rèn)識(shí)，深化對(duì)小數(shù)的意義的理解。

2.借助實(shí)物直觀和圖形直觀，理解“添0繼續(xù)除”“商的小數(shù)點(diǎn)與被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊”的道理，能正確地計(jì)算整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)的小數(shù)除法。

3.在分析方法、遷移運(yùn)用的過程中，學(xué)會(huì)用聯(lián)系的眼光分析問題的意識(shí)和能力。

4.初步養(yǎng)成樂于思考、言必有據(jù)的良好品質(zhì)。

三、教學(xué)過程

1.引入

①回答問題并列出算式

師：將7支鋼筆平均分給2人，怎么分？用算式表示。

生：7支鋼筆平均分給2人，每人3支還余1支。算式是7÷2=3……1。

師：將7元錢平均分給2人，怎么分？用算式表示。

生：7元錢平均分給2人，每人可以先分到3元，剩下的1元換成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。（課件演示分的過程，教師板書：7÷2=3……1;7÷2=3.5）

②對(duì)比兩題，引出課題

師：為什么都是7÷2，商卻不同？

生：因?yàn)榉值臇|西不一樣。

生：分鋼筆，剩下1支就不能再分了;分錢，剩下的1元可以換成10角繼續(xù)分。

師：對(duì)于分鋼筆的問題，可以用以前學(xué)過的有余數(shù)除法來解決，而分錢的問題則要用到新知識(shí)——小數(shù)除法來解決。這節(jié)課我們就來研究小數(shù)除法，體會(huì)一下今天學(xué)習(xí)的小數(shù)除法與之前學(xué)習(xí)的整數(shù)除法有什么聯(lián)系和區(qū)別。（板書課題：小數(shù)除法）

（點(diǎn)評(píng)：在學(xué)生已有的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)中，“除法”與“平均分”有著密切的聯(lián)系。在本課學(xué)習(xí)之前學(xué)生有比較豐富的整數(shù)除法運(yùn)算經(jīng)驗(yàn)。知道“平均分”的結(jié)果有“恰好分完”和“分完有剩余”兩種情況，這是學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的認(rèn)知基礎(chǔ)。同時(shí)，學(xué)生們又知道貨幣可以“化整為零”，平均分完剩余“1元”，可以換成“10角”繼續(xù)分，這是學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)。上面兩個(gè)例子均使用了實(shí)物直觀，其價(jià)值在于充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)，為基于經(jīng)驗(yàn)的遷移探究奠定了基礎(chǔ)，也初步回答了學(xué)生課前的疑問。）

2.新課

（1）研究算法，追問算理

①學(xué)生嘗試寫豎式

師：將7元錢平均分成2份，經(jīng)過了分—換—再分的過程，想一想，怎樣用豎式表示出這些過程？

學(xué)生嘗試寫豎式;同桌交流豎式中的哪些部分分別表示了分、換、再分的過程。

②分析豎式，追問算理

學(xué)生展示豎式的不同寫法，并說明豎式表示的分的過程。

師：大家寫的豎式有很多相同點(diǎn)，比如都在余1的后面添了一個(gè)0，為什么要添0呢？

生：添0后，1就變成10了。

生：1除以2不夠除，10除以2就夠除了。

生：不對(duì)，應(yīng)該說添0后，1就變成1.0了，就相當(dāng)于把1元換成了10角。

師：這個(gè)0能添嗎？

生：當(dāng)然能添了，這是小數(shù)末尾的0，小數(shù)末尾添多少個(gè)0都行！

師：商5的前面為什么要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)呢？

生：因?yàn)?代表的不是5個(gè)1，而是5個(gè)0.1。

生：5是10除以2算出來的，10角平均分成2份，每份是5角，是0.5元。

③板演豎式，規(guī)范寫法

教師演示豎式的書寫過程，說明計(jì)算過程中的小數(shù)點(diǎn)可以省略。

（點(diǎn)評(píng)：教師通過引導(dǎo)學(xué)生將生活經(jīng)驗(yàn)與學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行融合，平均分硬幣的直觀模型有助于幫助學(xué)生將“分—換—再分”這一平均分的過程，與豎式運(yùn)算中的“除—添‘0’—再除”的過程建立起聯(lián)系?！疤?”就是“換錢”，就是化小計(jì)數(shù)單位?！按髥挝弧辈粔蚍謺r(shí)可以“化小”計(jì)數(shù)單位（增加計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)），“夠分了”再繼續(xù)分。讓學(xué)生嘗試寫豎式，也是將探究與思考的機(jī)會(huì)留給了學(xué)生，自主探尋課前的問題。學(xué)生通過試寫、對(duì)比和分析逐步聚焦問題，抓住計(jì)數(shù)本質(zhì)分析計(jì)算方法。實(shí)物直觀模型較好地突顯了除法中的“添0”就是“計(jì)數(shù)單位轉(zhuǎn)換”這一核心。）

（2）鞏固算法，深究算理

①鞏固算法，嘗試計(jì)算11÷4

師：（板書11÷4）這個(gè)算式表示什么意思？

生：把11平均分成4份，每份是多少。

師：11個(gè)1怎樣平均分成4份呢？請(qǐng)你結(jié)合分的過程也可以模仿7÷2的豎式，嘗試寫一寫11÷4的豎式。（學(xué)生獨(dú)立思考，嘗試寫豎式計(jì)算11÷4，一生板演）

②解讀豎式，演示分的過程

學(xué)生解讀豎式的每個(gè)步驟，教師用課件演示平均分的過程。

③深入分析算理

師：為什么計(jì)算11÷4時(shí)，要添兩個(gè)0？

生：個(gè)位余3，需要在十分位上添0繼續(xù)除;十分位上又余2，就需要在百分位上添0繼續(xù)除。

師：除到末尾有余數(shù)就在后面添0，添0是在改變什么？

生：添0，就讓余數(shù)“變碎”了，變成了更小的單位。

生：計(jì)數(shù)單位小了，計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)就增多了，就夠除了。（教師結(jié)合學(xué)生的發(fā)言，再次演示課件）

④總結(jié)算法

師：比較一下，計(jì)算7÷2與11÷4時(shí)，有什么共同點(diǎn)？

生：都是整數(shù)除以整數(shù)，商是小數(shù)。

生：除到最后有余數(shù)，需要點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，添上0繼續(xù)往下除。（教師補(bǔ)充課題：整數(shù)÷整數(shù)=小數(shù)）

師：對(duì)比一下，今天我們學(xué)習(xí)的小數(shù)除法與之前學(xué)過的被除數(shù)末尾有0的整數(shù)除法相比，有什么聯(lián)系和區(qū)別嗎？（出示如右豎式）

生：我覺得今天學(xué)的小數(shù)除法與整數(shù)除法差不多，只不過需要自己先補(bǔ)0再落下來繼續(xù)除。

生：我補(bǔ)充，在添0之前要先添上小數(shù)點(diǎn)，商也要對(duì)應(yīng)著點(diǎn)小數(shù)點(diǎn)。

（點(diǎn)評(píng)：在學(xué)生對(duì)這類小數(shù)除法有了初步感悟的基礎(chǔ)上，再借助幾何直觀的演示，有利于幫助學(xué)生逐步形成對(duì)算法的抽象理解，并有助于形成對(duì)這一類計(jì)算的普遍性認(rèn)識(shí)。從直觀形式來看，執(zhí)教老師所選用的方格圖是學(xué)生認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)常見的直觀模型，因此使用它對(duì)于學(xué)生理解計(jì)算過程中每一步所得到的結(jié)果以及數(shù)的變化有支撐作用。從直觀的使用時(shí)機(jī)來看，是在學(xué)生嘗試計(jì)算之后再進(jìn)行幾何直觀的演示，這樣的安排使直觀模型發(fā)揮了驗(yàn)證結(jié)論和揭示過程的作用，有助于學(xué)生完成兩個(gè)對(duì)接，即平均分的過程與豎式書寫對(duì)接，理解直觀與理解運(yùn)算對(duì)接。）

（3）拓展延伸

①嘗試計(jì)算5÷25

師：這里還有一道整數(shù)除以整數(shù)的題目，大家嘗試用豎式計(jì)算一下。（學(xué)生獨(dú)立嘗試計(jì)算）

②討論：商是5、0.5還是0.2？

師：我看到大家的計(jì)算結(jié)果有5、0.5和0.2，哪個(gè)不對(duì)，為什么？

生：不可能是5，5除以25表示把5平均分成25份，每份連1都分不到，所以不可能是5。

生：0.5也不對(duì)，0.5乘25不等于5。

③交流自主探究中的疑問

師：得出這些錯(cuò)誤的商，是因?yàn)樵谟?jì)算過程中同學(xué)們有一些疑問，我們一起來交流一下。首先第一個(gè)問題就是5和25，哪個(gè)數(shù)寫在里面，哪個(gè)數(shù)寫在外面？

生：5是被除數(shù)，5寫在里面，25寫在外面。

生：無論什么數(shù)，都應(yīng)該將被除數(shù)寫在里面，除數(shù)寫在外面。

生：我是這么寫的，可是我不知道怎么用5除以25，5比25小?。?/p>

生：5不夠除，可以添0啊，50除以25就夠除了！

生：不能只是添0，也要添小數(shù)點(diǎn)，而且寫商時(shí)也要先寫上0，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)，商的2是2個(gè)0.1。

結(jié)合學(xué)生發(fā)言，教師演示課件如下：

④對(duì)比，補(bǔ)充算法

師：同樣是整數(shù)除以整數(shù)商是小數(shù)，這道題卻有些不同，哪兒不一樣？

生：被除數(shù)比除數(shù)還要小。

師：在整數(shù)除法中，除了0作被除數(shù)，我們從沒有遇到過這種情況。被除數(shù)比除數(shù)小，商最明顯的特點(diǎn)是什么？

生：商一定是小數(shù)。

生：商一定小于1！因?yàn)楸怀龜?shù)比除數(shù)小，每份一定不夠1。

生：商肯定是零點(diǎn)幾，被除數(shù)不夠除，需要添上0和小數(shù)點(diǎn)才能除！

⑤鞏固練習(xí)：3÷8

（點(diǎn)評(píng)：計(jì)算學(xué)習(xí)通常都是發(fā)現(xiàn)一個(gè)又一個(gè)“新情況”，并根據(jù)數(shù)學(xué)概念及運(yùn)算意義“破解”一個(gè)又一個(gè)“新情況”的過程。學(xué)生學(xué)習(xí)小數(shù)除法時(shí)有兩個(gè)重要的生長(zhǎng)點(diǎn)：第一是“個(gè)位剩余可以繼續(xù)分”，在前面的新課環(huán)節(jié)已經(jīng)重點(diǎn)探討。第二是“較小數(shù)除以較大數(shù)”的情況，這既是學(xué)生認(rèn)知的生長(zhǎng)點(diǎn)，也是本課學(xué)習(xí)的難點(diǎn)。教師在引導(dǎo)學(xué)生借助估算初步感知結(jié)果范圍的基礎(chǔ)上，再次使用幾何直觀幫助學(xué)生認(rèn)可結(jié)果，并深入理解“先添小數(shù)點(diǎn)，再添繼續(xù)除”的道理。）

3.總結(jié)質(zhì)疑

師：這節(jié)課學(xué)習(xí)了什么？在原來學(xué)習(xí)整數(shù)除法的基礎(chǔ)上，研究了哪些新問題？

生：研究了怎樣將有余數(shù)的整數(shù)除法繼續(xù)除下去。

生：研究了如果被除數(shù)比除數(shù)小怎么除。

師：你還有什么疑問嗎？

生：是不是不斷添0除下去，就一定能除盡？

生：不一定，我知道還有循環(huán)小數(shù)。

生：比如1÷3，3乘幾也不可能得幾十，那就總會(huì)有余數(shù)，怎么補(bǔ)0也除不盡！

……

四、教學(xué)點(diǎn)評(píng)

陳老師基于學(xué)情分析，對(duì)教學(xué)內(nèi)容的順序進(jìn)行了調(diào)整，本課被作為“小數(shù)除法”單元的起始課。這樣的安排，充分地調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)除法意義以及小數(shù)意義的已有認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。引導(dǎo)學(xué)生通過經(jīng)驗(yàn)遷移、方法遷移、認(rèn)知遷移，在自主探究、對(duì)比和反思中探尋方法，辨析解惑，推廣經(jīng)驗(yàn)。整數(shù)除法中有關(guān)“平均分”的經(jīng)驗(yàn)可以遷移到小數(shù)除法，整數(shù)除法中“從高位開始，一位一位地平均分”的方法可以遷移到小數(shù)除法，學(xué)生對(duì)小數(shù)意義的認(rèn)知可以遷移到小數(shù)的運(yùn)算中，即“如何算”（方法）取決于“數(shù)是什么樣的”（本質(zhì)）。這次嘗試，也是充分考慮了學(xué)生的基礎(chǔ)和需求，從實(shí)施效果來看是被學(xué)生接受的。并且能夠?qū)訉由钊氲卣归_思考，對(duì)計(jì)算方法的認(rèn)識(shí)逐漸清晰而完善。同時(shí)，本課的收獲又為接下來繼續(xù)研究“小數(shù)÷整數(shù)”“小數(shù)÷小數(shù)”奠定了新的認(rèn)知基礎(chǔ)。

小數(shù)除法是計(jì)算教學(xué)中難點(diǎn)比較集中的教學(xué)內(nèi)容。學(xué)生對(duì)其方法也常存有困惑，這些都是教師在教學(xué)中應(yīng)全面了解并給予充分關(guān)注和準(zhǔn)確回應(yīng)的。歸納起來，學(xué)生的困惑主要集中在“如何處理小數(shù)點(diǎn)”和“如何處理0”上。在本課設(shè)計(jì)中，陳老師重點(diǎn)借助“三次直觀”突破認(rèn)知難點(diǎn)，又通過“三次對(duì)比”不斷突顯核心概念。

1.三次直觀：推動(dòng)認(rèn)知發(fā)展

直觀模型能夠讓學(xué)生對(duì)數(shù)和運(yùn)算更有“感覺”。在計(jì)算中，運(yùn)用直觀首先是一種“算法”，可以讓學(xué)生直觀地“看到”結(jié)果，進(jìn)而認(rèn)可豎式計(jì)算的結(jié)論。同時(shí)還能幫助學(xué)生理解計(jì)算過程，進(jìn)而抽象計(jì)算（豎式書寫）方法的重要支撐。本課中教師先后使用了三次直觀模型。第一次是新課引入時(shí)的實(shí)物直觀模型（“分鋼筆”和“分硬幣”），讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到有時(shí)分完有剩余可以“換一換”再繼續(xù)分的現(xiàn)象。第二次是初步探索計(jì)算方法后使用的幾何直觀模型（方格圖），充分調(diào)動(dòng)了學(xué)生對(duì)小數(shù)的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)。每個(gè)正方形代表“一”，平均分成10份，每份（一小條）就是;將一小份（一小條）再平均分成10份，每份（一個(gè)小正方形）就是……將認(rèn)識(shí)小數(shù)時(shí)所使用的直觀模型應(yīng)用在計(jì)算過程中，有助于學(xué)生認(rèn)可每一步的運(yùn)算結(jié)果，并形象地理解計(jì)算過程中每一步的含義。第三次是計(jì)算5÷25（較小數(shù)÷較大數(shù)）這一難點(diǎn)時(shí)使用了幾何直觀模型，其價(jià)值首先在于讓學(xué)生認(rèn)定結(jié)果，其次是理解平均分的過程?？傊?，三次直觀模型的使用價(jià)值，都基于學(xué)生的認(rèn)知需求，有效推動(dòng)了學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展。其形式不同，價(jià)值也不盡相同。

2.三次對(duì)比：突顯核心概念

“數(shù)”與“運(yùn)算”是緊密相連的教學(xué)內(nèi)容，計(jì)算教學(xué)中算法和算理的溝通離不開 “計(jì)數(shù)單位”這一核心概念。但是核心概念是抽象的，不容易被學(xué)生感悟、理解和運(yùn)用。因此教學(xué)中，教師需要設(shè)計(jì)有效的活動(dòng)，促使學(xué)生不斷形成對(duì)核心概念的深入理解。本課中，陳老師通過“三次對(duì)比”不斷突顯了核心概念的價(jià)值。第一次是對(duì)比兩個(gè)“7÷2”的結(jié)果，平均分7支鋼筆剩余1支就不能再分了;而平均分7元錢剩余1元還可以換成10角繼續(xù)分。這次對(duì)比讓學(xué)生自然而然地接受了“換小單位可以繼續(xù)分”，雖然此時(shí)還是實(shí)際情境，但已為學(xué)生把握核心概念奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。第二次是對(duì)比小數(shù)除法與整數(shù)除法。小數(shù)除法中的“添0繼續(xù)除”與整數(shù)除法中的“落0繼續(xù)除”很相似，這種感受有助于學(xué)生算法遷移，同時(shí)又讓學(xué)生感受到整數(shù)除法中“落完了”也就除完了。而小數(shù)除法只要需要就可以不停地“添0”繼續(xù)除，這正是小數(shù)的性質(zhì)所決定的。這次對(duì)比既突顯了除法運(yùn)算中“不斷化小計(jì)數(shù)單位繼續(xù)除”的“通法”，又突顯了小數(shù)“沒有最小計(jì)數(shù)單位”的核心概念，這些有助于提升學(xué)生運(yùn)算能力。第三次是對(duì)比兩類“整數(shù)÷整數(shù)=小數(shù)”的除法，一種是“被除數(shù)>除數(shù)”，另一種是“被除數(shù)<除數(shù)”，這組對(duì)比使學(xué)生主動(dòng)地將估算與精算相結(jié)合，并進(jìn)一步聚焦了“處理0”的難點(diǎn)問題?！霸摬辉撎?”“0該添在哪兒”等問題都指向于學(xué)生對(duì)“計(jì)數(shù)單位”“數(shù)位”等概念的深入理解。

總之，面對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)困難的內(nèi)容，教師更要深入地分析學(xué)生需求，并緊緊地抓住核心概念開展教學(xué)，這有助于培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力，讓每一個(gè)新內(nèi)容的學(xué)習(xí)都是已有知識(shí)的發(fā)展點(diǎn)，同時(shí)也都能成為繼續(xù)探究的新起點(diǎn)。

（北京小學(xué) ? 100053）