帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的分析

余少洪

摘 要： 本文介紹帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，重點(diǎn)介紹了如何找圓心，確定半徑和計(jì)算時(shí)間的方法。作者在高三連續(xù)從教八年之久，感覺(jué)學(xué)生對(duì)帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律總不是很明確，感覺(jué)有必要系統(tǒng)歸納一下，希望能對(duì)部分學(xué)生起到拋磚引玉的作用。

關(guān)鍵詞： 帶電粒子 勻強(qiáng)磁場(chǎng) 運(yùn)動(dòng)分析

一、帶電粒子在磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)

1.勻速直線運(yùn)動(dòng)：若帶電粒子的速度方向與磁場(chǎng)方向平行（相同或相反），此時(shí)帶電粒子所受的洛倫茲力為零，帶電粒子將以入射速度v做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

2.勻速圓周運(yùn)動(dòng)：若帶電粒子垂直勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向進(jìn)入磁場(chǎng)，則做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

（1）qvB=m■，得出r=■

（2）T=■=■

注意：①洛侖茲力始終和速度垂直，洛侖茲力不做功。

②r與v有關(guān)，T與v、r無(wú)關(guān)。

圖3.6-2 帶電粒子在勻強(qiáng)

磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。

3.等螺距的螺旋線運(yùn)動(dòng)：當(dāng)帶電粒子與磁場(chǎng)一夾角θ（θ≠0o，900，1800）時(shí)，帶電粒子做等螺距的螺旋線運(yùn)動(dòng)。

二、帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的解題方法

正確解決這類問(wèn)題的前提和關(guān)鍵是：畫(huà)軌跡、找圓心、定半徑、求時(shí)間。

1.找圓心：圓心一定在與速度方向垂直的直線上，通常有四種情況。

（1）已知入射點(diǎn)與方向和出射點(diǎn)與方向時(shí)，可以通過(guò)入射點(diǎn)和出射點(diǎn)分別作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心。

（2）已知入射點(diǎn)與入射方向和出射點(diǎn)的位置時(shí)，可以通過(guò)入射點(diǎn)作入射方向的垂線，連接入射點(diǎn)和出射點(diǎn)，作其中垂線，這兩條垂線的交點(diǎn)就是圓弧軌道的圓心。

（3）已知圓弧兩不平行弦，兩弦的中垂線必為圓心。

（4）已知粒子進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)時(shí)的速度方向（具體的位置未知），則圓心必在速度夾角的角平分線上。

根據(jù)以上總結(jié)的結(jié)論可以分析下面幾種常見(jiàn)的不同邊界磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律：

①直線邊界（進(jìn)出磁場(chǎng)具有對(duì)稱性，如圖（a）、（b）、（c）所示）；

②平行邊界（存在臨界條件，如圖（a）、（b）、（c）所示）；

③圓形邊界（沿徑向射入必沿徑向射出，右圖所示）。

2.定半徑：

（1）利用公式r=■計(jì)算，再利用幾何圖求其他量。

（2）用幾何知識(shí)（勾股定理、三角函數(shù)等）求出半徑的大小。

3.求時(shí)間：粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)一周的時(shí)間為T(mén)，當(dāng)粒子運(yùn)動(dòng)的圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角為α?xí)r，其運(yùn)動(dòng)時(shí)間表示為：t=■T（或t=■T）.

注意：偏向角Ф，圓心角α，弦切角θ三者關(guān)系：Ф=α=2θ.

例1.如圖所示，一束電子（電量為e）以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，穿過(guò)磁場(chǎng)時(shí)速度方向與電子原來(lái)入射方向的夾角是30°，則電子的質(zhì)量是？搖？搖 ？搖？搖？搖，穿過(guò)磁場(chǎng)的時(shí)間是？搖？搖？搖 ？搖？搖。

解析：電子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，只受洛倫茲力作用，故其軌跡是圓弧的一部分，又因?yàn)镕⊥v，故圓心在電子穿入和穿出磁場(chǎng)時(shí)受到洛倫茲力指向交點(diǎn)上，如圖中的O點(diǎn)，由幾何知識(shí)知，圓心角θ=30°，所以r=d/sin30°=2d.

又由r=■得m=2dBe/v.

又因?yàn)锳B圓心角是30°，所以穿過(guò)時(shí)間t=■T=■×■=■.

例2.如圖所示，勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，寬度為d，邊界為CD和EF.一電子從邊界CD外側(cè)以速率v■垂直射入勻強(qiáng)磁場(chǎng)，入射方向與邊界CD間夾角為θ.已知電子的質(zhì)量為m、電荷量為e，為使電子能從磁場(chǎng)的另一側(cè)EF射出，則電子的入射速率v■至少多大？

解析本題考查圓周運(yùn)動(dòng)的邊界問(wèn)題.當(dāng)入射速率v■很小時(shí)，電子會(huì)在磁場(chǎng)中轉(zhuǎn)動(dòng)一段圓弧后又從CD一側(cè)射出.入射速率越大，軌道半徑越大，當(dāng)軌道剛好與邊界EF相切時(shí)，電子恰好能從EF射出，如圖所示，電子恰好能射出時(shí)，由幾何知識(shí)可得

r+rcosθ=d.

由evB=m■得r=■.

聯(lián)立得v■=■，

故電子要射出磁場(chǎng)，速率至少為■.

針對(duì)練習(xí)：如下圖，在xOy坐標(biāo)系的第一象限內(nèi)有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)E與勻強(qiáng)磁場(chǎng)B，E的大小為1.0×10■V/m，方向未知，B的大小為1.0T，方向垂直紙面向里；第二象限的某個(gè)圓形區(qū)域內(nèi)，有方向垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)B′。一質(zhì)量m=1×10■kg、電荷量q=1×10■C的帶正電微粒以某一速度v沿與x軸負(fù)方向60°角從A點(diǎn)沿直線進(jìn)入第一象限運(yùn)動(dòng)，經(jīng)B點(diǎn)即進(jìn)入處于第二象限內(nèi)的磁場(chǎng)B′區(qū)域，一段時(shí)間后，微粒經(jīng)過(guò)x軸上的C點(diǎn)并與x軸負(fù)方向成60°角的方向飛出。已知A點(diǎn)的坐標(biāo)為（10，0），C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-30，0），不計(jì)粒子重力，g取10m/s■。

（1）請(qǐng)分析判斷勻強(qiáng)電場(chǎng)E的方向并求出微粒的運(yùn)動(dòng)速度v；

（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)B′的大小為多大？

（3）B′磁場(chǎng)區(qū)域的最小面積為多少？

【思路點(diǎn)撥】洛倫茲力與安培力的關(guān)系：洛倫茲力是安培力的微觀實(shí)質(zhì)，安培力是洛倫茲力的宏觀表現(xiàn)。所以洛倫茲力的方向與安培力的方向一樣也由左手定則判定。

【解析】（1）由于重力忽略不計(jì)，微粒在第一象限內(nèi)僅受電場(chǎng)力和洛倫茲力，且微粒做直線運(yùn)動(dòng)，速度的變化會(huì)引起洛倫茲力的變化，所以微粒必做勻速直線運(yùn)動(dòng)。這樣，電場(chǎng)力和洛倫茲力大小相等，方向相反，電場(chǎng)E的方向與微粒運(yùn)動(dòng)的方向垂直，即與x軸正方向成30°角斜向右上方。

由力的平衡條件有Eq=Bqv

得v=■=■m/s=10■m/s

（2）微粒從B點(diǎn)進(jìn)入第二象限的磁場(chǎng)B′中，畫(huà)出微粒的運(yùn)動(dòng)軌跡如右圖。

粒子在第二象限內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為R，由幾何關(guān)系可知：

R=■cm=■cm

微粒做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由洛倫茲力提供，即qvB′=m■

B′=■=■代入數(shù)據(jù)解得B′=■T

（3）由圖可知，B、D點(diǎn)應(yīng)分別是微粒進(jìn)入磁場(chǎng)和離開(kāi)磁場(chǎng)的點(diǎn)，磁場(chǎng)B′的最小區(qū)域應(yīng)該分布在以BD為直徑的圓內(nèi)。由幾何關(guān)系易得BD=20cm，磁場(chǎng)圓的最小半徑r=10cm。

所以，所求磁場(chǎng)的最小面積為S=πr■=0.01π=3.1×10■m■.

參考文獻(xiàn)：

[1]物理選修3-1.人民教育出版社.

[2]劉增利.教材解讀與拓展選修3-1.開(kāi)明出版社.