與高中生數(shù)學(xué)解題錯誤作“斗爭”的策略

江潤川

摘 要：高中數(shù)學(xué)解題是學(xué)習(xí)高中數(shù)學(xué)的一個重要內(nèi)容，而在解數(shù)學(xué)題的過程中，由于各個方面的原因，學(xué)生難免會出現(xiàn)這樣或者那樣的錯誤，針對這種情況，我們?nèi)绾稳ヅc這些錯誤作“斗爭”，并且能將其改正過來，這對于我們的教學(xué)工作以及提高學(xué)生的成績都有很大的幫助，尤其是現(xiàn)在高三的學(xué)生，減少錯誤，提高正確率，在高考中取得優(yōu)異的成績更加是不言而喻的。

關(guān)鍵詞：高中生；數(shù)學(xué)解題錯誤；斗爭策略

一、與誤判錯誤作“斗爭”的策略

1. 誤判錯誤的表現(xiàn)

（1）求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；

（2）若f（n）=an，n為奇數(shù)，bn，n為偶數(shù)，是否存在k∈N*，使f（k+3）=4f（k）成立？若存在，求出所有符合條件的k值；若不存在，請說明理由。

下面的第（1）問是某個學(xué)生的解題過程：

∵P1（a1，b1）是直線與直線l：y=3x+1與y軸的交點(diǎn)

又∵數(shù)列{an}是公差d=1的等差數(shù)列

∴bn=3an+1=3n-3

這個學(xué)生的錯誤就是把與y軸的交點(diǎn)看成是（a，0），也就是說與y軸的交點(diǎn)看成是縱坐標(biāo)為0，與x軸的交點(diǎn)看成是橫坐標(biāo)為0。

2. “斗爭”的策略

（1） “把控”信息源頭。所謂源頭就是從根本上弄清楚一些基本的概念和公式定理，從錯誤的源頭去解決有關(guān)數(shù)學(xué)錯誤問題。例如，上述的例1就是對向量的夾角這個概念理解不夠清楚造成錯誤的，如果平常我們能結(jié)合圖形去學(xué)習(xí)向量的概念，那就非常的清楚知道共起點(diǎn)兩個向量所在的兩條射線所夾的角，能做到這樣，這些錯誤就不會存在的。

（2）排除干擾信息。一些數(shù)學(xué)題特別是選擇題有很多的信息，有些是利于我們解題的，有些是對我們解題有干擾的作用。我們?nèi)绾尾拍苷_的得出正確答案，那就需要我們利用特殊代替一般、數(shù)形結(jié)合、排除等數(shù)學(xué)思想和方法排除干擾信息，直奔主題，最后就可以得出正確的答案。例3：已知y=loga（2-ax）在[0，1]上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是（ ）

A、（0，1） B、（1，2）

C、（0，2） D、[2，+∞）

根據(jù)對數(shù)的概念我們可知對數(shù)的底不為1，我們可以排除C，然后根據(jù)特殊代替一般的數(shù)學(xué)思想，當(dāng)x=1，a=3時(shí)，真數(shù)2-ax=-1與真數(shù)大于0相矛盾，也排除D，由于原函數(shù)的真數(shù)部分是由一次函數(shù)構(gòu)成的，故原函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，它的單調(diào)性與一次函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性有關(guān)，簡單來說就是這兩個函數(shù)的單調(diào)性相同，原函數(shù)單調(diào)遞增，如果它們的單調(diào)性相反，原函數(shù)的單調(diào)遞減。無論我們選A或B，一次函數(shù)是單調(diào)遞減，據(jù)題意要原函數(shù)遞減，對數(shù)函數(shù)只能是遞增，那么對數(shù)函數(shù)的底數(shù)只能大于1，故答案選B。

（3）決策正確信息。決策正確信息是通過審題，對題目的一些重要的或者容易忽略的信息要著重加上標(biāo)志，防止解題的時(shí)候會忽略或者搞錯。例如上述例2就是一個很好的例子。學(xué)生錯誤就是沒有在“直線l與y軸的交點(diǎn)”中的y做上標(biāo)志，導(dǎo)致解題時(shí)，看成是“直線l與x軸的交點(diǎn)”而造成解題錯誤，因此決策正確信息是與與誤判錯誤作“斗爭”的一種重要策略。

二、與分析錯誤作“斗爭”的策略

1. 分析錯誤的表現(xiàn)

因此學(xué)生也可以掌握放縮法的規(guī)律就是要變成f（n）-f（n+1）或者f（n-1）-

f（n）的形式才可以“裂項(xiàng)”相加。

2. “斗爭”的策略

（1）吃透已知、所求。對題目的已知和所求都要清楚是什么、有什么樣的特點(diǎn)，針對這些特點(diǎn)，我們該如何選取適當(dāng)?shù)慕忸}方法進(jìn)行解決。例4的這種錯法就是一個很好的例子，學(xué)生就是沒有吃透已知中的ω<0，還是按照原來的方法去求單調(diào)區(qū)間，那就會出錯，而事實(shí)上求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間則要求的是ω>0，學(xué)生能夠吃透已知、所求就會很容易利用誘導(dǎo)公式將ω變?yōu)檎缓笤偾髥握{(diào)區(qū)間。

（2）監(jiān)控邏輯過程。也就是解題時(shí)，過程要符合我們的數(shù)學(xué)邏輯，而不是簡單的“形而上學(xué)”。例如數(shù)列的“裂項(xiàng)”求和，主要是通過“裂項(xiàng)”達(dá)到相消的目的。而例5中的裂成，表面上是沒錯，但是我們“裂項(xiàng)”的目的就是為了相消，而例5通過“裂項(xiàng)”根本沒辦法做到了，而要相消，分母就要變成f（n）-f（n+1） 這種形式，學(xué)生就會想到通過放縮的方法達(dá)到這種目的。

三、解題錯誤

1. 解題錯誤的表現(xiàn)

解題錯誤主要是指解題的思想和方法的策略不適當(dāng)所造成的錯誤。解題策略不當(dāng)通常是受到某種思維的干擾，而學(xué)生又沒有對知識進(jìn)行完善的歸納、小結(jié)，知道某些題的解法，認(rèn)為所有題都是這樣的解法，解題比較死板，不靈活。例如：在求函數(shù)的參數(shù)的取值范圍時(shí)，經(jīng)常用到的一種方法是分離系數(shù)法。但有時(shí)候用分離系數(shù)法去解決問題就比較困難。如例6：2015年的廣州市一模的理科數(shù)學(xué)試題的第21題的第1問：已知函數(shù)，求出函數(shù)g（x）的最大值，則只需a大于g（x）的最大值即可。但問題是求函數(shù)g（x）的最大值的時(shí)候，首先要對g（x）進(jìn)行求導(dǎo)，在求導(dǎo)的時(shí)候，相對就比較困難，求單調(diào)區(qū)間和極值、最值就更加困難，因此在這里采用分離系數(shù)法去解決問題不適宜。而正確的解題方法直接求導(dǎo)，結(jié)合分類討論的思想，討論單調(diào)區(qū)間，從而求出參數(shù)a的取值范圍。

2. “斗爭”的策略

（1）正確預(yù)評解題思想和方法。在審題之后，經(jīng)過分析后，估計(jì)選用哪種方法或數(shù)學(xué)思想去解這個題比較適當(dāng)。在例6中，雖然可以通過分離系數(shù)法簡單的將a分離出來，但是利用導(dǎo)數(shù)求最值時(shí)，y=g（x）這個函數(shù)求導(dǎo)比較麻煩，所以我們還是直接求導(dǎo)利用分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決比較簡單。

（2）注意一題多解，能做到舉一反三。我們在平時(shí)的解題中，要知道解決問題的數(shù)學(xué)方法和思想有哪些，這些解題的方法和思想有什么樣特征，它們分別可以解決哪些問題，能做到舉一反三。例如解決參數(shù)的取值范圍的方法有分離系數(shù)法、直接求法、分類討論和數(shù)形結(jié)合等方法。參數(shù)的次數(shù)是齊次，而且可以分離出來，且求導(dǎo)比較簡單，通常用分離系數(shù)法；而不能分離或者分離出來以后求導(dǎo)比較麻煩，通常用直接法；而函數(shù)是我們熟悉的函數(shù)，通常我們可以借助函數(shù)的圖像（數(shù)形結(jié)合法）去解決；有時(shí)有很多種情況，就要進(jìn)行分類討論。而例6雖然可以分離，但是求導(dǎo)比較麻煩，故我們還是選取直接法，經(jīng)過變形后出現(xiàn)二次函數(shù)而且有很多種情況，故我們也選用分類討論和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想去解決。但如果我們的方法比較單一，我們只會分離系數(shù)法，解這個題的時(shí)候就會相當(dāng)?shù)穆闊┝?，這個就是我們提出一題多解的好處了。

四、表達(dá)錯誤

1. 表達(dá)錯誤的表現(xiàn)

表達(dá)錯誤是指由于學(xué)生解題作答的格式不規(guī)范或者語言表達(dá)不規(guī)范造成錯誤。有這樣的一道簡單的填空題，例7：函數(shù)f（x）=的定義域是 。很多學(xué)生都是填寫“x≥1”的結(jié)果，那就出現(xiàn)錯誤，而出現(xiàn)錯誤的地方主要是定義域應(yīng)該要寫成集合或者區(qū)間的形式，但很多的學(xué)生會忽略了這種的語言表達(dá)形式。

2. 斗爭”的策略

（1）注重表達(dá)錯誤收集。平常的學(xué)習(xí)中，要求學(xué)生對自己所犯或看到別的同學(xué)有表達(dá)上的錯誤要進(jìn)行分類整理和收集，有些是經(jīng)常出現(xiàn)的就要著重做好標(biāo)記，便于自己隨時(shí)查看。

（2）規(guī)范格式訓(xùn)練。有些數(shù)學(xué)的解題格式要非常規(guī)范，如果不規(guī)范，與我們的習(xí)慣相反，會帶來不便，甚至有些會造成嚴(yán)重的錯誤。例如：在空間向量解決立體幾何的問題的時(shí)候，要建立坐標(biāo)系，有些學(xué)生并沒有在圖上標(biāo)注或者用文字說明，直接就寫出某些點(diǎn)的空間坐標(biāo)，那就錯了，坐標(biāo)系都沒建立，何來點(diǎn)的坐標(biāo)呢？或者有些學(xué)生寫一條線段中點(diǎn)的坐標(biāo)，直接憑自己的直覺就寫出來，這樣就很容易錯的，應(yīng)該先寫這條線段的兩個端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用中點(diǎn)公式寫出它的中點(diǎn)的坐標(biāo)，錯的機(jī)會就少很多。因此平常我們要在這個方面做好訓(xùn)練。

（3）注重語言表達(dá)。數(shù)學(xué)語言包括數(shù)字語言、符號語言、圖形語言。在平常的作業(yè)、測驗(yàn)和考試中要求學(xué)生注意這些數(shù)學(xué)語言的表達(dá)，特別是填空題，就算會做，但由于語言表達(dá)不規(guī)范，一樣不能得分。例如寫函數(shù)的定義域或者值域的時(shí)候要寫成區(qū)間或者集合的形式，例7就是一個例子。還有元素與幾何的關(guān)系用“？綴、？埸”來表示，集合與集合的關(guān)系用“？奐、？勱、？哿、？勐、？埭”來表示。

五、定勢錯誤

1. 定勢錯誤的表現(xiàn)

由于學(xué)生從小學(xué)到高中，學(xué)了十幾年的數(shù)學(xué)，形成一定的定性數(shù)學(xué)思維，在解題的時(shí)候還是按照普通的數(shù)學(xué)思維方式解行解答，導(dǎo)致在解題的時(shí)候有困難。如例8：設(shè)不等式2x-1>m（x2-1）對滿足-2≤m≤2的所有m都成立，求x的取值范圍。像這類用“轉(zhuǎn)換主元法”求參數(shù)的取值范圍的題目，學(xué)生由于定性思維的阻礙，不善于“反客為主”，很容易把它看成關(guān)于x的不等式，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想就很難算到結(jié)果。但是反過來，如果把原不等式化為（x2-1）m-（2x-1）<0，記f（m）=（x2-1）m-（2x-1），（-2≤m≤2），它是單調(diào)函數(shù)，只需保證f（-2）<0和

2. “斗爭”的策略

（1）防止定勢干擾。在平時(shí)如果我們遇到一些數(shù)學(xué)題，按照一般的定性數(shù)學(xué)思維是難以解決，那我們就要排除定勢干擾，改變方向，用逆向思維或者發(fā)散性思維去解決，就會出現(xiàn)“柳暗花明又一村”的感覺，其中例8就是一個例子。

（2）加強(qiáng)閱讀，拓展視野。現(xiàn)在的數(shù)學(xué)高考除了考查基本的數(shù)學(xué)知識、思想和方法、基本的數(shù)學(xué)技能之外，還考查學(xué)生的閱讀理解的能力。其中選擇題和填空題的壓軸題就是這樣的，題目給出一些我們平常沒見過的定義、概念、公式等，要求我們通過閱讀給出的材料結(jié)合我們現(xiàn)有的數(shù)學(xué)知識去解決有關(guān)的數(shù)學(xué)問題。這就需要我們有一定的閱讀能力，讀懂題目的意思，按照題目的要求去解題，那閱讀能力從何而來啊？就需要我們平常，加強(qiáng)閱讀訓(xùn)練，拓展自己的視野，使自己站得高看得遠(yuǎn)。

（3）加強(qiáng)變式，靈活思維。我們通過改變某些已知條件對問題進(jìn)行深入的探討，從而幫助我們找出一些數(shù)學(xué)上的規(guī)律，從根本找到解決問題的方法，與此同時(shí)，也可以拓展我們的數(shù)學(xué)思維，使我們的數(shù)學(xué)思維變得更加靈活。

（4）加強(qiáng)發(fā)散，一題多解。在平常我們解題的時(shí)候，解決問題的方法不要單一，而是從不同的角度思考，用不同的方法去解決有關(guān)的問題。例如，解決立體幾何中的二面角問題，很多人都用空間向量去解決，那我們有沒有用幾何法找出二面角再求出來？又或者其他的方法如射影面積法等去解決呢？通過研究我們還可以找出空間向量法和幾何法的區(qū)別和它們的適用范圍。那么我們以后碰到二面角的問題就會迎刃而解了，這個就是加強(qiáng)發(fā)散，一題多解的好處了。

六、“非智品質(zhì)”導(dǎo)致錯誤

1. “非智品質(zhì)”錯誤的表現(xiàn)

“非智品質(zhì)”是指與智力和學(xué)科的基礎(chǔ)都無關(guān)的一些因素，例如是興趣、做題的態(tài)度等。

2. “斗爭”的策略

（1）審題講究認(rèn)真。弄清楚已知條件是什么，要求什么，如果條件允許，將題目的已知和要求在圖示標(biāo)出來，這樣就不會遺漏條件和看錯題，而造成錯誤。

（2）做題講究細(xì)致。我們做題時(shí)，盡量按照解題的步驟去解題，盡量做到在草稿上的運(yùn)算區(qū)域要規(guī)范，便于做完后檢查；計(jì)算要仔細(xì)， 解題在沒有做到“穩(wěn)、準(zhǔn)、快”的程度盡量按照解題的步驟去解題，不要跳步。

（3）做題后講究檢查。我們要養(yǎng)成做完試題后檢查的習(xí)慣，主要是檢查我們有沒有漏掉或者看錯一些已知條件，計(jì)算的過程由沒有出錯等。

（4）做題后講究驗(yàn)證。主要是指我們的解題方法有沒有錯，考慮的各個方面是否周全等。

因此，在我們的平常教學(xué)中，如果我們能夠適當(dāng)?shù)倪\(yùn)用方法，不但能幫助學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)，還可以減少學(xué)生的錯誤，為和錯題作“斗爭”提供一定的資本。

總的來說，我們教師能夠知道學(xué)生解題的錯誤的原因以及糾正錯誤的策略與方法，對提高學(xué)生的成績和促進(jìn)、改善我們教師的教學(xué)工作都非常有利，可以說這是一種雙贏的局面。

（作者單位：廣東省廣州市花都區(qū)花東中學(xué)）