三維動畫里的數(shù)學(xué)奧秘

李青

你還記得動畫電影《玩具總動員》里那個忠誠又機(jī)靈的牛仔伍迪嗎？還記得《飛屋環(huán)游記》里那個八歲的探險家小胖羅素嗎？和傳統(tǒng)二維動畫片相比，你會不會覺得還是三維動畫的色彩更豐富，人物形象和情景更細(xì)膩、更逼真呢？是的，因?yàn)檫@類影片是利用日新月異的計算機(jī)技術(shù)處理、加工而成的新一代動畫片。那你知道動畫師是如何利用計算機(jī)技術(shù)制作動畫片的嗎？那些栩栩如生的人物形象是如何設(shè)計出來的呢？你可能沒有想過，設(shè)計這些形象還和數(shù)學(xué)有著密不可分的關(guān)系呢！

小小動畫 ?巨大工程

我們在觀看動畫電影的時候往往會感嘆：“為什么這么短??！”好看的動畫電影在我們看來當(dāng)然是越長越好，但實(shí)際上這些“太短”的動畫電影能夠呈現(xiàn)在我們面前可是凝聚了制作人員大量的心血與勞動。

傳統(tǒng)動畫片的誕生過程

二維畫面是平面上的畫面。用紙張、照片或計算機(jī)屏幕顯示，無論畫面的立體感有多強(qiáng)，終究只是在二維空間上模擬真實(shí)的三維空間效果。我們先來簡單地了解一下像《木偶奇遇記》這類傳統(tǒng)動畫片是如何制作出來的。二維動畫片里的畫面看上去只有寬度和高度，動畫師根據(jù)故事腳本用鉛筆在紙上勾畫出其中的人物和故事進(jìn)展，然后在叫作“透明片”的塑料紙上為這些連續(xù)的畫面著色。每一張透明片上的畫面在電影里算作一幀，要制作一部動畫片需要繪制出成千上萬張這樣的畫片。接著，在手繪的彩色背景映襯下，用特殊的照相機(jī)把所有著了色的畫片一一拍下，再用膠片把這些照片以每秒24幀的速度翻拍成電影。當(dāng)然，在制作過程中還要加上對話、音效、音樂等配套工作。過去制作二維動畫片是一項(xiàng)非常繁重的工作，現(xiàn)在隨著計算機(jī)性能的提高，很多制作環(huán)節(jié)已經(jīng)被計算機(jī)軟件取代了，比如動畫師可以直接用電子畫板繪制畫面，用計算機(jī)軟件著色，模擬攝像機(jī)的運(yùn)動和效果等。

計算機(jī)上完成的三維動畫片

三維動畫看上去既有寬度和高度，同時也有深度，因此表現(xiàn)得更真實(shí)生動。制作之前首先得有一個動人的故事腳本，然后繪制出其中的人物、主要場景和故事情節(jié)，并根據(jù)人物個性設(shè)計出他們的造型。接著把故事二維化，此后關(guān)鍵，就是在計算機(jī)的三維動畫軟件中為這些人物造型設(shè)計模型。為了讓模型能做出各種自然的表情和動作，還要配上可操作的虛擬骨骼和肌肉運(yùn)動工具。一切準(zhǔn)備就緒以后，動畫師就開始根據(jù)事先編排好的故事情節(jié)，像擺弄木偶那樣操控模型的一舉一動，讓他們按照故事進(jìn)展的需要說話、跳躍、奔跑等。再配上合適的虛擬燈光、背景、道具的效果和人物對話，在一個裝有數(shù)百臺高性能計算機(jī)的叫作“渲染農(nóng)場”的地方，完成動畫片每幀的制作以及幀的合成。后期加上修補(bǔ)、潤色和音效，一部動畫片就算基本完成了。

制作一部長約90分鐘的三維動畫電影，其投入是巨大的。20年前的《玩具總動員1》，是世界上首部完全用計算機(jī)制作的動畫電影，具有里程碑的意義。當(dāng)時動用了27位動畫師、22位技術(shù)指導(dǎo)、61位藝術(shù)家和工程師，設(shè)計了400個計算機(jī)三維模型。制作這部電影總共花了80萬個機(jī)器工時、完成了114240幀的動畫。而且渲染階段相當(dāng)耗時，就當(dāng)時的計算機(jī)性能而言，117臺計算機(jī)全天運(yùn)行，1周能渲染完成3分鐘的動畫片段，90分鐘的片子光渲染就需要花30周，7個多月的時間，而寫故事竟然花了他們3年的時間，因此，用3、4年的時間制作完成一部動畫片并不足為奇，有的甚至要花更長的時間。

精益求精的主角

牛仔伍迪是影片《玩具總動員》的主角，因此制作團(tuán)隊(duì)對他的模型設(shè)計要求特別高：他身上需要控制的活動點(diǎn)多達(dá)723個，其中臉部有212個，僅嘴巴就有58個。整部影片的合成渲染使用了117臺計算機(jī)、300個計算機(jī)處理器。他的制作簡直可以說是精益求精。

數(shù)學(xué)概念 ?無處不在

在生活中，我們看得見摸得到的任何物體都有形狀，而大多數(shù)物體的形狀都是由連續(xù)圓滑的曲線和曲面組成的。藝術(shù)家和動畫師關(guān)心的是事物的形象和形狀，而計算機(jī)能懂的只有一串串?dāng)?shù)字和方程式。如何讓計算機(jī)模擬出看似簡單的圓滑曲面或者說自然立體的形狀呢？換個專業(yè)的問法就是，如何找出合理的計算機(jī)算法生成這樣的圖像呢？這就需要先找到合理的算術(shù)、幾何、代數(shù)的運(yùn)算法則，然后將這些數(shù)學(xué)運(yùn)算法則翻譯成計算機(jī)可以操作的語言來實(shí)現(xiàn)。

如果你仔細(xì)觀看動畫片，可能不難覺察到，其實(shí)數(shù)學(xué)的概念無所不在。比如，《玩具總動員》里的伍迪從A點(diǎn)走到B點(diǎn)，就可以用方程式XB=XA+LAB表達(dá)伍迪現(xiàn)在在直角坐標(biāo)系里的位置。

動畫人物伍迪在直角坐標(biāo)系里平移的呈現(xiàn)

如果突然看到一個人物或者道具隨著鏡頭的拉近比原先的大了，比如說大了兩倍，那就可以用方程得到變大的那個數(shù)。如果有物體旋轉(zhuǎn)，就要涉及到更為復(fù)雜的包括正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在內(nèi)的三角函數(shù)理論，而平移、按比例縮/放、旋轉(zhuǎn)都離不開坐標(biāo)幾何的應(yīng)用。

真實(shí)視效 ?數(shù)學(xué)助力

上面曾提到，對于三維動畫片來說，要解決的關(guān)鍵問題是，如何讓人物和道具看上去像真的那樣有著自然流暢的曲線和曲面。皮克斯動畫工作室的科學(xué)家們找到了一種非常精妙的數(shù)學(xué)方法，解決了這個難題，這就是中點(diǎn)細(xì)分法，其中還用到了拋物線的原理。獲得完美曲線的基本思路是從一條線段開始的，先把線段從中間對分，然后再把對分過的兩段線再分別對分，按照這個規(guī)律一直分下去，找到每次對分線段的中點(diǎn)坐標(biāo)。這一過程是可以用方程表現(xiàn)的。

用這個基本解析幾何原理，我們就可以把一個四邊形變成一個橢圓形。首先畫一個等邊四邊形（a），然后均分每個邊獲得8個點(diǎn)、8條線段（b），這時候圖形基本沒有變化。接著，把這8個點(diǎn)都按照順時針方向移動線段長的1/2（c）。然后均分里圈上的線段（d），得到16個點(diǎn)。再把這16個點(diǎn)按照順時針方向移動線段長的1/2，就形成了（e）比較圓滑的曲線。再細(xì)分下去就得到32個點(diǎn)的圖形（f），如果還不滿意，可以繼續(xù)細(xì)分到64個點(diǎn)的曲線。

用中點(diǎn)細(xì)分法不僅能生成曲線和自然形狀，而且還能生成平滑的曲面。在三維動畫計算機(jī)軟件里，這些點(diǎn)和線組成的網(wǎng)格就像虛擬的骨骼和肌肉，可以任由動畫師隨意操縱。中點(diǎn)細(xì)分次數(shù)越多，物體表面越圓滑自然。

一部動畫片是否好看，不僅要看人物的臉部是否逼真，還要看他們運(yùn)動時，以及周圍道具和自然景觀是否同樣具有真實(shí)感，而這些視效也必須以數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)。

動畫片里用到的數(shù)學(xué)原理，有簡單的算術(shù)，也有復(fù)雜的幾何、函數(shù)、代數(shù)，甚至高等數(shù)學(xué)，如微分、積分。讀了上面的大致介紹，當(dāng)你再欣賞動畫片的時候，不要忘了在那些美麗動人的故事背后還有數(shù)學(xué)的功勞。數(shù)學(xué)是研究科學(xué)問題的基礎(chǔ)，無論你將來想從事化學(xué)、生物學(xué)、物理學(xué)，還是經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的工作，或者做動畫片，都要學(xué)好數(shù)學(xué)。

（責(zé)任編輯/王楓）