淺談抽象不等式求解的靈活應(yīng)用

畢言風(fēng)

函數(shù)與不等式的關(guān)系是整個高中代數(shù)部分的核心，貫穿著高中數(shù)學(xué)的始終，是高考命題人的心頭好.抽象不等式的考查也備受命題人的青睞，抽象不等式的求解我將其概括為兩步：（1）達(dá)標(biāo)（不等式兩邊形式統(tǒng)一）。（2）去“f”（利用函數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)變?yōu)檠芯孔宰兞康年P(guān)系）.本文從常見的抽象不等式求解入手，對兩個非嚴(yán)格以上的抽象不等式求解的賞析，探本溯源，探索抽象不等式求解的“形”與“質(zhì)”.

一、掀起你的蓋頭來

解析：因?yàn)閒（a-2）+f（a）>0，所以f（a-2）>-f（a）.又因?yàn)閒（x）為奇函數(shù)，所以f（a-2）>f（-a），并且f（x）在（-∞，+∞）內(nèi)遞減，a-2<-a.解得a<1，故答案選D.

評注：f（x）為分段函數(shù)，直接求解f（a），f（a-2），在代入解析式時需要分類討論，這樣求解并不簡單.那我們就要透過形式看本質(zhì).題目所給的分段函數(shù)我們可以很容易得到它是奇函數(shù)，在（-∞，+∞）內(nèi)遞減.像這種非嚴(yán)格意義上的抽象不等式，也可以遵循“兩步走”的解法，而取得事半功倍的效果.第一步：利用奇函數(shù)的性質(zhì)達(dá)標(biāo)，得到f（a-2）>f（-a）.第二步：再利用函數(shù)的單調(diào)性，去“f”得到a-2<-a，由此得解.

三、探本溯源

例3.已知函數(shù)f（x）=ex-1-ax（a∈R）

（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間.（2）若g（x）=ln（ex-1）-lnx，當(dāng)0解：（1）f′（x）=ex-a，當(dāng)a≤0時，f′（x）>0，此時f（x）在（-∞，+∞）上遞增，當(dāng)a>0時，由f′（x）>0得x>lna；由f′（x）<0，得x