碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計(jì)和特性分析

徐道臨等

摘要：設(shè)計(jì)了具有準(zhǔn)零剛度（QZS）特性的碟形橡膠隔振器，并分析了其隔振特性.隔振器由負(fù)剛度元件碟形橡膠（內(nèi)含鋼材料的筋）與正剛度元件豎直橡膠柱并聯(lián)組裝而成.基于Abaqus有限元仿真分析，給出了隔振器在靜平衡位置處出現(xiàn)零剛度時(shí)，碟形橡膠元件和豎直橡膠元件分別需要滿足的構(gòu)型和尺寸參數(shù)條件，得到了隔振器的回復(fù)力曲線，并用僅含三次的多項(xiàng)式進(jìn)行了擬合.進(jìn)一步，建立隔振系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程，基于諧波平衡法分析了系統(tǒng)的隔振特性，并與Abaqus動(dòng)力學(xué)仿真分析進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果表明，碟形橡膠準(zhǔn)零系統(tǒng)隔振性能明顯優(yōu)于相應(yīng)的線性系統(tǒng).

關(guān)鍵詞：準(zhǔn)零剛度；碟形橡膠；隔振器；低頻隔振

中圖分類號(hào)：O322；O328 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

Design and Analysis of a Disc Rubber Vibration Isolator

with Quasizerostiffness Characteristic

XU Daolin，ZHOU Jie， ZHOU Jiaxi ， ZHANG Jing

（State Key Laboratory of Advanced Design and Manufacturing for Vehicle Body， Hunan Univ， Changsha，Hunan410082， China）

Abstract：A disc rubber vibration isolator with quasizero stiffness （QZS） was designed， and the characteristics of vibration isolation were studied. The QZS isolator was devised by assembling a reinforced disc rubber with negative stiffness in parallel with a vertical rubber cylinder with positive stiffness. By using Finite Element Analysis （FEA）， the geometrical parameters of the reinforced disc rubber and the vertical rubber cylinder were achieved to ensure that the isolator's stiffness is close to zero at the static equilibrium position. And then， the characteristics of restoring force were analyzed， and the expression of restoring force was given as a polynomial only having cubic item by fitting the FEA simulations data. Moreover， the equation of motion of the vibration isolation system was obtained， and the isolation performance was evaluated theoretically based on Harmonic Balanced method， which was compared with that by using dynamic FEA. The results have shown that the QZS isolator significantly outperforms the corresponding linear one.

Key words：quasizerostiffness； disc rubber； vibration isolator； lowfrequency vibration isolation

目前低頻隔振仍是振動(dòng)工程領(lǐng)域一大研究熱點(diǎn)和難點(diǎn).隔振的方式主要有被動(dòng)隔振和主動(dòng)隔振之分，由于主動(dòng)隔振結(jié)構(gòu)復(fù)雜，成本高，目前應(yīng)用較少，譬如主動(dòng)懸架主要應(yīng)用于高檔汽車，所以被動(dòng)隔振是常見(jiàn)的隔振方法.由隔振理論可知，當(dāng)激勵(lì)頻率大于系統(tǒng)固有頻率的〖KF（〗2〖KF）〗倍時(shí)，系統(tǒng)開(kāi)始隔振.因此，固有頻率越低，隔振系統(tǒng)隔振頻帶越寬.系統(tǒng)剛度越小，固有頻率越低，但是靜位移越大，所以一般被動(dòng)隔振會(huì)遇到隔振頻帶越寬則穩(wěn)定性越差的矛盾.而準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)在靜平衡位置附近的動(dòng)剛度小，靜位移也小的目標(biāo).

準(zhǔn)零剛度的實(shí)現(xiàn)一般是通過(guò)正剛度和負(fù)剛度的并聯(lián)，其典型的設(shè)計(jì)形式是用線性的豎直彈簧和兩根斜彈簧并聯(lián)來(lái)實(shí)現(xiàn) [1，2，3].其他方法有：利用空氣彈簧實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度[4]；利用受軸壓的梁和正剛度彈簧組合[5]；利用具有軟彈簧特性的高度變形的擠壓環(huán) [6，7]；利用磁鐵或電磁鐵提供負(fù)剛度[8，9]；采用6根桿與1根拉簧組合[10]；利用凸輪滾輪彈簧機(jī)構(gòu)提供負(fù)剛度[11]；Zhou[12]通過(guò)磁鐵彈簧與機(jī)械彈簧并聯(lián)實(shí)現(xiàn)了高靜剛度低動(dòng)剛度，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了其隔振效果.

上述空氣彈簧與電磁鐵準(zhǔn)零剛度隔振器方案等存在體積大，難以實(shí)現(xiàn)工程化等缺點(diǎn)，而其他的像凸輪〖CD*2〗滾輪〖CD*2〗彈簧機(jī)構(gòu)也是原理性的驗(yàn)證，在緊湊性上有所缺陷.本文提出可實(shí)現(xiàn)緊湊化設(shè)計(jì)的碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器.首先，給出碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器的設(shè)計(jì)方案，利用Abaqus仿真分析給出碟形橡膠元件的負(fù)剛度曲線及豎直橡膠元件的正剛度曲線，并調(diào)整正負(fù)剛度元件設(shè)計(jì)參數(shù)，使碟形元件壓至水平時(shí)的負(fù)剛度值與豎直橡膠元件剛度相等，以滿足零剛度條件，進(jìn)而將正負(fù)剛度元件并聯(lián)組裝形成準(zhǔn)零剛度隔振器，并給出其回復(fù)力曲線；其次，用僅含三次方的多項(xiàng)式對(duì)回復(fù)力進(jìn)行擬合，得到近似解析表達(dá)式，并利用諧波平衡法給出力傳遞率近似解析表達(dá)式；最后，利用有限元?jiǎng)恿W(xué)分析，評(píng)估系統(tǒng)隔振性能，并與線性系統(tǒng)對(duì)比，驗(yàn)證碟形準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的優(yōu)越性.

1碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器設(shè)計(jì)

準(zhǔn)零剛度特性一般是通過(guò)把負(fù)剛度單元和正剛度單元并聯(lián)組合起來(lái)實(shí)現(xiàn).本文的準(zhǔn)零剛度隔振器是由產(chǎn)生負(fù)剛度的碟形橡膠（3）和提供正剛度的豎直橡膠塊（4）并聯(lián)組合而成的，如圖1所示.

系統(tǒng)隔振機(jī)理是：被隔振物通過(guò)（6）承載接頭與隔振器連接，碟形橡膠（3）被壓至水平位置（即系統(tǒng)的靜平衡位置），此時(shí)蝶形橡膠提供負(fù)剛度與豎直橡膠塊（6）的正剛度并聯(lián)抵消而成為零剛度，系統(tǒng)在平衡位置附近振動(dòng)時(shí)，固有頻率低，可實(shí)現(xiàn)低頻隔振.

2碟形橡膠的設(shè)計(jì)和剛度分析

碟形橡膠是該QZS隔振器設(shè)計(jì)中的重要組成部分， 首先借鑒碟形彈簧的分析理論進(jìn)行設(shè)計(jì)，再利用Abaqus仿真分析設(shè)計(jì)碟形彈簧的構(gòu)型和參數(shù).圖2為碟形橡膠的結(jié)構(gòu)示意圖，為達(dá)到提高剛度的效果，碟形橡膠里面加有鋼筋材料.圖中f為加載的力，x為碟形橡膠的變形量，t為碟形橡膠的斜面厚度，h0為碟形橡膠的斜面高度，D為碟形橡膠被壓平時(shí)的直徑.

2.1碟形彈簧的理論計(jì)算

根據(jù)彈性力學(xué)理論[13]，碟形彈簧的軸向載荷f與位移變形量x的關(guān)系是：

2.2碟形橡膠的有限元分析

考慮承載質(zhì)量m=11 kg，隔振頻率低于4 Hz.以上述理論分析為指導(dǎo)，初步設(shè)計(jì)了結(jié)構(gòu)參數(shù)h0=4 mm，D=140 mm，橡膠厚度t=10 mm.沿碟形橡膠面一周均布50根徑向筋，其橫截面半徑為r=0.6 mm.

由于設(shè)計(jì)中必須考慮上蓋（2）與碟形橡膠（3）硫化固結(jié)的圓滑過(guò)渡工藝要求，這會(huì)影響碟形橡膠剛度；另外加筋碟形橡膠的理論剛度很難確定，需要采用有限元分析獲得.圖3為碟形橡膠在受力狀態(tài)下的三維有限元模型，由于本模型具有軸對(duì)稱性，所以選擇一半的模型作為分析對(duì)象.橡膠部分的單元類型為C3D8RH，剛體部分為C3D8R， 筋單元為B31.由于本模型在平衡位置附近會(huì)呈現(xiàn)負(fù)剛度特性，故加力載荷在水平平衡位置附近會(huì)出現(xiàn)跳躍現(xiàn)象，即負(fù)剛度部分的位移捕捉不到.所以采用位移載荷法，位移施加范圍0～8 mm.

圖3表示位移云圖，其中由于碟形橡膠與承載接頭的連接處存在應(yīng)力集中現(xiàn)象，所以網(wǎng)格比其他地方要密集，這是為了提高仿真結(jié)果的可靠性.本模型通過(guò)上表面與中心點(diǎn)耦合，把中心點(diǎn)作為加載點(diǎn)，通過(guò)采集加載點(diǎn)的位移與反力，可得碟形橡膠模型的力與位移曲線，進(jìn)一步獲得剛度曲線.

圖4為微凸加筋模型，由圖2可知整個(gè)筋是埋在碟形橡膠的中性面上的.采用具有小弧度的加筋方式（圓弧拱高3 mm）是為了防止受力加筋面屈曲而產(chǎn)生非連續(xù)跳躍現(xiàn)象，加微凸實(shí)質(zhì)是對(duì)筋引入一個(gè)初始缺陷，使其屈曲發(fā)生得更加平緩.圖5（a）為非微凸時(shí)的力與位移曲線，圖5（b）為微凸模型，比較可知，微凸模型可以得到光滑的力與位移曲線.

對(duì)圖5力對(duì)位移求導(dǎo)可得隔振器的剛度曲線如圖6所示.將圖6的最低點(diǎn)坐標(biāo)（3.68，-25 565）代入式（3）可得：當(dāng)a=4 429.7，b=3.68時(shí)能得到如圖6的負(fù)剛度曲線，此時(shí)b>說(shuō)明碟簧理論分析具有指導(dǎo)意義.從圖6可以看出：碟形橡膠在x=3.68 mm處有最大負(fù)剛度k=-25 565 N/m，我們將此位置設(shè)計(jì)為準(zhǔn)零系統(tǒng)的平衡位置.因此，只需提供一個(gè)在平衡位置豎向正剛度為k=25 565 N/m的彈性元件與碟形橡膠并聯(lián)就能設(shè)計(jì)出準(zhǔn)零剛度特性.

2.3準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的Abaqus分析

圖7為碟形橡膠與豎向橡膠組合的準(zhǔn)零剛度隔振器的三維有限元模型.在位移載荷作用下的變形位移云圖表征著彈性體各點(diǎn)的位移分布狀況.圖8為力與位移曲線，圖9為力對(duì)位移求導(dǎo)后得出的剛度曲線.圖8和圖9是確認(rèn)組合系統(tǒng)是否實(shí)現(xiàn)準(zhǔn)零剛度特性的依據(jù).

為便于后面的準(zhǔn)零剛度理論分析，采用只含三次項(xiàng)的多項(xiàng)式[14]來(lái)擬合有限元的力與位移曲線，利用最小二乘法擬合出力與位移的關(guān)系為：

式中：f為系統(tǒng)所受外力；x為系統(tǒng)位移，初始位置為系統(tǒng)的靜平衡位置.圖8中的實(shí)線代表擬合曲線，虛點(diǎn)線代表有限元分析曲線.可以看出擬合曲線與仿真曲線在平衡點(diǎn)附近吻合得很好，在圖8中位移-1.12 mm到1.12 mm之間吻合程度達(dá)99.76%.針對(duì)毫米級(jí)振動(dòng)環(huán)境而言，此擬合精度足可滿足工程設(shè)計(jì)要求.

3準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)隔振性能的理論分析

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)包括豎直橡膠和碟形橡膠、被隔振物體，并將系統(tǒng)結(jié)構(gòu)阻尼近似為線性阻尼.當(dāng)幅值為F的激振力作用于被隔振物體上時(shí)，被隔振物體會(huì)在平衡位置附近振動(dòng)，如圖1（b）所示.由式（4）可知：準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)回復(fù)力可由一個(gè)只含三次項(xiàng)的多項(xiàng)式表示，所以系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程可以近似表示為無(wú)線性項(xiàng)的達(dá)芬方程：

準(zhǔn)零剛度隔振系統(tǒng)的回復(fù)力具有強(qiáng)非線性，利用諧波平衡法分析系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)特性.假設(shè)系統(tǒng)響應(yīng)頻率由激勵(lì)頻率主導(dǎo)，則可以運(yùn)用單諧波的方法來(lái)求解非線性的響應(yīng).因此式（5）的解可以設(shè)為y=Acos（ωt+φ），它的幅頻響應(yīng)方程可表示為：

力的傳遞率定義為傳遞到剛性基礎(chǔ)的力的幅值和激振力的幅值的比值：

當(dāng)阻尼比ζ=0.04，力幅值F=5時(shí)，系統(tǒng)的力傳遞率如圖10所示.圖中實(shí)線和虛線分別為準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)和相應(yīng)線性系統(tǒng)的傳遞率曲線.線性系統(tǒng)是指撤除碟形橡膠后僅由豎直橡膠塊支撐的系統(tǒng).

由圖10可知，準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的向下跳躍頻率ω1=37 rad/s，峰值A(chǔ)1≈10；線性系統(tǒng)的固有頻率ω0=48 rad/s，峰值A(chǔ)2=12.9.當(dāng)傳遞率小于1時(shí)，系統(tǒng)具有隔振性能.從傳遞率曲線看，準(zhǔn)零系統(tǒng)的隔振頻率起始于23 rad/s，而線性系統(tǒng)的隔振起始于68 rad/s；且在大頻率范圍內(nèi)準(zhǔn)零系統(tǒng)的傳遞率遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于線性系統(tǒng).相對(duì)于線性系統(tǒng)而言，準(zhǔn)零系統(tǒng)可以將隔振頻帶向低頻區(qū)拓寬66.2%，這是傳統(tǒng)方法難以企及的優(yōu)越性.

4準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)隔振性能有限元分析

當(dāng)系統(tǒng)處于靜平衡位置時(shí)，對(duì)動(dòng)力學(xué)模型加載：

碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器是典型的非線性系統(tǒng)，其響應(yīng)成分可能出現(xiàn)多諧波特性，如圖11顯示的響應(yīng)曲線.由于響應(yīng)具有周期性，對(duì)于非線性隔振系統(tǒng)，莊表中等[14] 提出力傳遞率的計(jì)算公式：

同理可得其他激勵(lì)頻率下的傳遞率曲線，見(jiàn)圖12.準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)（實(shí)線）起始隔振頻率為ω=27 rad/s，線性系統(tǒng)（虛線）起始隔振頻率大約為ω=56 rad/s.準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)可以將隔振頻帶向低頻區(qū)拓寬52%，且傳遞率遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于線性系統(tǒng).雖然圖10和圖12是分別基于理論分析方法和有限元數(shù)值分析方法，其結(jié)果有些微差異，但展示的隔振特性趨勢(shì)基本相同.理論分析中準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)帶有一個(gè)彎頭部分，這部分為非線性方程的多解區(qū)間，系統(tǒng)響應(yīng)的解取決于初始條件.進(jìn)行有限元數(shù)值分析時(shí)，初始條件均取為（0， 0），因此只能得到單一解，但從有限元分析曲線可明顯觀察到解的跳躍現(xiàn)象，即典型的非線性特性.

5參數(shù)影響分析

通過(guò)仿真過(guò)程得知，整個(gè)模型對(duì)剛度有影響的參數(shù)主要是筋的截面半徑r和筋的數(shù)量.由圖13和14可知r越大，數(shù)量越多，則該模型在靜平衡位置能承受的力越大，但是剛度曲線的開(kāi)口就越小，也就是準(zhǔn)零剛度起作用的區(qū)間越窄.所以在設(shè)計(jì)碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器時(shí)，要在承載能力與起作用區(qū)間取得平衡，也就是要選擇合適的半徑r與筋的數(shù)量.

在2.2節(jié)的隔振器結(jié)構(gòu)尺寸情況下，僅通過(guò)改變加筋方式可以成倍提高模型在靜平衡位置承載能力（被隔振質(zhì)量可成倍提高），說(shuō)明該碟形準(zhǔn)零剛度設(shè)計(jì)具有緊湊性等優(yōu)點(diǎn)，主要是因?yàn)榈螐椈稍诓桓淖兤浣Y(jié)構(gòu)尺寸條件下可成倍提高其負(fù)剛度的特性.

6 結(jié)論

本文提出了一種碟形橡膠準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的緊湊型設(shè)計(jì).結(jié)合碟形彈簧理論和有限元分析方法，詳盡地闡述了新型準(zhǔn)零剛度隔振器的建模方法和隔振特性.理論分析和有限元數(shù)值仿真結(jié)果均表明：1）碟形橡膠準(zhǔn)零剛度隔振器能夠?qū)崿F(xiàn)低頻隔振；2）可將隔振頻帶向低頻區(qū)拓展50%以上；3）在隔振頻帶區(qū)域的隔振效率要遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)隔振方法.值得指出的是：本文僅描述了單層碟形設(shè)計(jì)，它可拓展到多層碟形準(zhǔn)零剛度設(shè)計(jì).由于受制于制造能力，目前尚未能進(jìn)行實(shí)物試驗(yàn)驗(yàn)證，是個(gè)缺憾.但上述理論分析所揭示的碟形準(zhǔn)零剛度系統(tǒng)的優(yōu)越特性仍有學(xué)術(shù)借鑒意義.

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