淺談未定式極限計(jì)算的幾種方法及技巧

黃紹東

【摘 要】本文介紹了未定式的概念，并在極限運(yùn)算法則的基礎(chǔ)上，通過(guò)對(duì)未定式的極限計(jì)算方法進(jìn)行介紹，總結(jié)出未定式極限計(jì)算的幾種方法及技巧。

【關(guān)鍵詞】未定式 ? ?極限計(jì)算 ? ?方法

一、引言

極限是高等數(shù)學(xué)中最重要的內(nèi)容之一，是研究高等數(shù)學(xué)的有力工具。高等數(shù)學(xué)中一些非常重要的概念如函數(shù)的連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)的概念、定積分的概念等都是用極限來(lái)定義的。極限貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終，掌握極限概念與極限運(yùn)算是學(xué)好高等數(shù)學(xué)的前提條件，求極限成為高等數(shù)學(xué)中的基本運(yùn)算，其中，未定式極限又是極限中的一個(gè)難點(diǎn)。洛必達(dá)法則是求未定式極限的一種有效方法，它主要是通過(guò)求極限號(hào)下分式的分子、分母的導(dǎo)數(shù)達(dá)到消去未定因素的目的。但也有一些未定式極限僅用洛必達(dá)法則是解不出來(lái)的，可利用初等解法，即通過(guò)恒等變形或變量替換轉(zhuǎn)化為非不定式的極限來(lái)計(jì)算;或者利用無(wú)窮小代換法則、洛必達(dá)法則積分法、變量代換、函數(shù)轉(zhuǎn)換（取對(duì)數(shù)、因式分解）中值定理等來(lái)計(jì)算。為此，本文針對(duì)這一問(wèn)題對(duì)未定式的極限計(jì)算方法與技巧進(jìn)行歸納總結(jié)。

二、未定式的概念

我們知道，兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限或者兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限，有的存在，有的不存在，即使存在，不同的極限值也不相等。因此，我們將這類(lèi)極限稱(chēng)為未定式，并分別記兩個(gè)無(wú)窮小量之比的極限和兩個(gè)無(wú)窮大量之比的極限為“”型和“”型。

對(duì)于“”型和“”型的極限，由于不能運(yùn)用“商

的極限等于極限的商”這一法則，洛必達(dá)法則就是求這種未定式的重要且有效的方法，這個(gè)方法的理論基礎(chǔ)是柯西中值定理。

除了“”型和“”型這兩類(lèi)未定式之外，常見(jiàn)的

未定式還有“”“”“”“”“”等形式的極限。本文重點(diǎn)按未定式的類(lèi)型來(lái)對(duì)極限計(jì)算的常用幾種方法與技巧進(jìn)行探討。

三、“”型未定式的求解方法

1.通過(guò)因式分解和根式有理化，消去“”因子，再用極限運(yùn)算法則或連續(xù)函數(shù)極限的求法求解。

所謂根式有理化，是指極限式中含有（或）的題型，在求極限之前先用它們的共軛根式（或）分別乘以分子、分母，使其“”因子呈現(xiàn)出來(lái)的一種運(yùn)算。

2.利用等價(jià)無(wú)窮小的運(yùn)算性質(zhì)。

設(shè)～，～

則.

注意：乘、除可用等價(jià)無(wú)窮小替換，加減運(yùn)算最好不用等價(jià)無(wú)窮小代換，因?yàn)檎莆詹缓谩岸取币壮鲥e(cuò)。

3.洛必達(dá)法則（這是求解型極限最有效的方法）。

4.變量替換（數(shù)學(xué)運(yùn)算的原則是一步比一步簡(jiǎn)單，若用洛必達(dá)法則后，式子反而比原來(lái)的復(fù)雜，說(shuō)明用法則達(dá)不

到求解目的。此時(shí)應(yīng)想到變量替換法，通常是令

為自然數(shù)）。

四、“”型未定式的求解方法

1.洛必達(dá)法則。

2.變量替換法化為型。

3.型型或型再用法則或“抓大頭”方法

處理，求解方法有三種：

（1）通分;（2）根式有理化;（3）變量替換

4.，在用法則或者“抓大頭”方

法求解。

5.。

現(xiàn)以

注：型的極限有兩種求法：（1）用對(duì)數(shù)恒等

式化為再化為（2）利用公式

一般講，冪指函數(shù)的底呈或異化成這種形式的，（其中u（x）0），用后者簡(jiǎn)單。

五、結(jié)束語(yǔ)

總之，數(shù)學(xué)問(wèn)題千變?nèi)f化，解題方法靈活多樣。學(xué)生要能把一些基礎(chǔ)知識(shí)轉(zhuǎn)化為技能，不但可以發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，還可以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)技能技巧。求極限的方法很多，不只限于以上介紹的方法，但基礎(chǔ)知識(shí)更為重要。學(xué)習(xí)極限這一部分，要提高學(xué)生的運(yùn)算能力，還要經(jīng)常做一些相關(guān)的綜合練習(xí)，力求題型的多樣化，開(kāi)拓學(xué)生的視野，進(jìn)而加強(qiáng)學(xué)生對(duì)這一部分知識(shí)的理解與掌握，更好地培養(yǎng)他們的運(yùn)算能力、觀察分析能力。關(guān)于不定式極限的計(jì)算，只要靈活地運(yùn)用各種方法與技巧，就能有效地解決不定式極限的計(jì)算問(wèn)題。

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