不規(guī)則載荷影響地表近場垂向位移和傾斜觀測的定量計算

閆偉 牛安福 陳國琴

中國地震臺網(wǎng)中心，北京市西城區(qū)三里河南橫街5號 100045

0 引言

隨著國家“十五”前兆臺網(wǎng)建設(shè)，地震觀測系統(tǒng)已建成包括260多個GPS站點、1000多個地表和鉆孔傾斜觀測站的觀測網(wǎng)絡(luò)，為地殼運動和地表傾斜前兆觀測提供了大量的數(shù)據(jù)支撐，不少學(xué)者探討了震前形變異常的變形特征(張晶等，2006、2007、2009;邱澤華等，2010;邱澤華，2014;牛安福等，2009、2012、2013)。另一方面，隨著基礎(chǔ)設(shè)施建設(shè)的增多，各臺站的觀測環(huán)境受到的影響益發(fā)嚴(yán)重，臺站周邊存在著越來越多的載荷影響(朱航等，2010;劉瑞春等，2012;馬棟等，2014)。

載荷對周邊變形觀測影響的理論分析在地震前兆觀測或地基沉降監(jiān)測研究中具有一定意義(張蕙蘭，2013;黃慶享，2005;楊國春等，2002)。由于實際載荷多為不規(guī)則形狀，在處理相關(guān)問題時，不少學(xué)者利用數(shù)值分析技術(shù)探討其周邊位移應(yīng)變解(Wang，2000、2002;杜瑞林等，2004)，也有學(xué)者通過將模型簡化成質(zhì)心點載荷模型的方式獲得該問題的近似解析解(胡衛(wèi)建等，2002;邱澤華，2004;駱鳴津等，2008;李祖寧等，2007)。由于質(zhì)心簡化模型的前提是水平距離相對載荷尺寸較長，但此時載荷的影響量也會隨著距離的增加而減小。為了精細(xì)刻畫載荷近場的影響，有必要研究不規(guī)則形狀載荷模型近場解析解的計算方法。由于目前大部分前兆觀測為地表或近地表觀測，因此本文將研究重點定位在單層介質(zhì)的不規(guī)則形狀解析解模型的建立和分析。

1 質(zhì)心點狀載荷模型周邊垂向位移場和傾斜場

1.1 質(zhì)心點狀載荷模型周邊垂向位移場

在均勻的、各向同性的半無限彈性體表面作用一豎向集中力P時(圖1)，任意點M(x，y，z)的豎向正應(yīng)力及豎向位移(沉降)可由布西內(nèi)斯克解(Boussinesq，1885)計算。

M(x，y，z)點的豎向正應(yīng)力σz及豎向位移w可表示成如下形式

圖1 質(zhì)心點狀載荷模型坐標(biāo)示意圖

公式(1)、(2)中R為M點到集中力作用點P的距離，為楊氏模量，μ為泊松比。

以砂巖介質(zhì)為例，取楊氏模量E=4×107Pa，泊松比μ=0.25，點狀集中載荷力P=2.0×104N，利用公式(2)即可得到載荷周邊垂向位移場空間分布(圖2(a))和深度為0.1m處水平切面的垂向位移等值面的分布(圖2(b))。

圖2 (a)點狀載荷模型垂向位移場三維切片圖;(b)深度為0.1m水平切面上的垂向位移分布圖

由圖2可以看出，點狀載荷所引起的垂向位移場的主要特征為:①載荷集中點處垂向位移最大;②垂向位移自載荷中心向x、y、z三個方向快速衰減;③深度為0.1m水平切面垂向位移也表現(xiàn)出自載荷中心向x、y方向快速衰減的趨勢。

1.2 質(zhì)心點狀載荷模型周邊傾斜場

由于受到垂向載荷而引起的傾斜角度可表示為垂向位移與水平某方向位移之比的反正切函數(shù)。由公式(2)對R求偏導(dǎo)可得

公式(3)、(4)相乘可得

點狀載荷引起x和y方向的傾斜角度φx和φy分別為

同樣，以砂巖介質(zhì)為例，取楊氏模量E=4×107Pa，泊松比μ=0.25，點狀集中載荷力P=2.0×104N，利用公式(7)即可得到深度為0.1m處水平切面的x和y方向傾斜場等值面分布(圖 3)。

圖3 深度為0.1m水平切面的傾斜場等值面圖

為了更直觀地顯示載荷周邊傾斜場的分布情況，我們定義水平面傾斜的標(biāo)量值

點狀載荷周邊傾斜標(biāo)量值及其深度為0.1m平面的傾斜方向如圖4所示。

由點狀載荷模型傾斜場分布(圖3、4)可以看出，在深度為0.1m的水平切面上，傾斜量值最大的點并不在點載荷的位置，而是存在一定的水平偏離;x和y傾斜方向指向載荷中心。

圖4 (a)點載荷周邊傾斜標(biāo)量值θ的三維空間分布;(b)深度為0.1m水平切面的傾斜矢量圖

2 不規(guī)則形狀載荷模型的建立

實際載荷的不規(guī)則形狀可分為載荷分布均勻的二維不規(guī)則形狀(如無邊坡的平底池塘)、載荷分布不均勻的二維不規(guī)則形狀(如無邊坡的斜底池塘)、載荷密度均勻的三維不規(guī)則形狀(如相同密度的山體)、載荷密度不均勻的三維不規(guī)則形狀(如不同密度的山體)。為便于研究，可將其歸納為二維不規(guī)則形狀載荷模型和三維不規(guī)則形狀載荷模型。

2.1 二維不規(guī)則形狀載荷模型的建立

針對二維不規(guī)則形狀載荷模型，可將該模型的總作用力P進(jìn)行散點化，各散點的作用力記為Pi，分別求取各散點對某點M的垂向位移Wi和傾斜量 (Txi，Tyi)，然后求所有散點對M點作用的矢量和，即可得到該點的垂向位移w和傾斜量(Tx，Ty)。設(shè)網(wǎng)格個數(shù)為n，各變量間的關(guān)系為

其散點化過程如圖5所示。在實際計算時，可將二維不規(guī)則模型以不同長度格網(wǎng)化，利用公式(2)、(5)、(6)分別求取M點的wi和Txi和Tyi，然后利用公式(10)、(11)求取該點的垂向位移場w和傾斜矢量(Tx，Ty)。

由于經(jīng)過散點化的處理，因此需要驗證計算結(jié)果隨格網(wǎng)數(shù)目變化的收斂特征。圖6給出了在楊氏模量E=4×107Pa、泊松比μ=0.25、總載荷P=2.0×104N的條件下，M點(1.5m，-1.5m，-0.2m)處垂向位移w及其一階差分 Δw隨不同的格網(wǎng)劃分而發(fā)生的變化。從圖中可以看出，隨著格網(wǎng)數(shù)的增加，垂向位移收斂于-2.3663×10-5m(圖6(a))，垂向位移的一階差分結(jié)果收斂于0(圖6(b));x和y方向傾斜角度分別收斂于-7.8278×10-6rad和8.2101×10-6rad(圖6(c)、(e))，其一階差分結(jié)果收斂于0(圖6(d)、(f))。該收斂特征也說明了運用散點化方法計算二維不規(guī)則形狀載荷模型的正確性和可行性。

圖5 二維不規(guī)則模型散點化過程示意圖

圖6 二維不規(guī)則形狀載荷模型M點垂向位移、x方向傾斜角度、y方向傾斜角度與格網(wǎng)數(shù)的關(guān)系

2.2 三維不規(guī)則形狀載荷模型的建立

三維不規(guī)則形狀載荷模型的建模思路與二維不規(guī)則形狀載荷模型的建模方法基本一致，也是將不規(guī)則形狀載荷進(jìn)行散點化處理(圖7)。不同之處為:①針對密度均勻的三維不規(guī)則形狀載荷，可將散點的高程(Hi)作為權(quán)重對總載荷P進(jìn)行重新分配(圖8);②針對密度不均勻的三維不規(guī)則形狀載荷，可將散點的高程(Hi)和密度(ρi)的乘積作為權(quán)重對載荷P進(jìn)行重新分配，即(12)式。

圖7 三維不規(guī)則形狀載荷模型散點化過程示意圖

圖8 三維不規(guī)則形狀載荷高程空間分布

由于密度不均勻的三維載荷和密度均勻的三維載荷在處理過程中只是權(quán)重的定義不同，為了清晰地說明載荷的建模方法，本文重點討論密度均勻的三維載荷模型的建立方法。與二維不規(guī)則形狀載荷模型類似，由于存在散點化的處理過程，需要驗證計算結(jié)果隨格網(wǎng)數(shù)目變化的收斂特征。圖9為在楊氏模量E=4×107Pa、泊松比μ=0.25、總載荷力P=2.0×104N的條件下，M點(1.5m，-1.5m，-0.1m)處垂向位移w、x方向傾斜Tx、y方向傾斜Ty及其一階差分隨格網(wǎng)劃分的關(guān)系。由圖可以看出，隨著格網(wǎng)數(shù)的增加，垂向位移收斂于-2.3977×10-5m(圖9(a))，垂向位移的一階差分結(jié)果也收斂于0(圖9(b))。x和y方向傾斜角度分別收斂于-8.005×10-6rad和8.5383×10-6rad(圖9(c)、(e))，其一階差分結(jié)果也收斂于0(圖9(d)、(f))。該收斂特征也說明運用散點化方法計算三維不規(guī)則形狀載荷模型的正確性和可行性。

圖9 三維不規(guī)則形狀載荷模型M點垂向位移、x方向傾斜角度、y方向傾斜角度與格網(wǎng)數(shù)的變化關(guān)系

3 兩種載荷模型計算結(jié)果的比較

為了討論不規(guī)則形狀載荷模型和質(zhì)點載荷模型的差異性，本文計算了在y=0.4m，深度為0.1m時沿x方向二維不規(guī)則形狀載荷模型(圖5)和質(zhì)心模型引起的垂向位移w、x方向傾斜量Tx、y方向傾斜量Ty的變化(圖10(a)、(c)、(e))，為了進(jìn)一步揭示二者的差異性，本文求出模型的差異與不規(guī)則載荷模型結(jié)果的百分比隨距離的變化并繪成圖10(b)、(d)和(f)。

由圖可以看出，兩種模型在遠(yuǎn)距離端的差異呈逐漸減小的趨勢，即兩種模型的垂向位移w、x方向傾斜量Tx、y方向傾斜量Ty在遠(yuǎn)距離端計算結(jié)果趨于一致(圖10(a)、(c)、(e))。近距離端兩種模型的差異性比較大，從w、Tx、Ty的差異百分比圖(兩模型計算結(jié)果差與不規(guī)則載荷模型結(jié)果的比值)也可以看出二者的差異性較大，有的甚至達(dá)到了50%以上(圖10(b)、(d)、(f))，該現(xiàn)象也說明在研究近距離端的垂向位移和傾斜場問題時，不應(yīng)將載荷模型作簡單的質(zhì)點化處理。

圖10 根據(jù)兩種模型計算得到的垂直位移、x方向傾斜及y方向傾斜的結(jié)果比較

4 不規(guī)則形狀模型周邊垂向位移場和傾斜場空間分布特征

運用前文提到的二維不規(guī)則載荷模型的建立方法，本文計算了圖5所示的不規(guī)則二維形狀在z=-0.1m處的水平切面的垂向位移w、x方向傾斜Tx和y方向傾斜Ty的空間分布等值線圖(圖11)。可以看出，在深度為0.1m處的水平切面，垂向位移場的空間分布并非圓形，而是與不規(guī)則形狀具有一定相關(guān)性的不規(guī)則圖形(圖11(a));Tx和Ty場的空間展布形狀也與質(zhì)點載荷引起的規(guī)則傾斜場(圖3)具有一定的差異性，并表現(xiàn)出了和載荷形狀具有一定的相關(guān)性。

由于三維模型受到散點高度權(quán)重的影響，三維不規(guī)則載荷模型在z=-0.1m處的水平切面計算結(jié)果的空間不規(guī)則性更加突出。在深度為0.1m的水平切面，垂向位移場的空間分布也非圓形(圖12(a));Tx和Ty場的空間展布形狀也與質(zhì)點載荷引起的規(guī)則傾斜場(圖3)在近場區(qū)域的差異性更大(圖12(b)、(c))。引起該差異性的原因除了載荷的水平投影的形狀不規(guī)則外，還和其散點化后載荷分配時的權(quán)重(高程)具有一定的關(guān)系。

5 結(jié)論與討論

圖11 二維不規(guī)則載荷模型在深度為0.1m水平切面上垂向位移場(a)、x方向傾斜場(b)、y方向傾斜場(c)的空間分布

綜上所述，不規(guī)則載荷在近場的垂向位移和水平向傾斜場可使用本文敘述的方法建立。二維不規(guī)則載荷模型的建立步驟可歸納為:首先對載荷形狀進(jìn)行散點化，其次根據(jù)不規(guī)則多邊形內(nèi)散點個數(shù)對載荷P進(jìn)行平均分配，然后分別計算各散點載荷對某點的影響，最后矢量化合成整個不規(guī)則載荷對該點的影響。三維不規(guī)則載荷模型的建立步驟可歸納為:首先對三維載荷形狀在水平面的投影進(jìn)行散點化，其次利用不同的散點的高程作為權(quán)重進(jìn)行載荷P的重新分配，然后分別計算各散點載荷對某點的影響，最后矢量化合成整個不規(guī)則載荷對該點的影響。

相對以往質(zhì)點簡化模型，不規(guī)則形狀載荷模型的建立可較細(xì)致地刻畫不規(guī)則載荷近場的垂向位移和水平向傾斜場的特征?？蔀榈乇鞧PS、洞體傾斜和鉆孔傾斜類觀測載荷影響分析提供理論計算依據(jù)。

本模型的適用條件是:①本模型只適用于單層介質(zhì)模型問題;②在重新建立載荷P時，本文并未考慮散點之間存在垂向作用力或剪應(yīng)力的情況。

12 三維不規(guī)則載荷模型在深度為0.1m水平切面上垂向位移場(a)、x方向傾斜場(b)、y方向傾斜場(c)的空間分布

致謝:本研究中作者曾與中國地震局地震預(yù)測研究所張晶研究員和劉琦博士進(jìn)行過有益的咨詢和討論，在成文過程中得到了中國地震臺網(wǎng)中心馬未宇博士和解滔博士的指導(dǎo)和幫助，匿名審稿人對論文的改進(jìn)提供了中肯的建議，在此一并表示感謝。