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      3維Copula函數(shù)在降雨特征多變量頻率分析中的應(yīng)用

      2015-09-03 01:52:38劉成林周玉文
      關(guān)鍵詞:線型邊際降雨量

      劉成林,周玉文,隋 軍,高 琳

      (1.北京工業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院,100124北京;2.廣州市市政工程設(shè)計研究院,510060廣州;3.北京市水質(zhì)科學(xué)與水環(huán)境恢復(fù)重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,100124北京)

      我國大部分城市的洪水主要由暴雨形成,與通過流量資料估算設(shè)計洪水相比,根據(jù)暴雨資料推求設(shè)計洪水是一種間接方法[1],但在實(shí)際工作中經(jīng)常遇到所在地點(diǎn)流量系列太短無法直接推求設(shè)計洪水的現(xiàn)象.降雨監(jiān)測較為系統(tǒng),數(shù)據(jù)序列長且完整,因此,通?;诮涤觊_展水文分析,進(jìn)而確定城市洪澇系統(tǒng)設(shè)施規(guī)模.一般地,一場降雨通??捎糜炅?、歷時和雨強(qiáng)等特征量以及雨量在時空上的變化來反映,設(shè)計降雨是地表徑流計算的重要參數(shù),主要包括以下特征要素:頻率(重現(xiàn)期)、雨量(設(shè)計降雨量、次降雨量、降雨峰值)、歷時(設(shè)計歷時、總歷時、峰值位置).目前,暴雨強(qiáng)度公式是普遍采用的設(shè)計降雨計算方法,是基于降雨量的單變量分析,不具備計算影響洪澇設(shè)施過流和調(diào)蓄能力的“降雨峰值”和“總降雨量”等特征量的功能.近幾十年來,人們已經(jīng)認(rèn)識到采用單變量極值分布進(jìn)行頻率分析研究暴雨事件存在一定的局限性,開始探討利用兩變量聯(lián)合分布描述暴雨不同特征值之間的相互關(guān)系,以更加全面地描述整個暴雨事件[2],但用3變量及以上的聯(lián)合分布描述暴雨事件的研究還鮮有報道.

      Copula[3-4]是求解多變量概率問題優(yōu)良的數(shù)學(xué)工具,該函數(shù)可將多個隨機(jī)變量的邊際分布連接起來得到其聯(lián)合分布,是研究與變量尺度無關(guān)的相關(guān)性度量的一種途徑,同時可以基于給定的邊際分布構(gòu)造聯(lián)合分布.近幾年,Copula函數(shù)理論廣泛應(yīng)用于降雨[2,5-7]、洪水[8-9]、干旱[10]和枯水[11]的多特征屬性頻率分析等問題.為此,以降雨特征量(設(shè)計降雨量、次降雨量和降雨峰值)頻率研究為背景,引入3維Copula函數(shù)構(gòu)建降雨特征變量的聯(lián)合概率分布模型,研究不同量級降雨特征變量的遭遇概率及條件概率,以期為城市防洪排澇提供科學(xué)參考.

      1 研究方法

      1.1 Copula 函數(shù)簡介

      Copula函數(shù)是用來描述變量間相依關(guān)系的函數(shù),不限定變量的邊際分布.通過Copula模型可以將k個任意形式的邊際分布連接起來,生成一個多變量聯(lián)合概率分布模型.Copula函數(shù)的原理可參考文獻(xiàn)[3-4,8].Copula函數(shù)主要有3種類型,即橢圓型、阿基米德型和二次型.目前,在水文領(lǐng)域應(yīng)用最廣泛的是Archimedena Copula函數(shù),其常見的3維Copula函數(shù)主要有 Clayton copula、Gumbel-Hougaard(GH)copula、Ali-Mikhail-Haq(AMH)copula和Frank copula(見表1).

      表1 3維Copula函數(shù)

      1.2 參數(shù)估計及擬合檢驗(yàn)

      Copula函數(shù)不限定變量的邊際分布,確定適宜的邊際分布是應(yīng)用Copula函數(shù)的第一步.選用3種在水文頻率分析中常用的分布線型(P-Ⅲ型分布曲線(P3)、對數(shù)正態(tài)分布曲線(LN2)和廣義極值分布曲線(GEV))分別對“設(shè)計降雨量”、“降雨峰值”和“次降雨量”進(jìn)行曲線擬合,采用概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法(PPCC)、擬優(yōu)平方和準(zhǔn)則法(RMSE)和擬優(yōu)絕對值準(zhǔn)則法(MAE)3種擬合優(yōu)度檢驗(yàn)方法確定出與各變量數(shù)據(jù)系列擬合效果最好的邊際分布線型[12].

      Copula函數(shù)的參數(shù)估計主要有非參數(shù)法和參數(shù)法,其中非參數(shù)法要求有明確的Kendall'sτ與Copula參數(shù)θ的表達(dá)式,適用于單參數(shù)2維Copula函數(shù)的參數(shù)確定.而參數(shù)法相對比較靈活,本文采用參數(shù)法中的Inference of Functions for Margins(IFM)[13]方法確定 3維 Copula函數(shù)的參數(shù).

      IFM方法是將邊際分布的參數(shù)與Copula函數(shù)的參數(shù)分別進(jìn)行估計,該過程由以下步驟完成.

      采用極大似然法(ML方法)[14]估計邊際分布中的參數(shù),即

      采用ML方法估計Copula中的參數(shù)

      Copula函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中的一個主要問題就是函數(shù)形式的選擇.Embrechts等[15]對不同的Copula函數(shù)模型進(jìn)行了比較,發(fā)現(xiàn)采用不同形式的Copula函數(shù)可能導(dǎo)致不同的分析結(jié)果,因此,選擇合適的Copula函數(shù)尤為重要.檢驗(yàn)與評價Copula函數(shù)的方法較多,本文采用AIC信息準(zhǔn)則法(AIC)及離差平方和最小(OLS)準(zhǔn)則法[9]對Copula函數(shù)的擬合優(yōu)度進(jìn)行評價.

      1.3 風(fēng)險概率

      給定不同的變量條件可以得到不同的條件概率分布.主要考慮以下兩種條件風(fēng)險概率.

      1)給定X3=x3,條件概率分布函數(shù)可表示為

      式中fX3(x3)為x3的概率密度函數(shù),其他符號意義同前.

      2)給定X3≤x3,條件概率分布函數(shù)可表示為

      2 研究區(qū)域概況

      廣州地處廣東省東南部,珠江三角洲北緣,范圍在東經(jīng) 112°57'~114°3',北緯 22°26'~23°56',瀕臨南海,毗鄰港澳.廣州地處亞熱帶沿海,屬海洋性亞熱帶季風(fēng)氣候,全年平均氣溫21.97℃,平均相對濕度68%,無霜期300~341 d,日照時數(shù)為1 571~2 053 h,市區(qū)年降雨量在1 700 mm以上.全年中,4~6月為雨季,7~9月天氣炎熱,多臺風(fēng).

      以廣州市天河區(qū)五山站1961~2012年逐分鐘自記數(shù)據(jù)為例,采用降雨強(qiáng)度法[16]將連續(xù)的降雨時間序列分割成降雨事件,按照“降雨強(qiáng)度小于0.1 mm/h,且持續(xù)時間超過10 h”的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行降雨數(shù)據(jù)分割,將1961~2012年的降雨時間序列分割為7 833場降雨事件,然后采用年最大值法進(jìn)行取樣.以設(shè)計歷時720 min(即12 h)為例,取樣樣本52個,進(jìn)而統(tǒng)計“設(shè)計降雨量”、“次降雨量”和“降雨峰值”3個表征雨型的特征變量,計算3者的聯(lián)合概率分布和各條件下的遭遇概率分布.

      3 結(jié)果分析

      3.1 邊際分布確定

      圖1為“設(shè)計降雨量”、“降雨峰值”和“次降雨量”邊際分布的擬合結(jié)果.可以看出,所采用的3種分布線型與實(shí)測點(diǎn)據(jù)吻合較好,不同線型稍有差距,但總體上看均具有較好的擬合效果.

      為了定量評價各分布線型的擬合效果,分別計算了各分布線型對于不同觀測數(shù)據(jù)的RMSE、MAE及PPCC,結(jié)果見表2.對設(shè)計降雨而言,LN2分布具有最小的RMSE值,而GEV分布具有最小的MAE值和最大的 PPCC值.綜合考慮,選定GEV分布作為數(shù)據(jù)的分布線型;對降雨峰值來說,GEV分布具有最小的MAE值,而LN2分布具有最小的RMSE值和最大的PPCC值,因此,選定LN2分布作為降雨峰值數(shù)據(jù)的分布線型;GEV分布對次降雨量具有最小的MAE、RMSE值和最大的PPCC值,所以,選定GEV分布作為次降雨數(shù)據(jù)的分布線型.

      圖1 設(shè)計降雨量、降雨峰值和次降雨量邊際分布擬合

      表2 邊際分布擬合優(yōu)度檢驗(yàn)

      3.2 Copula函數(shù)參數(shù)估計及擬合檢驗(yàn)分析

      采用阿基米德型Copula家族中應(yīng)用較廣泛的Frank Copula和AMH Copula函數(shù)分別構(gòu)建降雨特征變量的聯(lián)合分布.一般地,不同形式的Copula函數(shù)對于變量的相關(guān)性有不同的要求,F(xiàn)rank Copula函數(shù)對正、負(fù)相關(guān)關(guān)系的隨機(jī)變量均適用;AMH Copula函數(shù)適用于弱相關(guān)關(guān)系的隨機(jī)變量[13].

      為檢驗(yàn)Copula函數(shù)的擬合精度,首先比較各個觀測點(diǎn)對(xi,yi,zi)的經(jīng)驗(yàn)累積概率和理論累積概率的一致性[9,13].圖 2 為經(jīng)驗(yàn)頻率與不同Copula函數(shù)理論頻率的擬合圖,可以看出,經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)和理論頻率點(diǎn)均分布在45°線附近,總體上看,經(jīng)驗(yàn)頻率點(diǎn)和理論頻率點(diǎn)擬合較好.Frank Copula函數(shù)的擬合精度(圖 2(b))優(yōu)于 AMH Copula函數(shù)(圖2(a)).

      圖2 經(jīng)驗(yàn)累積概率與理論累積概率比較

      為了進(jìn)一步確定“設(shè)計降雨量”、“降雨峰值”和“次降雨量”擬合最好的 Copula函數(shù),利用MSE、AIC和OLS進(jìn)行擬合優(yōu)度評價.從表3可以看出,F(xiàn)rank Copula函數(shù)的3個評價指標(biāo)值均小于AMH Copula函數(shù),表明Frank Copula函數(shù)對3變量的擬合效果最佳.所以,選取Frank Copula函數(shù)作為“設(shè)計降雨量”、“降雨峰值”和“次降雨量”的聯(lián)合分布函數(shù).

      表3 3維Copula函數(shù)擬合檢驗(yàn)結(jié)果

      3.3 風(fēng)險概率分析

      運(yùn)用Frank Copula函數(shù)計算“設(shè)計降雨量”、“降雨峰值”和“次降雨量”的聯(lián)合分布函數(shù),根據(jù)1.3節(jié)公式計算條件風(fēng)險概率.分別以100 a重現(xiàn)期的“設(shè)計降雨量”、“降雨峰值”和“次降雨量”為條件,計算其他兩兩變量組合的風(fēng)險概率.從圖3可以看出,與單變量等于某一設(shè)計值條件下的遭遇概率分布(圖3(a)、(c)、(e))相比,對應(yīng)條件下單變量小于等于某一設(shè)計值下的遭遇概率分布圖(圖3(b)、(d)、(f))顯得“高”、“胖”,說明小于等于某一設(shè)計值條件下的風(fēng)險概率出現(xiàn)的可能性更大.

      以設(shè)計降雨條件為例,給出了幾種重現(xiàn)期下降雨峰值和次降雨量遭遇的風(fēng)險概率.表4為設(shè)計降雨量等于某一設(shè)計值(100,50,20和10 a)的條件下,降雨峰值和次降雨量同時小于等于某一重現(xiàn)期設(shè)計值的概率.可以看出,在設(shè)計降雨不變的情況下,降雨峰值和次降雨量遭遇的風(fēng)險概率隨著重現(xiàn)期的減小而降低,當(dāng)降雨峰值和次降雨量設(shè)計值不變時,其遭遇的風(fēng)險概率隨著設(shè)計降雨重現(xiàn)期的減小而上升.具體來說,當(dāng)設(shè)計降雨等于100一遇時,小于等于100 a一遇降雨峰值和次降雨量同時遭遇的概率為92.18%,而小于等于10 a一遇同時遭遇的概率僅為48.44%.表5為設(shè)計降雨小于等于某一設(shè)計值(100,50,20和10 a)的條件下,降雨峰值和次降雨量同時小于等于某一重現(xiàn)期設(shè)計值的概率.對比表4和表5可知,兩種條件下的風(fēng)險概率變化具有相似性,但設(shè)計降雨小于等于某一設(shè)計值條件下的風(fēng)險概率出現(xiàn)的可能性更大.

      從以上分析可以看出,設(shè)計降雨量、降雨峰值和次降雨量3變量之間具有較強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性,用多變量聯(lián)合分布描述暴雨不同特征值之間的相互關(guān)系可以更全面地描述整個暴雨事件,細(xì)化水文分析前端輸入,提高分析精度.具體地說,如進(jìn)行50 a一遇水文分析時,根據(jù)表4,除給定設(shè)計降雨量值(218.9 mm)外,可根據(jù)城市等級及對安全度的需要,結(jié)合自身經(jīng)濟(jì)條件,同時選取某重現(xiàn)期的降雨峰值以及次降雨量作為輸入,如50 a一遇的降雨峰值4.6 mm/min或 50 a一遇次降雨量271.6 mm來確定洪澇設(shè)施規(guī)模.

      圖3 降雨特征變量組合的條件風(fēng)險概率

      表4 設(shè)計降雨量等于某一設(shè)計值的條件風(fēng)險概率

      表5 設(shè)計降雨量小于等于某一設(shè)計值的條件風(fēng)險概率

      4 結(jié)論

      1)基于3維Copula函數(shù)的降雨多變量分析方法,根據(jù)歷史降雨數(shù)據(jù),利用Copula聯(lián)結(jié)函數(shù),實(shí)現(xiàn)了3變量的聯(lián)合分析,有效解決了單變量分析方法的不足,實(shí)現(xiàn)了對降雨事件特征真實(shí)全面的反映.

      2)實(shí)際應(yīng)用中,可基于設(shè)計降雨量確定設(shè)施標(biāo)準(zhǔn),利用三者的組合風(fēng)險概率復(fù)核次降雨量和降雨峰值的失效概率,為更科學(xué)合理地分析、評估和確定城市防洪排澇設(shè)施能力提供有效支撐.

      3)如何基于地區(qū)特征、安全性和經(jīng)濟(jì)性的定量分析,優(yōu)化降雨變量組合,科學(xué)合理地確定防洪排澇設(shè)施標(biāo)準(zhǔn),是該方法需進(jìn)一步研究的重點(diǎn).

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