大型龍門機(jī)床的直線度誤差建模及誤差補(bǔ)償

馮文龍，沈牧文，姚曉棟，楊建國(guó)

(上海交通大學(xué)機(jī)械與動(dòng)力工程學(xué)院，200240上海)

隨著制造業(yè)對(duì)加工精度要求的日益提高［1-2］，作為加工機(jī)床床身的大型龍門母機(jī)的精密程度直接決定著新生產(chǎn)機(jī)床的精度等級(jí)，關(guān)系到整個(gè)工業(yè)的生產(chǎn)水準(zhǔn).而對(duì)于加工速度相對(duì)較慢的龍門機(jī)床來說，直線度誤差是決定機(jī)床加工精度的關(guān)鍵因素［3］.直線度誤差是指直線上各點(diǎn)跳動(dòng)或偏離理想直線的程度［4-6］.假定理想的移動(dòng)路徑為直線，在直線水平方向的偏移量稱做水平直線度，垂直方向的偏移量稱做垂直直線度.對(duì)于數(shù)控機(jī)床而言，導(dǎo)軌的凹凸不平導(dǎo)致軸在運(yùn)動(dòng)時(shí)會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)垂直于運(yùn)動(dòng)方向的偏移量，引起刀具和工件間距離在這兩個(gè)方向上產(chǎn)生偏差，因此而產(chǎn)生的誤差叫做機(jī)床直線度誤差.傳統(tǒng)的減小機(jī)床直線度誤差的方法是通過對(duì)機(jī)床導(dǎo)軌墊墊鐵的方式［7］，然而該方法操作繁瑣，解決問題能力有限，而且也只能解決上母線偏差，無法解決側(cè)母線偏差.對(duì)于已加工好的導(dǎo)軌，一般通過刮研［8］方法提高導(dǎo)軌精度，這種方法不僅耗費(fèi)人力，而且效率低，不適合用于大規(guī)模生產(chǎn).相比之下，通過補(bǔ)償方式來減小機(jī)床直線度誤差更便捷有效［9-11］.Cao［12］等提出了基于在線測(cè)量的直線度誤差補(bǔ)償方法，通過把在線測(cè)量出的直線度誤差數(shù)據(jù)輸入到Numerical Control(NC)程序中，進(jìn)行補(bǔ)償并且獲得了68 nm/400 mm的良好補(bǔ)償效果.但是，在線測(cè)量無法運(yùn)用到實(shí)際大規(guī)模生產(chǎn)中，且通過更新NC程序的方式來補(bǔ)償?shù)姆绞綄?shí)時(shí)性不強(qiáng).由鳳玲［13］等提出了一種新的測(cè)量直線度誤差方法，該方法在公共路徑上對(duì)激光束的偏移進(jìn)行補(bǔ)償，對(duì)光路上的空氣擾動(dòng)和溫度變化具備很強(qiáng)的抗干擾能力，提高了直線度誤差測(cè)量精度.Gao［14］等對(duì)基于空氣導(dǎo)軌的工作臺(tái)進(jìn)行了俯仰、偏擺、滾轉(zhuǎn)及兩個(gè)方向直線度的測(cè)量，并分別使用兩種不同的測(cè)試方法來保證測(cè)試結(jié)果的可靠性;還分析了轉(zhuǎn)動(dòng)誤差對(duì)直線度誤差測(cè)量的影響，并提出了通過把渥拉斯頓棱鏡擺放在運(yùn)動(dòng)部件上來避免轉(zhuǎn)動(dòng)誤差在測(cè)量直線度誤差過程中的影響.但均未對(duì)產(chǎn)生的直線度誤差進(jìn)行補(bǔ)償.

本文使用激光干涉儀分別檢測(cè)大型龍門數(shù)控機(jī)床3個(gè)坐標(biāo)軸沿6個(gè)方向的直線度誤差，應(yīng)用B樣條曲線建立直線度誤差模型，通過在空間上矢量疊加得到該機(jī)床直線度誤差空間模型.利用數(shù)控系統(tǒng)外部機(jī)械原點(diǎn)偏移功能［15］，通過自主研發(fā)的誤差實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng)并依據(jù)提出的基于B樣條曲線的空間直線度誤差模型，實(shí)現(xiàn)了對(duì)大型龍門數(shù)控機(jī)床空間直線度誤差補(bǔ)償.經(jīng)補(bǔ)償加工，機(jī)床加工精度有大幅提高.

1 基于B樣條曲線的空間直線度誤差模型理論及分析

1.1 平面直線度誤差建模

B樣條是樣條曲線一種特殊的表示形式，它是B樣條基曲線的線性組合，B樣條是貝茲曲線的一種一般化［16-18］.B樣條曲線有著良好的數(shù)據(jù)擬合能力和局部可調(diào)整性，是理想的建模工具.非均勻B樣條的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中:C(t)/μm是機(jī)床直線度誤差預(yù)測(cè)值，bj(j=0，…，n)/μm是B樣條模型的控制節(jié)點(diǎn)，p是B樣條模型的階數(shù)，Nj，p(t)是定義在節(jié)點(diǎn)向量T={t0，t1，…，tn+p-1，tn+p}上的p階 B 樣條基，其表達(dá)式為

控制節(jié)點(diǎn)bj的選取過程如下:在給定的誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi(i=0，…，m)中，選取一些能夠表達(dá)數(shù)據(jù)幾何信息的關(guān)鍵點(diǎn)作為B樣條模型的控制節(jié)點(diǎn)，這些點(diǎn)往往包括局部曲率最大點(diǎn)(LMC)、拐點(diǎn)、端點(diǎn)等.在本模型中，2個(gè)端點(diǎn)和LMC點(diǎn)作為控制節(jié)點(diǎn)，初始控制節(jié)點(diǎn)數(shù)目設(shè)置為10個(gè).對(duì)所有的誤差數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行曲率ki的計(jì)算，如果ki＞ki-1并且ki＞ki+1，則判定該點(diǎn)為L(zhǎng)MC點(diǎn)，把找到的所有LMC點(diǎn)根據(jù)曲率數(shù)值大小進(jìn)行排序，提取前8個(gè)LMC點(diǎn)作為控制節(jié)點(diǎn).把以上10個(gè)控制節(jié)點(diǎn)bj和計(jì)算所得的 B樣條基Nj，p(t)代入式(1)，即可得到B樣條平面直線度誤差初始模型.

為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷臄M合精度，對(duì)模型殘差進(jìn)行量化分析，殘差計(jì)算方法為

應(yīng)用式(2)對(duì)每個(gè)測(cè)量點(diǎn)進(jìn)行殘差檢驗(yàn)，如果所有的殘差均在容許殘差ε以內(nèi)，則模型建立完成.如果有測(cè)量點(diǎn)的殘差在容許誤差以外，則把該測(cè)量點(diǎn)Pi加入到控制節(jié)點(diǎn)中，此時(shí)控制節(jié)點(diǎn)變成11個(gè)，模型按照以上過程重新建立，再次對(duì)殘差進(jìn)行檢驗(yàn)，如果再有測(cè)量點(diǎn)殘差在容許誤差之外，再把該點(diǎn)加入控制節(jié)點(diǎn)，如此往復(fù)，直到所有的測(cè)量點(diǎn)殘差均在容許誤差以內(nèi).建模流程圖如圖1所示.

1.2 空間直線度誤差建模

以三軸數(shù)控機(jī)床為例，機(jī)床任意一個(gè)運(yùn)動(dòng)軸運(yùn)動(dòng)都會(huì)產(chǎn)生兩個(gè)方向的直線度誤差，3個(gè)軸就有6個(gè)方向的直線度誤差，分別是:X軸運(yùn)動(dòng)，沿Y、Z方向產(chǎn)生的直線度誤差δy(x)和δz(x);Y軸運(yùn)動(dòng)，沿Z、X方向產(chǎn)生的直線度誤差 δz(y)和δx(y);Z軸運(yùn)動(dòng)，沿X、Y方向產(chǎn)生的直線度誤差δx(z)和δy(z).則空間直線度誤差即可表示為以上6個(gè)直線度誤差同方向的疊加，表達(dá)式為

圖1 B樣條建模計(jì)算流程圖

因此，不論X、Y、Z聯(lián)動(dòng)還是單獨(dú)運(yùn)動(dòng)，工件和刀具在X、Y、Z方向上的直線度偏差分別是式中的Δx、Δy、Δz.對(duì) δx(y)、δx(z)、δy(x)、δy(z)、δz(x)及δz(y)分別進(jìn)行上述平面直線度誤差建模，得到預(yù)測(cè)值δ'x(y)、δ'x(z)、δ'y(x)、δ'y(z)、δ'z(x)及δ'z(y)，則空間直線度誤差模型可表示為

2 機(jī)床直線度誤差數(shù)據(jù)測(cè)量及數(shù)學(xué)模型建立

在一臺(tái)大型龍門銑床上進(jìn)行測(cè)試實(shí)驗(yàn)，該龍門銑床是工作臺(tái)固定在地面，刀具固定在Z軸，Y軸在X軸上運(yùn)動(dòng)的TXYZ結(jié)構(gòu).該龍門銑床擁有雙X軸、Y軸和Z軸.X軸的行程14 300 mm，Y軸和Z軸的行程分別為3 000 mm和2 500 mm.4個(gè)軸都帶有光柵尺，困擾該龍門銑床的首要問題就是直線度誤差.

考慮到實(shí)際加工狀態(tài)和理想測(cè)試狀態(tài)的區(qū)別，對(duì)X軸運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的直線度誤差進(jìn)行了兩次測(cè)試.第一次測(cè)量，反射鏡安裝在主軸頭上，機(jī)床零負(fù)載運(yùn)行，測(cè)得一組誤差數(shù)據(jù).第二次測(cè)量，機(jī)床X軸運(yùn)動(dòng)，加工13 000 mm長(zhǎng)的導(dǎo)軌平面，對(duì)該平面進(jìn)行直線度誤差測(cè)量，測(cè)得第二組誤差數(shù)據(jù).由圖2可知，實(shí)際切削加工和機(jī)床空載條件下測(cè)出的直線度誤差數(shù)據(jù)存在差異，考慮到加工環(huán)境的復(fù)雜性，而且最終目的是要生產(chǎn)出直線度較好的工件，故采用加工導(dǎo)軌后測(cè)得的直線度誤差數(shù)據(jù)建模.

圖2 工件直線度和機(jī)床直線度對(duì)比

對(duì)導(dǎo)軌表面進(jìn)行切削加工，加工出一個(gè)新的平面，考慮到各方向直線度誤差量級(jí)未知，水平面切削統(tǒng)一采用直徑200 mm的銑刀，主軸轉(zhuǎn)速1 000 r/min，進(jìn)給速度 1 000 mm/min，切削量0.4 mm;垂直面切削統(tǒng)一采用直徑50 mm的銑刀，主軸轉(zhuǎn)速800 r/min，進(jìn)給速度200 mm/min，切削量0.4 mm.X軸運(yùn)動(dòng)切削，Z方向的直線度誤差就完全反映在新加工的水平面上.對(duì)新加工的水平面進(jìn)行直線度誤差測(cè)量，測(cè)得工件在Z方向的直線度誤差 δz工(x).同理，切削一個(gè)新的垂直面，測(cè)得工件在Y方向的直線度誤差δy工(x).換成Y、Z軸運(yùn)動(dòng)，同理可得到，Y軸運(yùn)動(dòng)Z方向直線度誤差δz工(y)和X方向直線度誤差δx工(y);Z軸運(yùn)動(dòng)X方向直線度誤差δx工(z)和Y方向直線度誤差δy工(z).對(duì)得到的6條直線度誤差數(shù)據(jù)進(jìn)行平面直線度誤差建模.以X軸運(yùn)動(dòng)Z方向直線度誤差δz工(x)建模為例，初始控制節(jié)點(diǎn)數(shù)目設(shè)定為10個(gè)，B樣條模型為4階，容許誤差為9μm，則B樣條模型由式(1)可得

建模結(jié)果如圖3所示.

圖3 不同控制節(jié)點(diǎn)的B樣條模型殘差對(duì)比

10個(gè)控制節(jié)點(diǎn)的B樣條模型擬合精度不高，選取殘差最大點(diǎn)作為第11個(gè)控制節(jié)點(diǎn)，重新建模后，擬合精度大幅提高，如此往復(fù)，直到達(dá)到殘差容許值，此時(shí)的B樣條模型表示為δ'z工(x).

同理可得其他各方向的B樣條模型:δ'y工(x)、δ'z工(y)、δ'x工(y)、δ'x工(z)、δ'y工(z).圖 4～9 為各直線度誤差模型預(yù)測(cè)值和測(cè)量值之間的對(duì)比圖

由圖4～9可知，B樣條模型有準(zhǔn)確的預(yù)測(cè)直線度誤差的能力，X軸Z方向直線度誤差未補(bǔ)償達(dá)到200μm，建模后殘差減小到8.3μm;其他各方向直線度補(bǔ)償后均有明顯改善，X軸Y方向直線度誤差從未補(bǔ)償79μm減小到4.8μm;Y軸Z方向直線度誤差從未補(bǔ)償52μm減小到2.8μm;Y軸X方向直線度誤差從未補(bǔ)償25μm減小到2.4μm;Z軸X方向直線度誤差從未補(bǔ)償20μm減小到1.6μm;Z軸Y方向直線度誤差從未補(bǔ)償35μm減小到2.2μm.模型預(yù)測(cè)準(zhǔn)確度在90%以上.

由式(3)可得該龍門銑床的空間直線度模型:

式中:Δx工'、Δy工'、Δz工'分別為空間任一點(diǎn)在X、Y和Z方向上直線度誤差的預(yù)測(cè)值，模型覆蓋整個(gè)空間場(chǎng).

圖4 X軸Z方向預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)直線度誤差對(duì)比

圖5 X軸Y方向預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)直線度誤差對(duì)比

圖6 Y軸Z方向預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)直線度誤差對(duì)比

圖7 Y軸X方向預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)直線度誤差對(duì)比

圖8 Z軸X方向預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)直線度誤差對(duì)比

圖9 Z軸Y方向預(yù)測(cè)、實(shí)測(cè)直線度誤差對(duì)比

3 補(bǔ)償實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證及模型對(duì)比分析

為了驗(yàn)證B樣條模型的有效性和魯棒性，本實(shí)驗(yàn)不再采用誤差采集實(shí)驗(yàn)中的單軸運(yùn)動(dòng)模式，而采用兩軸聯(lián)動(dòng)切削平面的方式，工藝切削參數(shù)較之前不變.以Z向直線度誤差為例，誤差采集實(shí)驗(yàn)是先采集X軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的Z方向直線度誤差，再采集Y軸單獨(dú)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的Z方向直線度誤差，在空間做矢量疊加，則空間模型中就得到了空間任一點(diǎn)的Z向直線度誤差.而兩軸聯(lián)動(dòng)切削實(shí)驗(yàn)是指X、Y軸聯(lián)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)路徑為XY形成的四邊形對(duì)角線，切削一個(gè)垂直于Z向的平面，然后測(cè)量這個(gè)平面的Z向直線度誤差.驗(yàn)證實(shí)驗(yàn)采用兩軸聯(lián)動(dòng)切削平面方式的主要目的有兩個(gè):一是兩軸聯(lián)動(dòng)切削是一種更復(fù)雜的工況，Z向的直線度誤差同時(shí)受到X運(yùn)動(dòng)和Y運(yùn)動(dòng)的聯(lián)合影響，而不是像誤差采集實(shí)驗(yàn)中的單軸運(yùn)動(dòng)，受到單一因素影響，更有助于驗(yàn)證模型的魯棒性;另一方面，如果驗(yàn)證方式采用單軸運(yùn)動(dòng)切削工件，補(bǔ)償輸出值是單方向直線度誤差模型預(yù)測(cè)值，不涉及空間模型計(jì)算，驗(yàn)證不了空間模型的準(zhǔn)確性.而如果采用兩軸聯(lián)動(dòng)切削工件的方法，補(bǔ)償值完全由空間模型自主運(yùn)算得到，補(bǔ)償?shù)臏?zhǔn)確性完全依賴于模型的魯棒性和準(zhǔn)確性.

對(duì)切削完成的平面進(jìn)行直線度誤差測(cè)試，測(cè)試間隔距離選用240 mm，在直線度測(cè)試過程中，測(cè)試間隔距離以測(cè)試滑塊兩個(gè)接觸點(diǎn)的距離為最佳，測(cè)試精度也最高，因此選用滑塊長(zhǎng)度240 mm為測(cè)試間隔距離.測(cè)試結(jié)果如圖10所示.

圖10中的3條曲線分別是使用B樣條模型、7次多項(xiàng)式模型、斜線插補(bǔ)模型補(bǔ)償后的殘差曲線.B樣條模型的補(bǔ)償效果明顯優(yōu)于其他兩種.

多項(xiàng)式模型具有較好的平滑處理能力，對(duì)補(bǔ)償值的輸出做了良好的規(guī)劃，避免發(fā)生速度和加速度的突變，故相鄰位置的殘差變化較小，殘差曲線較平穩(wěn)，但是由于直線度誤差數(shù)據(jù)往往都是無規(guī)則變化，多項(xiàng)式擬合的模型精度不高，殘差較大.

斜線插補(bǔ)模型具有較高的建模精度，在每個(gè)測(cè)試點(diǎn)，直接補(bǔ)償測(cè)量的誤差值，各點(diǎn)之間用斜線插補(bǔ).但是由于該模型是由多條折線組成，在過渡點(diǎn)存在明顯的速度和加速度突變，在補(bǔ)償輸出時(shí)，容易對(duì)機(jī)械造成沖擊，補(bǔ)償值和真實(shí)運(yùn)動(dòng)值之間存在不匹配和延時(shí)效應(yīng)，故各點(diǎn)殘差存在劇烈跳動(dòng)、階躍.斜線插補(bǔ)模型補(bǔ)償后，短距離直線度偏差過大，嚴(yán)重偏離5μm/m的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)，殘差較大.

圖10 空間運(yùn)動(dòng)切削后在X、Y、Z方向殘差對(duì)比

B樣條模型具有較高的建模精度，每4個(gè)點(diǎn)擬合一條曲線，各曲線之間柔性拼接，對(duì)速度和加速度的變化做了平穩(wěn)過渡，避免了速度和加速度突變對(duì)機(jī)械帶來沖擊.B樣條模型形狀多變，具有擬合無規(guī)則數(shù)據(jù)的能力，具備了較高的建模精度，使用B樣條模型具有較高的補(bǔ)償精度，殘差較小，具備了7次多項(xiàng)式模型和斜線插補(bǔ)模型的所有優(yōu)點(diǎn).

綜上所述:B樣條空間模型在實(shí)際切削情況下仍具有較高的預(yù)測(cè)精度，大范圍減小加工誤差，X方向直線度誤差由41μm降低至3.6μm，Y方向直線度誤差由91μm降低至8.0μm，Z方向的直線度誤差由 160μm 降低至 7.9μm，機(jī)床加工精度提高90%以上.3個(gè)模型補(bǔ)償后殘差的具體對(duì)比結(jié)果如表1所示，表中B樣條(Z)，B樣條(Y)，B樣條(X)分別表示B樣條模型補(bǔ)償后在Z、Y、X方向上的殘差;7次多項(xiàng)式擬合(Z)、7次多項(xiàng)式擬合(Y)、7次多項(xiàng)式擬合(X)分別表示7次多項(xiàng)式模型補(bǔ)償后在Z、Y、X方向上的殘差;斜線插補(bǔ)(Z)、斜線插補(bǔ)(Y)、斜線插補(bǔ)(X)分別表示斜線插補(bǔ)模型補(bǔ)償后在Z、Y、X方向上的殘差.

表1 3種模型補(bǔ)償后殘差對(duì)比

4 結(jié)論

1)利用Fanuc系統(tǒng)的外部機(jī)械原點(diǎn)偏移功能，采用實(shí)時(shí)補(bǔ)償系統(tǒng)，依據(jù)空間直線度誤差數(shù)學(xué)模型對(duì)龍門機(jī)床實(shí)施直線度誤差補(bǔ)償，加工精度提高均超過90%.

2)建立了基于B樣條曲線的空間直線度誤差數(shù)學(xué)模型，獲得較高的建模精度.各方向直線度誤差模型通過在空間矢量疊加得到該機(jī)床空間直線度誤差數(shù)學(xué)模型，并通過兩軸聯(lián)動(dòng)切削工件的方式驗(yàn)證了空間直線度誤差數(shù)學(xué)模型的正確性.

3)與其他兩種模型的補(bǔ)償效果對(duì)比表明，B樣條模型算法成熟，補(bǔ)償精度高，魯棒性好，適合于各種復(fù)雜的加工工況.補(bǔ)償系統(tǒng)在長(zhǎng)時(shí)間使用后，仍具有良好的補(bǔ)償精度，至今還在某知名機(jī)床生產(chǎn)企業(yè)使用.

［1］HAN Zhenyu，JIN Hongyu，LIU Yulong，et al.A review of geometric error modeling and error detection for CNC machine tool［J］.Applied Mechanics and Materials，2013，303/304/305/306:627-631.

［2］ RAMESH R，MANNAN M A，POO A N.Error compensation in machine tools-a review PartⅠ:geometric，cutting-force induced and fixture-dependent errors［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2000，40:1235-1256.

［3］賈立德，鄭子文，李圣怡，等.使用短基準(zhǔn)的超精密長(zhǎng)導(dǎo)軌直線度誤差測(cè)量方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008(9):141-147.

［4］黃富貴，崔長(zhǎng)彩.任意方向上直線度誤差的評(píng)定新方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2008，44(7):221-224.

［5］ZHANG Qing，F(xiàn)AN K C，LI Zhu.Evaluation method for spatial straightness errors based on minimum zone condition［J］.Precision Engineering，1999，23:264-272.

［6］黃富貴，崔長(zhǎng)彩.評(píng)定直線度誤差的最小二乘法與最小包容區(qū)域法精度之比較［J］.光學(xué)精密工程，2007，15(6):889-893.

［7］唐浩.大型機(jī)床床身的加工［J］.制造技術(shù)與機(jī)床，2007(8):106-107.

［8］尹德臻，鄒雪巍.淺談龍門磨床工作臺(tái)導(dǎo)軌結(jié)構(gòu)［J］.機(jī)電產(chǎn)品開發(fā)與創(chuàng)新，2012(4):173-174，188.

［9］ NI Jun.CNC machine accuracy enhancement through real-time error compensation ［J］. Journal of Manufacturing Science and Engineering，Transactions of the ASME，1997，119(4):717-725.

［10］YANG Jianguo，YUAN Jingxia，NI Jun.Thermal error mode analysis and robust modeling for error compensation on a CNC turning center［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，1999，39(9):1367-1381.

［11］孟婥，車仁生.并聯(lián)六坐標(biāo)測(cè)量機(jī)的誤差模型和誤差補(bǔ)償［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2004，36(3):317-320.

［12］CAO G，NAMBA Y.Straightness error compensation for ultra-precision machining based on a straightness gauge［J］.Key Engineering Materials，2008，381/382:105-108.

［13］由鳳玲，馮其波，張斌.基于共路光線漂移補(bǔ)償?shù)闹本€度測(cè)量［J］.光學(xué)精密工程，2011(3):515-519.

［14］GAO W，ARAI Y，SHIBUYA A.Measurement of multidegree-of-freedom error motions of a precision linear airbearing stage［J］.Precision Engineering，2006，30(1):96-103.

［15］姜輝，孫翰英，范嘉楨.基于FANUC 0i系統(tǒng)外部坐標(biāo)原點(diǎn)偏移功能的數(shù)控機(jī)床誤差補(bǔ)償研究［J］.機(jī)械制造，2009(7):73-76.

［16］LEI W T，SUNG M P.NURBS-based fast geometric error compensation forCNC machine tools ［J］.International Journal of Machine Tools and Manufacture，2008，48(3/4):307-319.

［17］HOSCHEK J，LASSER D.Fundamentals of computer aided geometric design［M］.Wellesley:A K Peters，1993.

［18］PIEGL L，TILLER W.The NURBS book［M］.New York:Springer，1995.