高中數(shù)學(xué)課程中的空間向量教學(xué)探微

王正清

【摘 要】文章結(jié)合目前學(xué)生在學(xué)習(xí)空間向量上存在的問題，對高中數(shù)學(xué)課程中空間向量的教學(xué)進(jìn)行了探微。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；空間向量；教學(xué)探微

中圖分類號：G633.6 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1671-0568（2015）24-0046-01

向量是近年來高中課本上最新引入的學(xué)習(xí)板塊，一般情況下，向量可以分為平面向量和空間向量，平面向量一般用來解決平面幾何問題和輔助空間幾何問題的分析，而空間向量則是可以用來直接解決空間幾何問題的強(qiáng)大“法寶”，在一些較為困難的空間幾何問題上，空間向量往往能夠比幾何分析法提供更大的幫助?；诤芏鄬W(xué)生對幾何學(xué)習(xí)抱有抵觸心理，所以從向量開始出發(fā)進(jìn)行學(xué)習(xí)不失為一種好辦法。高中數(shù)學(xué)課程中的空間向量教學(xué)是很多教師進(jìn)行備課的一種方法，由此可見，高中數(shù)學(xué)課程中空間向量的教學(xué)十分重要。

一、注重教學(xué)過程中的空間向量性質(zhì)及運(yùn)用時的數(shù)形結(jié)合

1.空間向量的代數(shù)性質(zhì)。空間向量代數(shù)性質(zhì)的基礎(chǔ)是運(yùn)算，與此同時，運(yùn)算作為數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，始終貫穿學(xué)生的數(shù)學(xué)生涯，所以想要學(xué)生把握空間向量的代數(shù)性質(zhì)其實并不是個難題。而在空間向量代數(shù)性質(zhì)的教學(xué)過程中，教師應(yīng)該將重點放在教會學(xué)生理解運(yùn)算的意義和熟練掌握運(yùn)算律與運(yùn)算性質(zhì)上面。教會學(xué)生理解空間向量運(yùn)算意義的目的在于為之后將空間向量運(yùn)用到幾何解題中打下基礎(chǔ)，因為向量是一個同時具備方向和長度兩個因素的有向線段，給向量乘上一個數(shù)，或是兩個向量相加，它們不再和基礎(chǔ)加減乘除運(yùn)算那般意義簡單。比如，給一個向量乘上一個常數(shù)n不僅僅是把一個數(shù)擴(kuò)大一個倍數(shù)n那么簡單，它此刻的意義是比原來有向線段長n-1倍的另外一條有向線段了。由此可見，向量運(yùn)算意義和代數(shù)運(yùn)算意義相比要復(fù)雜得多。假如在簡單的向量運(yùn)算意義的理解上學(xué)生產(chǎn)生了偏差，那么在后期數(shù)形結(jié)合的過程中學(xué)生必定會在解題思維上會產(chǎn)生混亂，進(jìn)而影響其空間幾何的學(xué)習(xí)。

而由于空間向量的運(yùn)算意義和普通代數(shù)運(yùn)算意義的不同，就造成了空間向量的運(yùn)算律同樣具有了不同的意義，而空間向量的運(yùn)算律作為后期解題過程中簡化的關(guān)鍵，是教師在空間向量教學(xué)中的重點之一。與此同時，空間向量由于運(yùn)用廣泛，運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)的數(shù)量并不少，教師在教授過程中應(yīng)該注意循序漸進(jìn)。而空間向量滿足的運(yùn)算律和運(yùn)算性質(zhì)有許多，比如，向量的數(shù)量積適合交換律、結(jié)合律、分配率，對于任何向量a，0向量與其相加等于它本身，任何向量和0向量相乘的與零向量，三個相互垂直的向量，存在ab=ac=bc=0，等等。這些性質(zhì)看似多且雜，卻是后期平面幾何與空間幾何問題中不可缺少的一部分，而教師在教學(xué)過程中不妨稍微引入空間幾何，以便給學(xué)生留下深刻的印象，同時也為今后空間幾何的教學(xué)埋下伏筆。

2.空間向量的幾何性質(zhì)?？臻g向量的幾何性質(zhì)在后面幾何問題的刻畫中是十分重要的，比如說兩個不共線的向量的線性組合可以確定一個平面，這樣向量和幾何中的平面之間的橋梁就可以輕易地搭建了。當(dāng)然這樣的例子還有很多，再比如說向量a、b相乘如果等于零的話，那么這兩個向量就一定是垂直的，在空間幾何中就可以利用這一個性質(zhì)，輕易證明兩個向量的位置關(guān)系。而想要將向量和三角函數(shù)聯(lián)系起來，利用向量的幾何性質(zhì)同樣很容易就可以達(dá)到，可以設(shè)e為一個單位向量，那么向量a和e的乘積就是向量a在e方向上的投影，而投影又可以由a的絕對值乘以a和e的夾角余弦來表示。對于教師來說，幫助學(xué)生全面地理解空間向量的幾何意義不僅僅是在為學(xué)生在空間幾何上面的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，更是在為自己減輕空間幾何教學(xué)中的壓力。

二、面對具體問題時應(yīng)注重靈活選擇

空間向量的學(xué)習(xí)最重要的是進(jìn)行靈活應(yīng)用，當(dāng)然，由于空間向量的運(yùn)算性質(zhì)和運(yùn)算律較多，就會造成學(xué)生在解題選擇時的困難，與此同時，由于空間向量主要是運(yùn)用在空間解析幾何中，而空間解析幾何這個體系中的解題方法也不少，這樣又大大增加了學(xué)生的解題難度，如何教會學(xué)生在解題時適當(dāng)?shù)剡x擇合適的解題方法成為教學(xué)的關(guān)鍵，就好比下面這道題。

【例4】長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=6，AA1=8，E是BC的中點。求異面直線AD1與B1E所成的角。這道題也許一些學(xué)生會利用空間解析幾何的性質(zhì)，將AD1平移到BCB1C1平面，再利用幾何里角度的關(guān)系進(jìn)行求解。但是這道題由于有具體數(shù)據(jù)，同樣可以利用空間向量中的數(shù)量積公式來求解。

這就是解題的靈活性了，空間向量給學(xué)生解題提供了更多思路，也帶來了選擇上的難度。要使學(xué)生靈活地運(yùn)用空間向量，選擇適當(dāng)?shù)慕忸}方法，只有在日常的教學(xué)中多多向?qū)W生展示才能達(dá)到良好的效果。

當(dāng)然，進(jìn)行較難的空間幾何問題求解時，一般情況下需要同時運(yùn)用幾何分析法和空間向量法求解，在這個方面就體現(xiàn)出兩種方法的巧妙結(jié)合與靈活轉(zhuǎn)化了。面對這類問題，由于對學(xué)生思維轉(zhuǎn)化要求稍微高一些，不少學(xué)生對其比較怵頭，所以在大多數(shù)情況下，教師需要教給學(xué)生，讓他們先利用幾何分析法找到基本的已知條件和幾何關(guān)系，然后利用空間向量的相應(yīng)性質(zhì)，列出有關(guān)關(guān)系式，找到下一步的條件，最后進(jìn)行一系列的計算，這樣大部分的難題便能夠迎刃而解。這樣一步步來，問題慢慢化繁為簡，對于思維轉(zhuǎn)化較慢的學(xué)生來說，是非常有幫助的一種方法。當(dāng)然，在求解問題時，同樣是空間向量法求解，選擇不一樣的公式或方法，往往難易程度也會有所不同。比如下面這道題：

已知正三棱柱A1B1C1-ABC的各條棱長都相等，M是側(cè)棱C1C的中點，則異面直線AB1和BM和所成角較大的那個是多少。

一些學(xué)生在解這道題時，會考慮到這道題并沒有給出具體的數(shù)據(jù)，所以在解答時，希望通過簡單的向量變換和幾何中的關(guān)系來進(jìn)行求解，然而，假如這道題學(xué)生的求解思路是這樣的，那便很難得出答案，這樣就走入了一個死胡同，思維轉(zhuǎn)化不過來的話，很難找到另外的突破口。所以在進(jìn)行這道題的求解時，不妨設(shè)三棱柱的邊長為2，而由于是正三棱柱，那么很容易就可以得到一組基向量，最后利用向量中的夾角公式，就可以輕易地得出答案了，換一下思路就會有不同的解題方法。

教師在進(jìn)行空間向量課程的教授時，最重要的是培養(yǎng)學(xué)生的思維習(xí)慣，高中階段空間向量所涉及的問題不過是幾個主要方面。那么，教師不妨按照這幾個方面將題型分類，讓學(xué)生進(jìn)行一定量的練習(xí)，使他們對這幾類題型產(chǎn)生習(xí)慣性的解題思路，考試時對這些題目產(chǎn)生條件反射，這樣學(xué)生在空間向量的學(xué)習(xí)中才能夠真正算得上扎實穩(wěn)定。

綜上所述，高中空間向量的學(xué)習(xí)是連接代數(shù)與幾何的橋梁，只有在日常學(xué)習(xí)中讓學(xué)生掌握好空間向量的各項知識，才能使學(xué)生在后期立體幾何的學(xué)習(xí)中盡量少走彎路，才能使他們用較簡單的方法解較難的題，與此同時，空間向量的知識在今后大學(xué)甚至更高水平的學(xué)習(xí)階段都會有所運(yùn)用，所以，空間向量的教學(xué)不僅僅在整個高中數(shù)學(xué)教學(xué)中十分重要，在學(xué)生的整個學(xué)習(xí)生涯中都是占有了一席之地的，空間向量的學(xué)習(xí)重在踏實。

參考文獻(xiàn)：

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[2]丁永.淺議高中數(shù)學(xué)向量教學(xué)[J].讀與寫，2013，（24）：187-188.

（編輯：楊迪）