高校圖論課程的教學(xué)方法與模式

楊健

【摘要】本文分析了在高校開展圖論教學(xué)的重要意義，指出現(xiàn)階段圖論教學(xué)中普遍存在的一些不足之處，并從教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)任務(wù)、教學(xué)形式等方面進(jìn)行分析，探討了圖論的教學(xué)方法和教學(xué)模式。

【關(guān)鍵詞】圖論 組合數(shù)學(xué) 教學(xué)方法

【中圖分類號(hào)】G642 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）08-0178-02

一、前言

在計(jì)算機(jī)科學(xué)和互聯(lián)網(wǎng)技術(shù)的推動(dòng)下，近幾十年里圖論取得了一系列發(fā)展成果。如今，圖論的理論和方法越來越受到各行各業(yè)的廣泛關(guān)注，它已逐漸成為解決工程、信息、交通、經(jīng)濟(jì)等各領(lǐng)域?qū)嶋H問題的重要工具之一。但不容忽視的是，在國(guó)內(nèi)的許多高等院校，圖論這門課程卻沒有因此得到足夠的重視，在高校開設(shè)圖論課程的專業(yè)很少。另外，在圖論教學(xué)上也存在課時(shí)有限，教學(xué)方法單一，重理論輕應(yīng)用，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性不高等問題，針對(duì)這些問題，本文深入分析圖論開展的必要性及其重要意義，并對(duì)圖論的教學(xué)改革，作了詳盡的探討和分析，提出幾點(diǎn)教學(xué)思路和方法。

二、圖論教學(xué)的重要意義

1.有利于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

相對(duì)于數(shù)學(xué)領(lǐng)域的其他課程，圖論具有其鮮明的特點(diǎn)，體現(xiàn)在圖論概念抽象深?yuàn)W、研究對(duì)象結(jié)構(gòu)復(fù)雜、邏輯推理嚴(yán)密、證明技巧性強(qiáng)，大多問題本身雖然樸素易懂，可是求解方法經(jīng)常難以想到。正因此，圖論理論的建立往往蘊(yùn)含著巧妙的構(gòu)造、創(chuàng)新的思維以及嚴(yán)密的邏輯推導(dǎo)。通過圖論的學(xué)習(xí)，學(xué)生可以深刻地體會(huì)到人類思維的深邃廣袤，領(lǐng)略豐富多樣的數(shù)學(xué)證明方法，見識(shí)巧妙精細(xì)的圖形構(gòu)造，并有意識(shí)性地去掌握這些證明方法、構(gòu)造技巧和思維方式，從而培養(yǎng)自己的數(shù)學(xué)邏輯思維能力和創(chuàng)造能力，進(jìn)一步提高自己的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)悟性。

2.有助于提高分析問題和解決問題的能力

圖論是一門產(chǎn)生于實(shí)際且服務(wù)于實(shí)際的課程。特別是進(jìn)入二十世紀(jì)以后，由于計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，使得圖論中許多復(fù)雜問題的求解成為可能，而在生產(chǎn)活動(dòng)中所出現(xiàn)的其他領(lǐng)域的許多大規(guī)模問題又都可以轉(zhuǎn)化成圖論問題，因此，圖論在實(shí)際生活當(dāng)中的應(yīng)用變得越來越廣泛，例如信息傳輸問題、交通網(wǎng)絡(luò)問題等等。學(xué)生在學(xué)習(xí)圖論過程中，可以結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活中的問題，分析如何將其轉(zhuǎn)化成圖論問題，并設(shè)計(jì)算法加以解決，以提高自己利用理論知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。

3.有助于提高學(xué)生的算法設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)能力

圖論中很重要的一部分內(nèi)容，就是其中的經(jīng)典問題及其有效算法，例如最短路問題的Dijsktra算法，最小生成樹的Kruskal算法和Prim算法，二部圖最大匹配的匈牙利算法，最大流的標(biāo)號(hào)算法等等。在教學(xué)過程中，要求學(xué)生深刻理解這些基本算法，并嘗試去編寫算法的程序代碼。同時(shí)，在此基礎(chǔ)上，也可以適當(dāng)?shù)靥岢鲆恍┡缮鷨栴}，啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)如何設(shè)計(jì)算法，比如在學(xué)習(xí)最小生成樹的算法時(shí)，可以要求學(xué)生設(shè)計(jì)求最小森林的算法。在現(xiàn)實(shí)生活中，解決其它實(shí)際問題的算法往往是以這些基本算法作為子算法，或在此基礎(chǔ)上進(jìn)行適當(dāng)修改而成的。因此，通過圖論的學(xué)習(xí)，可以提高學(xué)生對(duì)算法的理解和設(shè)計(jì)能力，強(qiáng)化程序代碼的編寫能力。

三、圖論的教學(xué)方法探析

1.基本理論與實(shí)例相結(jié)合，準(zhǔn)確把握理論的涵義

概念豐富難懂，理論抽象深?yuàn)W，是圖論的一大突出特點(diǎn)，學(xué)生常常因此望而生畏。要學(xué)好圖論，必須首先要準(zhǔn)確深刻地理解圖論的基本理論。為了讓學(xué)生做到這一點(diǎn)，在教學(xué)時(shí)，應(yīng)堅(jiān)持理論與實(shí)例相結(jié)合。講解概念時(shí)，應(yīng)首先讓學(xué)生掌握概念的本質(zhì)涵義，然后通過一些具體的圖，讓學(xué)生直觀上就能準(zhǔn)確理解概念。例如，若連通圖 的頂子集 使得 不連通，則稱 是 的點(diǎn)截集，僅僅掌握這個(gè)定義遠(yuǎn)不能深刻理解點(diǎn)截集的涵義，應(yīng)通過圖示的方法進(jìn)一步說明，若 是 的點(diǎn)截集， 是 的所有連通分支，則當(dāng) 時(shí)， 與 無邊相連，而每個(gè) 與 之間必有邊相連；倘若 是 的最小點(diǎn)截集，則抓住極小性，可知 中的每一頂點(diǎn)在每 個(gè)中必有鄰點(diǎn)。

2.注重啟發(fā)式教學(xué)，提高學(xué)生的主動(dòng)性

由于圖論理論抽象，結(jié)構(gòu)復(fù)雜，又受到課時(shí)的限制，在課堂上，老師難以面面俱到。因此，在教學(xué)方式上，應(yīng)當(dāng)采用啟發(fā)式教學(xué)，教師引導(dǎo)學(xué)生自覺思考。這一方面可以增加學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提高主觀能動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力；另一方面讓學(xué)生自己深入學(xué)習(xí)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)，在掌握好這些基本理論后，老師對(duì)原教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行加深和拓展，從而進(jìn)一步開拓學(xué)生視野，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力。例如，在學(xué)完二部圖求最大匹配的匈牙利算法后，提示學(xué)生一般圖中的 -可增廣鏈會(huì)出現(xiàn)什么情況，啟發(fā)學(xué)生思考能否用匈牙利算法求一般圖的最大匹配，然后自然地引出開花算法。通過這種啟發(fā)式教學(xué)的方式，將學(xué)生的思維不斷引向深處，并順理成章地增加教學(xué)內(nèi)容，能使學(xué)生更連貫更有條理地掌握?qǐng)D論知識(shí)，學(xué)習(xí)圖論基本思想，理解圖論的發(fā)展規(guī)律。

3.課堂講授與上機(jī)操作相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生實(shí)踐操作能力

圖論與實(shí)際應(yīng)用聯(lián)系非常緊密，而實(shí)際問題的解決依賴于算法的設(shè)計(jì)和實(shí)現(xiàn)，針對(duì)圖論的基本問題及其算法，現(xiàn)已開發(fā)出一些相應(yīng)的軟件，如Lingo軟件，Matlab軟件的優(yōu)化工具箱。在理論教學(xué)之余，應(yīng)適當(dāng)安排一些上機(jī)實(shí)驗(yàn)課，讓學(xué)生熟悉這些軟件的操作應(yīng)用，并能解決一些實(shí)際問題。另外，在圖論的教學(xué)過程中，還應(yīng)兼顧培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)算法及編寫算法程序代碼的能力，這既可以加深學(xué)生對(duì)基本算法的理解，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生分析實(shí)際問題和解決實(shí)際問題的能力。

4.圖論與數(shù)學(xué)建模相結(jié)合，增加圖論的應(yīng)用性

傳統(tǒng)的圖論教學(xué)中，理論與實(shí)際脫離，學(xué)生在課堂上掌握了一大堆概念和理論，但是缺乏動(dòng)手能力。促使學(xué)生將學(xué)到的知識(shí)用到實(shí)處，是圖論教學(xué)的目的之一。數(shù)學(xué)建模是將數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)中的重要手段，在歷年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽中，有關(guān)圖論的競(jìng)賽試題曾多次出現(xiàn)，例如1992年B題是求最小生成樹，1994年B題是關(guān)于最大獨(dú)立頂點(diǎn)集和最小覆蓋等問題。可以說，圖論現(xiàn)已成為解決實(shí)際問題的重要工具之一，在圖論教學(xué)中將數(shù)學(xué)建模的思想、方法和技巧滲透其中是十分必要的，這樣既可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，又能啟發(fā)學(xué)生自覺思考，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

5. 板書講授與多媒體課件相結(jié)合，讓圖論更加直觀形象

由于圖論的內(nèi)容繁多，結(jié)論證明復(fù)雜，有時(shí)一個(gè)定理的證明需要很長(zhǎng)的時(shí)間，所以在一學(xué)期內(nèi)完成圖論的教學(xué)，課時(shí)十分有限。圖論的學(xué)習(xí)，最為重要的就是學(xué)習(xí)掌握?qǐng)D論的思維方式。傳統(tǒng)的板書教學(xué)費(fèi)時(shí)費(fèi)力，需要花太多的時(shí)間書寫文字，若能夠制作成熟的多媒體課件，配合板書進(jìn)行教學(xué)，不僅減少了老師的板書書寫內(nèi)容，同時(shí)還可以為學(xué)生呈現(xiàn)圖論中各種各樣精美絕倫的圖，增強(qiáng)圖論內(nèi)容的直觀性，讓學(xué)生更容易理解。

四、結(jié)束語

圖論在國(guó)內(nèi)是一門相對(duì)年輕的課程，做好圖論的教學(xué)工作任重道遠(yuǎn)?？偟膩碚f，各個(gè)院校各個(gè)專業(yè)應(yīng)結(jié)合本身實(shí)際情況因材施教，以提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)為宗旨，以培養(yǎng)學(xué)生的思維能力、創(chuàng)新能力和動(dòng)手能力為目標(biāo)，選擇適合的教學(xué)方法和模式。

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