基于顯式有限體積法的一維河網(wǎng)模型

向小華,吳曉玲,牛 帥,杜世鵬

(1.武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室,湖北 武漢 430072;2. 河海大學水文水資源學院,江蘇 南京 210098; 3. 南京水利科學研究院水文水資源研究所,江蘇 南京 210029; 4. 浙江省水利水電勘測設計院,浙江 杭州 310002)

基于顯式有限體積法的一維河網(wǎng)模型

向小華1,2,吳曉玲2,牛 帥3,杜世鵬4

(1.武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室,湖北 武漢 430072;2. 河海大學水文水資源學院,江蘇 南京 210098; 3. 南京水利科學研究院水文水資源研究所,江蘇 南京 210029; 4. 浙江省水利水電勘測設計院,浙江 杭州 310002)

采用顯式通量差分裂格式離散圣維南方程組,通過特征線方式處理邊界;在局部離散中引入跨臨界流熵修正和TVD限制器,以提高模型精度并保證模擬穩(wěn)定性,最終構建了基于顯式有限體積法的一維河網(wǎng)水流模型。經(jīng)典算例驗證表明,所建立的模型能夠處理具有激波的跨臨界等復雜流態(tài);模型應用于長江南京八卦洲河段,水位和流量的驗證表明該模型能夠應用于實際的河網(wǎng),并具有較高的精度,為顯式離散方法應用于河網(wǎng)模型提供了一種思路。

一維河網(wǎng)模型;有限體積法;顯式離散;通量差分裂;圣維南方程組

以Preissmann離散格式為基礎的數(shù)值方法以及分級求解技術在大范圍的河網(wǎng)模型中已經(jīng)成為最常用的手段[1-2],其優(yōu)勢是模型可以采用較大的時間步長,且通過分級技術將大范圍河網(wǎng)的整體求解問題劃分為河道以及河網(wǎng)節(jié)點分步驟求解問題,在效率和計算硬件需求上都有較大優(yōu)勢[3-4]。但Preissmann格式在沒有經(jīng)過特殊處理時難以適應跨臨界流等特殊流態(tài)[5-6];且該格式在實際應用中只具有一階精度,在河網(wǎng)應用中存在誤差累積[7];另外,線性化的圣維南方程組需要迭代求解,當?shù)皇諗繒r將不僅耗費工作量且得不到滿意的結果。

流體力學的另一分支——計算氣動力學在數(shù)值精度以及穩(wěn)定性方面都取得了重要進展,總變差衰減(total variation diminishing,TVD)類方法是其中重要的理論成果[8]。由于水和氣的相似性,氣動力學方法被廣泛地移植到水流計算中[9-11],結果顯示新方法精度較傳統(tǒng)水力學方法有明顯提升,表明方法移用在理論上是可行的。但氣動力學方法的理論和實際應用多是基于顯式離散方法,而目前的河網(wǎng)模型則幾乎都基于隱式離散方法,如何將氣動力學的成果應用于河網(wǎng)模型就需要解決顯式方法的適用性問題。本文以顯式的通量差分裂格式為例,以河網(wǎng)三級解法為基礎構建顯式河網(wǎng)模型,為顯式格式的應用提供一種思路,方程的詳細離散過程已經(jīng)在文獻[12]中加以描述,本文不再贅述,本文的重點在邊界條件處理以及顯式河網(wǎng)模型構建,并將所構建的河網(wǎng)模型應用于一個經(jīng)典算例和長江南京八卦洲河段的水流模擬,分別用于驗證模型處理跨臨界流以及捕捉受潮汐影響河段的潮位和流量過程的能力。

1 控制方程

一維非守恒型圣維南方程組的矩陣形式為

(1)

式中:U為待求向量;J為方程組特征矩陣,其兩特征值分別為λ1=u-c、λ2=u+c,c為重力波速,u為斷面平均流速;S為源項;A為過水斷面面積;Q為過水斷面流量;g為重力加速度;B為水面寬度;Z為斷面水位;Sf為摩阻比降;R為水力半徑;n為曼寧糙率。

2 數(shù)值方法

2.1 數(shù)值離散

TVD類方法中的通量差分裂格式物理意義為:控制體內物理量的變化是由進入控制體的凈通量差引起的,其含義見圖1。針對控制體i,式(1)可以離散成如下形式[12]

(2)

圖1 控制體示意圖

為了保證格式的和諧性[12],將式(2)中的Si也采用分裂離散,整理后得

(3)

2.2 邊界條件處理

采用特征線方法,在河道首斷面1得到的離散方程[12]為

(4)

(5)

斷面1上還需要給定一個邊界條件才能形成閉合方程組。同樣的方法,在河道的末斷面N的有效方程的概化形式為

(6)

需要另外補充邊界條件才能封閉。

2.3 河網(wǎng)模型構建

河網(wǎng)模型三級解法的步驟分3步:①將單河道內部的狀態(tài)采用河道首末斷面的水位線性表達;②在節(jié)點處根據(jù)能量和水量平衡建立節(jié)點水位方程,進而建立流域節(jié)點水位方程組,求解得節(jié)點水位;③將節(jié)點水位回代到各河道中完成一次求解。而在顯式方法中,單河道內部的狀態(tài)已經(jīng)與邊界條件解耦,無須內部線性表達和回代過程,即省去了第①③步,在第②步中也只針對節(jié)點單獨建模求解,各節(jié)點之間也沒有直接關聯(lián),無須求解節(jié)點水位方程組。

以圖2所示的一個河網(wǎng)節(jié)點i為例,說明節(jié)點的水位方程構建。圖2中兩條河流入節(jié)點,節(jié)點處的斷面編號分別為N1和N2,流出節(jié)點的河道首斷面編號為1。在節(jié)點處滿足的相容條件為斷面N1、N2以及1水位相等;斷面1流量為斷面N1、N2流量之和,即

(7)

圖2 河網(wǎng)節(jié)點示意圖

將式(5)和式(6)分別代入式(7),最終將求得節(jié)點處各河道的水位和流量,完成河網(wǎng)的一次求解。本文所采用的方法雖然采用了非守恒型方程(1),但只要按照文獻[9]中的方式計算矩陣J,則仍能保證物理量的守恒性,即式(1)和守恒型圣維南方程組等價。由于采用的是顯式計算方法,計算過程無須迭代求解,節(jié)省了工作量,避免了隱式線性化不收斂的問題。整個河網(wǎng)模型均是簡單的數(shù)值計算,無須隱式方法中的矩陣求解過程,便于方法的理解和實現(xiàn)。

3 算例分析

3.1 跨臨界流算例

本算例是一個經(jīng)典的算例,用來測試數(shù)值算法處理激波及跨臨界流的能力[13]。算例采用矩形斷面河道,河道長25 m、寬1 m,河底地形有一弧形凸起,定義為

(8)

通過設定恒定的邊界條件,最終將得到恒定流狀態(tài),所設置的條件為

(9)

(10)

式中:h為斷面水深;u為斷面流速;Q為斷面流量。

在以上條件下會形成具有激波的跨臨界流,這對于數(shù)值方法具有一定的挑戰(zhàn),未經(jīng)特殊處理的Preissmann離散方法無法模擬該算例,采用本文所建立的模型,均勻劃分200個斷面,斷面間距0.125 m,顯式計算的時間步長受CFL條件限制,其中CFL數(shù)取0.9。模擬結果如圖3所示,數(shù)值解與精確解完全吻合,最大誤差不超過5 mm,表明本文所述的方法具有處理復雜的臨界流態(tài)的能力。

圖3 激波跨臨界流數(shù)值解與精確解對比

3.2 實際河網(wǎng)算例

八卦洲位于長江下游的南京市,將長江分割為南部的主流和北部的支流,形成環(huán)狀河網(wǎng)。此河段受長江口潮汐影響明顯,潮位呈現(xiàn)出規(guī)律的每天兩高兩低潮特征,本次模型建模范圍上游從南京潮位站開始,下游至西壩潮位站,區(qū)間干流長度約20 km,八卦洲支流長度約21 km。河段內有上元門、燕子磯、工程段、揚吧以及通江集等潮位站。為了建設港口等工程,水文部門在2006年4月8—10日以及2007年4月8—10日對河段內的潮位過程進行了測量,并在第二時間段揚吧站所在斷面進行了半潮流量測量。全河網(wǎng)共劃分176個計算斷面,平均斷面間距180 m。以南京站作為上邊界,西壩站作為下邊界,內部潮位站點實測潮位過程和揚吧實測流量過程用來驗證方法的精度。在計算過程中,首先以上邊界的初始水位作為全河道水位,然后以上、下邊界實測初始值作為邊界計算恒定流,恒定后的水位作為正式計算時的初始水位;經(jīng)過前期資料率定,該河段的河道糙率取為0.020。與上述地理描述對應的模型斷面分布、河網(wǎng)節(jié)點布置、水位站點位置等見圖4。

圖4 八卦洲河網(wǎng)形態(tài)

水位、流量實測與模擬對比過程見圖5,兩者比較吻合,精度分析見表2。水位與流量的實測值與模擬值的相關系數(shù)在0.991～0.999之間,確定性系數(shù)在0.955～0.995之間,最大水位均方根誤差不超過0.04 m;揚吧斷面的流量均方根誤差為126.75 m3/s,相對誤差為4.6%,模型很好地捕捉到了完整漲落潮過程和潮位波動的流量過程,具有較高的精度。

圖5 長江南京八卦洲河段水位與流量對比

表2 各測站模擬精度分析

4 結 論

本文基于顯式通量差分裂格式離散圣維南方程組,建立了河道一維顯式水動力模型。依據(jù)河網(wǎng)三級解法的思路,建立節(jié)點處的相容方程,回避了隱式河網(wǎng)模型中所需的遞推和回代過程,建立了顯式格式下的河網(wǎng)模型,提供了一種將顯式TVD格式應用于河網(wǎng)模型的方法。理想模型的結果顯示本文模型能夠處理具有激波的跨臨界流流態(tài);長江南京八卦洲河段的實例驗證表明模型能夠有效地模擬漲落潮水位以及潮流流量。

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Construction of one-dimensional river network model based on explicit finite volume method//

XIANG Xiaohua1, 2, WU Xiaoling2, NIU Shuai3, DU Shipeng4
(1.StateKeyLaboratoryofWaterResourcesandHydropowerEngineeringScience,WuhanUniversity,Wuhan430072,China; 2.CollegeofHydrologyandWaterResources,HohaiUniversity,Nanjing210098,China; 3.HydrologyandWaterResourcesDepartmentofNanjingHydraulicResearchInstitute,Nanjing210029,China; 4.ZhejiangDesignInstituteofWaterConservancyandHydro-ElectricPower,Hangzhou310002,China)

A one-dimensional river network model was constructed by discretization of Saint-Venant equations with explicit flux-difference splitting scheme and dealing border with characteristic line method. Meanwhile, the modeling accuracy and stability are enhanced with the application of entropy correction and total variation diminishing(TVD) limiter to local discretion. In a classical numerical example, the model shows its ability in capturing complex flow conditions like trans-critical flow with shock waves. Being applied in the Baguazhou section of the Yangtze River, the model shows its performance in terms of water level and flux with higher accuracy, which is suitable for the real river network. To sum up, the model discretion introduces a new idea about explicit discretion into river network model.

one-dimensional river network model; finite volume method; explicit discretion; flux difference split; Saint-Venant equations

武漢大學水資源與水電工程科學國家重點實驗室開放基金(2013B105);國家自然科學基金(41201030)

向小華(1981—),男,湖北松滋人,講師,博士,主要從事水文模型研究。E-mail:xxh_xiang@sina.com

10.3880/j.issn.1006-7647.2015.04.002

TV133

A

1006-7647(2015)04-0006-04

2015-01-04 編輯：熊水斌)