混凝土宏觀損傷本構(gòu)模型綜述

田秀全 孫利民

（鄭州大學(xué)力學(xué)與工程科學(xué)學(xué)院，河南 鄭州450001）

眾所周知，混凝土是一種主要的工程建筑材料，其在建筑、橋梁、港口、高速公路、隧道、大壩、地鐵等各個(gè)領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。但是由于混凝土是一種由水泥砂漿、骨料和過渡區(qū)所構(gòu)成的三相復(fù)合材料，以及它在初始階段就有隨機(jī)分布的微裂縫和微孔洞，它損傷破壞時(shí)帶有典型的非線性?；炷疗茐臅r(shí)的復(fù)雜性一直限制著混凝土的本構(gòu)關(guān)系方面的的研究，以往出現(xiàn)的描述混凝土非線性的模型有非線性彈性模型、彈塑性模型等，但是這些模型都沒有合理地反映混凝土受力時(shí)的特性。損傷力學(xué)的出現(xiàn)，開拓了混凝土損傷破壞研究新的領(lǐng)域。Kachanov[1]、Rabotnov[2]、Krajcinovic[3]、Sidoroff[4]等 先 后 為 損傷力學(xué)理論做出了貢獻(xiàn)——損傷因子、有效應(yīng)力、損傷面、應(yīng)變等效、能量等效等新的概念逐步進(jìn)入人們的視野，損傷理論的大致框架形成。

從Dougill開始將損傷力學(xué)引入混凝土用來描述其典型的非線性以來，經(jīng)過幾十年的發(fā)展，混凝土損傷力學(xué)理論得到長(zhǎng)足發(fā)展，眾多的混凝土宏觀損傷力學(xué)一些新的研究進(jìn)展需要整理歸納。

1 彈性損傷模型

由于問題的復(fù)雜性，早期的混凝土損傷本構(gòu)關(guān)系都省略了混凝土卸載后客觀存在的那部分不可恢復(fù)的永久變形，只是建立了考慮剛度退化、非線性的彈性損傷模型。這些彈性損傷模型為開拓新的混凝土研究領(lǐng)域，而且為后來的彈塑性模型的建立提供了早期的理論基礎(chǔ)。

混凝土損傷本構(gòu)模型中，首個(gè)取得的突破性成果是Ladevèze-Mazars彈性損傷模型。由于混凝土在拉、壓應(yīng)力作用下強(qiáng)度、剛度性質(zhì)差別很大，受拉強(qiáng)度較受壓強(qiáng)度小很多，且受壓時(shí)會(huì)出現(xiàn)剛度恢復(fù)的現(xiàn)象，即單邊效應(yīng)。為了反映混凝土的單邊效應(yīng)，法國(guó)學(xué)者Ladevèze[5]提出了應(yīng)力張量的正負(fù)分解方法：

這種把混凝土的拉壓損傷分開考慮的想法，后來被證明是適用于混凝土材料的，也被后來的研究人員所采用,如Faria[6]、Wu[7]等。

Mazars[8]借鑒上述應(yīng)力正負(fù)分解的方法，并且在模型中首次引入彈性損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則（盡管是經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則），將熱力學(xué)知識(shí)引入到混凝土損傷研究中。Mazars將材料的Helmholtz自由能勢(shì)表達(dá)為：

其中C0為材料柔度張量C0，d+和d-分別為受拉、受壓損傷變量。

但是該模型將應(yīng)力分開來考慮不同的受力情況，以及首次基于損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則，盡管是經(jīng)驗(yàn)準(zhǔn)則，卻為后來的研究者指明了方向。因此，上述模型后來被稱為：Ladevèze-Mazars單邊損傷本構(gòu)模型。

典型的各向同性彈性損傷模型還有Loland[9]受拉損傷模型、余天慶[10]分段線性模型、錢濟(jì)成[11]等。由于彈性損傷模型忽視了那部分不可恢復(fù)變形，所以理論上總是存在漏洞，而彈性損傷模型反映混凝土復(fù)雜受力情況下的力學(xué)特性明顯有偏差，所以后來有不少研究者試圖修正和完善Ladevèze-Mazars模型，其中比較具有代表性的有Papa和Taliercio[12]、Comi和Perego[13]等建立的經(jīng)驗(yàn)彈性損傷模型。但是由于彈性損傷模型的固有缺陷，都沒取得好的效果。

2 彈塑性損傷

Karsan and Jirsa[14]等做了混凝土在反復(fù)加載時(shí)的大量的試驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可以借鑒，從圖1中可以看出反復(fù)加載時(shí)的混凝土應(yīng)力—應(yīng)變關(guān)系存在明顯的剛度退化，而且在加載過程中，當(dāng)應(yīng)力卸載后仍然存在相當(dāng)一部分不可恢復(fù)的變形，而且還會(huì)逐漸地增加。

圖1 混凝土反復(fù)加載時(shí)的應(yīng)力一應(yīng)變關(guān)系

彈性損傷本構(gòu)模型沒有描述這部分不可恢復(fù)變形，于是研究人員開始把塑性理論引入到損傷本構(gòu)關(guān)系中，現(xiàn)有彈塑性損傷模型中對(duì)塑性應(yīng)變的反映主要基于以下3種方式。

2.1開始由于研究水平的限制，學(xué)者一般假設(shè)損傷僅影響材料的彈性特性，并在Cauchy應(yīng)力空間求解塑性應(yīng)變。比較經(jīng)典的模型有Resende[15]、Simo-Ju[16]等。

求解塑性應(yīng)變所采用的基本公式如下：

塑形流動(dòng)法則

塑形硬化法則

塑形屈服、加卸載條件

2.2在Cauchy應(yīng)力空間求解塑性應(yīng)變?cè)诘鷷r(shí)可能引起不收斂情況。由于混凝土是脆性材料，損傷后局部應(yīng)力會(huì)重新分布，而且塑性流動(dòng)發(fā)生在材料的無(wú)損傷部分，所以應(yīng)該基于有效應(yīng)力空間來考慮塑性變形。為此，只要將應(yīng)力換成有效應(yīng)力即可，Ju[17]等采用這種方法。

2.3不管是Cauchy應(yīng)力空間還是有效應(yīng)力空間求解塑性應(yīng)變，公式復(fù)雜，計(jì)算龐大，為了簡(jiǎn)化計(jì)算，也有學(xué)者采用經(jīng)驗(yàn)表達(dá)的方法來考慮塑性變形，典型的有Faria[6]等損傷模型。

其中Faria等建立的經(jīng)驗(yàn)塑性應(yīng)變率表達(dá)式為：

其中β是經(jīng)驗(yàn)修正系數(shù)，H（）為Heavside越階函數(shù)。

3 Helmholtz自由能以及損傷變量的演化發(fā)則

損傷本構(gòu)模型的重點(diǎn)是給出合理的損傷變量來表達(dá)材料的損傷狀態(tài)，以及找出損傷變量的演化法則。由于問題的復(fù)雜性，剛開始時(shí)研究的是標(biāo)量損傷，即各項(xiàng)同性損傷中的特例——損傷方向一致。然而由于混凝土初始狀態(tài)隨機(jī)分布有微裂縫和微孔洞等缺陷，所以明顯是各向異性的材料，所以標(biāo)量損傷無(wú)法描述混凝土的各向異性損傷。所以有學(xué)者就相繼研究了矢量以及張量表達(dá)式來描述損傷[18]。

3.1 經(jīng)驗(yàn)損傷演化

在確定了損傷變量后，就要給出損傷變量變化的損傷演化方程。建立的損傷演化方程主要分為3種。

一種是基于擬合大量的試驗(yàn)數(shù)據(jù)的經(jīng)驗(yàn)損傷演化方程，如Comi和Perego[13]經(jīng)驗(yàn)彈性損傷模型、Faria等經(jīng)驗(yàn)彈塑性損傷本構(gòu)模型、Resende拉壓損傷模型。Faria在其經(jīng)驗(yàn)彈塑性損傷本構(gòu)模型中，沒有采用基于損傷能釋放率建立損傷面，而是采用了經(jīng)驗(yàn)的損傷面，他定義了“等價(jià)應(yīng)力”，即：

進(jìn)而Faria將損傷演化函數(shù)取為經(jīng)驗(yàn)表達(dá)式：

3.2 基于損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則

另一種就是理論相對(duì)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，基于與損傷變量功共軛的損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則，然后基于正交法則得到損傷變量的演化函數(shù)。如Mazars[8]彈性損傷模型，Wu and Li[19]彈塑性損傷模型。事實(shí)上，對(duì)于上述經(jīng)典的彈塑性損傷本構(gòu)模型來說，都假定損傷只影響材料的彈性性能而不影響塑性特性。后續(xù)研究證明：基于彈性損傷能釋放率建立的損傷準(zhǔn)則無(wú)法預(yù)測(cè)混凝土材料在雙軸受壓條件下強(qiáng)度的提高。

基于此，Ju[17]在其單標(biāo)量彈塑性損傷中正式考慮塑性Helmholtz自由能對(duì)損傷的影響，將材料的總Helmholtz自由能分解為彈性和塑性兩部分。自Ju后學(xué)者紛紛在材料的Helmholtz自由能中耦合進(jìn)塑性自由能，這樣就能將塑性損傷能釋放作為總的能量釋放率的一部分，從而建立損傷和塑性的雙向耦合模型。在這一方面李杰等取得突出的成果，李杰[20]等參照Resende[15]拉壓損傷模型，引入混凝土的損傷、破壞的受拉和受剪機(jī)制，從損傷和塑性的雙向耦合效應(yīng)入手，引入彈塑性Helmholtz自由能勢(shì)，基于損傷能釋放率建立損傷準(zhǔn)則，并在有效應(yīng)力求解塑性變形，形成了具有熱力學(xué)基礎(chǔ)的雙標(biāo)量彈塑性損傷模型。

李杰等將總Helmholtz自由能勢(shì)分解為彈性受拉和受剪部分和塑性受剪部分：

把彈塑性Helmholtz自由能帶入等溫絕熱條件下的不可逆熱力學(xué)第二定律Clausius-Duhem不等式，整理可得到受拉和受剪損傷能釋放率分別為：

再基于損傷面通過正交流動(dòng)法則得到損傷變量的演化法則,如下：

類比于經(jīng)典塑性力學(xué)，損傷加卸載條件即Kuhn——Tucker關(guān)系為：

最終得到損傷演化函數(shù)為：

其中，r0+和r0-為初始受拉和受剪損傷能釋放率閾值，r+和r-為當(dāng)前受拉和受剪損傷能釋放率，A-、A+、B-、B+分別是模型參數(shù)，可以通過混凝土單軸受拉和受壓應(yīng)力——應(yīng)變曲線標(biāo)定。

3.3 基于損傷能量釋放

還有一種是由Najar[21]等人發(fā)展起來的，基于損傷能量釋放的模型。按照Najar的損傷理論，脆性固體材料的損傷定義為：

其中：W0為無(wú)損材料的應(yīng)變能密度，Wε為損傷材料的應(yīng)變能密度，E0、E分別是無(wú)損材料的彈性系數(shù)張量。

在Najar損傷模型中，由于對(duì)Wε的計(jì)算進(jìn)行了線性簡(jiǎn)化，即取，所以Wε的計(jì)算值比實(shí)際的應(yīng)變能密度小，造成計(jì)算的損傷變量d值偏大。為此王中強(qiáng)、余志武[22]采用了精度更高的辛普生積分方法，更加真實(shí)地反映混凝土的損傷行為。此外，李淑春和刁波[23]等也在這方面做了不少努力。

4 結(jié)論

彈性損傷模型表達(dá)式簡(jiǎn)單，數(shù)值計(jì)算量小，參數(shù)標(biāo)定簡(jiǎn)單，單調(diào)加載時(shí)能較好地滿足混凝土的受力力學(xué)行為，適用于工程中大型結(jié)構(gòu)的非線性計(jì)算，但是存在固有的缺陷。由于沒有考慮混凝土反復(fù)加載時(shí)存在的不可恢復(fù)變形，所以只能表達(dá)由于剛度退化引起的非線性行為，而忽視了這部分不可恢復(fù)變形引起的非線性。

彈塑性損傷模型已經(jīng)能夠表征混凝土材料的塑性變形行為，但是由于求解塑性應(yīng)變時(shí)計(jì)算復(fù)雜而且計(jì)算量大，所以不利于工程實(shí)際。

基于能量釋放的混凝土損傷本構(gòu)模型，盡管定義簡(jiǎn)明，但是缺乏熱力學(xué)基礎(chǔ)，而且沒有與主流的基于損傷能量釋放率的損傷模型進(jìn)行有效的交流。

本文從彈性損傷模型出發(fā)進(jìn)一步深入到彈塑性模型，重點(diǎn)從基于損傷能量釋放率的損傷本構(gòu)模型、基于損傷能量釋放的損傷本構(gòu)模型和其它經(jīng)驗(yàn)損傷本構(gòu)模型3個(gè)方面，列舉了其中有代表意義的混凝土損傷本構(gòu)模型。

最后，建議混凝土宏觀損傷本構(gòu)模型研究從物理實(shí)際出發(fā)，比如從拉壓損傷到拉剪損傷的轉(zhuǎn)變，從cauchy應(yīng)力推進(jìn)到有效應(yīng)力空間來考慮塑性應(yīng)變，損傷變量也要定義有物理意義的量。并且嘗試結(jié)合損傷能量釋放率和損傷能量釋放，充分利用兩者的優(yōu)越性。

［1］Kachanov L.M.Time of the Rupture Process UnderCreep Condition.［J］.TVZAkad.Nauk.S.S.R.Otd.Tech.Nauk.1958，8.

［2］RabotnovY.N.On the equations of State for Creep［C］.Progress in Appliedmechanics，1963，307-315.

［3］Krajicinovic D.Damage Mechanics［J］.Mech.Mater.1989（8）:117-197.

［4］Supartono F，Sidoroff F.Anisotropic Damagemodeling for Brittle elasticmaterials［C］.Symposium of Franc-Poland，1984.

［5］Ladevèze P.On an anisotropic damage theory，failure criteria of structured media［C］.In:Proceedings of the CNRSInternationalColloquium.Villard-de-Lans，F(xiàn)rance，1983.

［6］Faria R，Oliver J，Cervera M.A strain-based plastic viscous-damage model for massive concrete structures［J］.International JournalofSolidsand Structures，1998，35（14）:1533-1558.

［7］Wu J Y，Li J，F(xiàn)aria R.An energy release rate-based plastic-damagemodel for concrete［J］.International Journalof Solids and Structures，2006，43（3-4）:583-612.

［8］Mazars J.A description of micro-and macro-scale damageof concrete structures［J］.Engineering Fracture Mechanics，1986，25:729-737.

［9］K.E.Loland，Continuous Damage Model for Load-response Estimation of Concrete〔J〕.Cement and ConcreteResearch.PergamonPress，Ltd 1980，10:395-402.

［10］余天慶，混凝土的分段線性損傷模型［J］.巖石，混凝土斷裂與強(qiáng)度，1985（2）：14-16.

［11］錢濟(jì)成，周建方，混凝土的兩種損傷模型及其應(yīng)用［J］.河海大學(xué)學(xué)報(bào)，1989（3）:40-47.

［12］Papa E，Taliercio A.Anisotropic damage model for themultiaxial static and fatigue behavior of plain concrete［J］.Engineering FractureMechanics，1996，55:163-179.

［13］Comi C，Perego U.Fracture energy based bidissipativedamage model for concrete［J］.International Journal ofSolidsand Structures，2001，38:6427-6454.

［14］Karsan I K，Jirsa J O.Behaviour of concrete under compressive loadings.Journal of the Structural Division，1969，95（12）:2543-2563.

［15］Resende L.A damagemechanics constitutive theory for the inelastic behavior of concrete［J］.Computer Methods in Applied Mechanicsand Engineering，1987，60（1）:57-93.

［16］Simo JC，Ju JW.Strain-and stress-based continuum damagemodels-I.Formulation［J］.International Journalof Solids and Structures，1987，23（7）:821-840.

［17］Ju JW.On energy-based coupled elastoplastic damage theories:constitutive modeling and computational aspects［J］.International Journal of Solids and Structures，1989，25（7）:803-833.

［18］吳建營(yíng).基于損傷能釋放率的混凝土彈塑性損傷本構(gòu)模型及其在結(jié)構(gòu)非線性分析中的應(yīng)用［D］.上海:同濟(jì)大學(xué)博士學(xué)位論文.2004.

［19］Li J，Wu JY.Energy-based CDM model for nonlinear analysis of confined concrete structures［J］.American Concrete Institute，2006，SP-238，209-221.

［20］李杰，吳建營(yíng).混凝土彈塑性損傷本構(gòu)模型研究I:基本公式［J］.土木工程學(xué)報(bào)，2005，38（9）:14-20.

［21］Najar J.Brittle residual strain and continuum damage at variable uniaxial loading［J］.International Journal of Damage Mechanics1994，3（3）：260-276.

［22］王中強(qiáng)，余志武.基于能量損失的混凝土損傷模型［J］.建筑材料學(xué)報(bào)，2004-12，7（4）:365-369.

［23］李淑春，刁波，葉英華.基于能量方法的分段曲線混凝土損傷模型［J］.工業(yè)建筑，2007，37（5）:1-4.