基于改進的Logistic混沌映射彩色圖像加密算法

黃 碩

(信陽職業(yè)技術(shù)學院 數(shù)學與計算機學院，河南 信陽464000)

圖像加密是保護圖像安全的一種直接有效的手段，眾多學者對圖像加密技術(shù)做了大量研究并取得了豐富的成果，如基于現(xiàn)代密碼體制的圖像加密、基于矩陣變換的圖像加密、基于混沌的圖像加密、基于分存的圖像加密、基于頻域的圖像加密、基于SCAN語言的圖像加密和基于DNA計算的圖像加密等［1］.針對彩色圖像加密設(shè)計，需要考慮以下四點基本要求:加解密速度快、Kerckhoff原則、密鑰空間大、解密保真度高.根據(jù)這四點基本要求，在不需要壓縮加密的前提下，應該盡量選擇在RGB色彩模型空間或空域上進行，并綜合考慮運行速度、抗攻擊能力、密鑰空間大小、抗噪聲及抗剪裁能力等因素來設(shè)計加解密算法.因此，針對密鑰情況提出了一種改進的、具有較大密鑰空間的Logistic混沌映射來產(chǎn)生混沌密碼序列;針對加密算法在序列異或加密算法上進行改進，以避免單純異或加密的缺點，同時又保留了加解密速度快的優(yōu)點;針對加密效果，通過實驗仿真，并從直方圖、加密效果評價參數(shù)、抗剪裁、抗噪聲、相關(guān)性、密鑰空間大小等方面進行了深入分析.

1 傳統(tǒng)的Logistic算法分析

Logistic映射方程來自現(xiàn)實中的人口統(tǒng)計，是典型的非線性用來描述混沌狀態(tài)的方程，能夠簡單地表現(xiàn)混沌運動的一般特征.傳統(tǒng)單一性的Logistic算法過程如下:①挑選恰當?shù)腖ogistic方程生成密鑰序列的算法;②輸入作為加解密初始密鑰的初值;③從目前所處的軌跡啟動迭代程序;④形成混沌運動的實數(shù)序列，將這些序列轉(zhuǎn)化為方便處理的二進制序列;⑤將其中某部分的明/密文選為帶加/解密明文;⑥用異或運算來處理所得到的二進制序列與當前的待加密明文/待解密密文，結(jié)果為密/明文序列;⑦將目前運算的行蹤作為下一次加/解密的初始密鑰;⑧對加/解密是否完成進行判斷，沒有完成則返回到第③步;⑨加/解密完成.

傳統(tǒng)的Logistic加密算法方便快捷、便于實現(xiàn)，并且由于混沌系統(tǒng)本身對初值比較敏感，又有隨機性，這使得傳統(tǒng)的Logistic算法具有一定的安全性.但是，傳統(tǒng)的Logistic算法缺點也非常明顯，主要有以下幾點:

(1)通過試驗總結(jié)出來的混沌序列的周期、偽隨機性和復雜性，很難保證這些參數(shù)都足夠高;

(2)為了保證一樣的周期，混沌函數(shù)內(nèi)部所使用的存儲器數(shù)目是寄存器的兩倍;

(3)混沌序列發(fā)生器使用的是有限精度器，有限的精度是實際應用混沌序列的一大障礙.

其中，缺陷(3)非常突出，故基于此對傳統(tǒng)的Logistic系統(tǒng)進行了改進.

2 改進的Logistic混沌映射

Logistic映射是用得最廣的一種混沌系統(tǒng)，其定義如下:

其中，0＜μ≤4稱為分支參數(shù)，xk∈(0，1)，當3.569 946＜μ≤4時，Logistic映射處于混沌狀態(tài)，也就是說初始條件x0在Logistic映射的作用下所產(chǎn)生的序列{xk}是非周期性的、不收斂的并對初始值非常敏感.因此，若僅僅用以上一維Logistic混沌映射來產(chǎn)生混沌密碼序列已不夠安全，極易暴露混沌系統(tǒng)的相關(guān)信息.為了提高系統(tǒng)的混沌程度，張靚［2］提出了一種改進的二維Logistic混沌映射，如下式所示:

當3.81≤u≤3.815時，其最大Lyapunov指數(shù)在2.2左右，該映射處于混沌狀態(tài).但是，根據(jù)Kerckhoff原則，要求密鑰空間盡可能大，為了增大式(2)Logistic混沌映射的混沌度，結(jié)合Chebychev混沌映射，如下式所示:

對式(2)所示的Logistic混沌映射的參數(shù)μ進行擾動，即μ不再是一個定值，而是隨Chebychev混沌映射的值而動態(tài)地變化.

當參數(shù)k=6時，Chebychev系統(tǒng)的Lyapunov指數(shù)為1.791 733…，映射處于混沌狀態(tài)且zn∈［-1 1］.由此，可構(gòu)造新的參數(shù)μ的表達式，如下式所示:

從而，式(2)變成了式(5)，即為本算法所提出的改進的Logistic混沌映射:

通過Matlab編程，當x0=0.345 678，y0=0.578 993，z0=0.234 567時，式(5)在迭代1 000次后的三維散點圖如圖1所示.在迭代100萬次后，統(tǒng)計得到xn，yn，zn的值域(只顯示16位有效數(shù)字)分別如下:

同時，通過Matlab中的tabulate函數(shù)對xn，yn，zn進行了頻數(shù)統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)每一個值都只出現(xiàn)了1次，表明所提出的Logistic混沌映射系統(tǒng)能產(chǎn)生較高隨機性的3組混沌序列.

圖1 迭代1 000次后的三維散點圖Fig.1 Three-dimensional scatter plot after iteration 1 000 times

3 加解密算法描述

針對一幅M×N的24位真彩色圖像，共有M×N個像素和M×N×3個灰度值.鑒于圖像異或加密的簡單性與快速性，將其進行改進，提出一種新的加解密算法，整體流程如圖2所示.

加密步驟如下:

(1)輸入密鑰x0，y0，z0和I，其中x0，y0，z0分別為式(5)所示混沌映射的初始值，I為混沌序列的初始迭代次數(shù).然后，產(chǎn)生兩組長度為M×N×3的一維混沌密碼序列SX和SY，其產(chǎn)生方式如下式所示:

其中，i∈［1 M×N×3］，xi和yi分別為式(5)在迭代I+i次后的值.

圖2 加解密算法流程Fig.2 The flow chart of encryption algorithm

(2)對原圖像的數(shù)據(jù)序列進行先異或運算再求和求余運算，其加密公式如下式所示:

其中，Pi表示彩色圖像每個像素的R或G或B分量的值，P'i為加密后的值.

解密算法是加密的逆過程，具體步驟如下:

(1)與加密過程一樣，由式(5)和式(6)產(chǎn)生兩組長度為M×N×3的一維混沌密碼序列SX，SY;

(2)對加密圖像的數(shù)據(jù)序列進行先求和求余運算再異或運算，其解密公式如下式所示，最后得到解密圖像:

式(8)也可以寫成式(9)的形式:

4 實驗仿真與加密效果分析

以大小為256×256個灰度級、24位真彩色的Lina圖像(如圖3(a)所示)為實驗對象，設(shè)定初始密鑰值為x0=0.345 678，y0=0.578 993，z0=0.234 567，I=222，加密效果如圖3(b)所示，正常解密圖像如圖3(c)所示，當改變密鑰x0=0.345 678 1時的解密圖像如圖3(d)所示.可以看出，加密圖像在直觀上已經(jīng)變得雜亂無章，即使微小改動初始密鑰值，也不能獲得原圖像的任何信息，體現(xiàn)了該加密算法對密鑰有較強的敏感性.

圖3 圖像加解密效果Fig.3 The results of encryption and decryption of images

4.1 直方圖對比效果

原圖像和加密圖像的直方圖分別如圖4(a)和4(b)所示.可以看出，加密后的直方圖變得非常均勻，圖像的像素變化大，通過直方圖信息來破解圖像將會變得非常困難.

4.2 圖像加密效果的評價參數(shù)

圖像加密效果的評價是在原始圖像與加密后的圖像之間進行的.設(shè)原始圖像為O，加密后的圖像為E，則O(i)和E(i)分別代表各自數(shù)組中第i個元素代表的亮度值，數(shù)組的長度為n.

圖4 原圖像與加密圖像的直方圖Fig.4 Histogram of the original image and the effect of the encrypted image

(1)信息熵:

其中，p(xi)表示符號集中符號xi在消息中出現(xiàn)的概率，l表示灰度等級數(shù)，也表示符號的個數(shù)，本系統(tǒng)中l(wèi)為256個，即為0～255.顯然，信息X的不確定性越大，信息熵越高.當所有變量出現(xiàn)的概率都相同時，信息熵最大，本系統(tǒng)中的最大信息熵為log2256=8.

(2)灰度平均變化值:

當兩個圖像的灰度產(chǎn)生均勻變化時，圖像置亂的效果是最好的，并且越均勻安全性越高，最好的情況應該是圖像灰度平均變化值為128.

(3)圖像相似度:

若原圖像與加密圖像完全相同，則其相似度為1，即完全相似.對于加密圖像來說，與原圖像的相似度越小，安全性就越高.以藍色分量為例，對加密前后圖像的信息熵、灰度平均變化值和圖像相似度進行了統(tǒng)計，如表1所示.可以看出，加密后圖像的信息熵大大增加，加密前后的相似度也較小，表明加密效果較好.由于算法沒有涉及像素間的置亂操作，故灰度變化值不是特別大.

表1 算法加密效果的評價參數(shù)情況(針對藍色分量)Tab.1 The results of evaluation parameters of encryption algorithm results(for the blue component)

4.3 抗剪裁分析

對加密后的圖像(如圖3(b)所示)進行1/8剪裁，如圖5(a)所示，然后進行解密操作，得到解密后的圖像，如圖5(b)所示.可以看出，剪裁部分對未被剪裁部分圖像的解密沒有任何影響，表明該算法抗剪裁能力較強.

4.4 抗隨機噪聲

對加密后的圖像如圖3(b)所示，每個像素的RGB分量都增加0～20的隨機值，當值超過255時以255代替，然后進行解密操作，得到解密后的圖像如圖6所示.可以看出，解密后的圖像基本能恢復原圖像的信息，但存在部分失真，這表明該算法具有一定的抗隨機噪聲能力.

圖5 抗1/8剪裁效果分析Fig.5 The analysis of 1/8 anti-cut effectiveness

圖6 抗隨機噪聲效果Fig.6 The effects anti-random noise

5 加密過程中的注意事項和對比

5.1 注意事項

(1)在改進的方法中，對μ進行擾動，使它不再是一個定值，這樣增大了密鑰空間并提高了Logistic的混沌度，使得混沌系統(tǒng)的相關(guān)信息不易被暴露，提高了安全度;

(2)經(jīng)過改進之后，對xn，yn，zn進行處理，在統(tǒng)計過程中每個值都出現(xiàn)了一次，這說明在迭代的過程中，沒有出現(xiàn)同樣的xn，yn，zn，這解決了單純的Logistic映射的有限精度所導致的周期循環(huán)問題;

(3)彩色圖像加密算法設(shè)計應考慮以下四點基本要求:加解密速度快、Kerckhoff原則、密鑰空間大、解密保真度高.

5.2 算法比較隨機性檢驗

對傳統(tǒng)的算法和改進后的算法做一些隨機性的比較，結(jié)果見表2.

表2 傳統(tǒng)算法與改進算法隨機性檢驗結(jié)果對比Tab.2 The eom parison of randomness of traditional algorithm and im proved algorithm test results

由表2可知，改進后的Logistic算法通過了隨機性檢驗試驗，在產(chǎn)生密鑰序列的隨機性方面，與傳統(tǒng)的Logistic算法相比得到了明顯提高，增強了改進算法的安全性.

6 結(jié)論

(1)為了抵抗解密圖像的破解攻擊，需在保證加密運算速度和低資源消耗的前提下，盡量增大系統(tǒng)的密鑰空間.因此，結(jié)合Chebychev混沌映射的值域為［-1，1］的特性，設(shè)計算法對二維Logistic混沌系統(tǒng)的參數(shù)μ進行迭代變化，大大增加了密鑰空間.該算法在序列異或加密算法上進行了改進，改進后的算法非常簡單，可以對圖像數(shù)據(jù)流快速地實時加解密.

(2)彩色圖像加密算法設(shè)計時應考慮以下四點基本要求:加解密速度快、Kerckhoff原則、密鑰空間大、解密保真度高.在不需要壓縮加密的前提下，應該盡量選擇在RGB色彩模型空間或空域上進行，并且要綜合考慮運行速度、抗攻擊能力、密鑰空間大小、抗噪聲及抗剪裁能力等因素.

［1］張曉強，王蒙蒙，朱貴良，等.圖像加密算法研究新進展［J］.計算機工程與科學，2012，34(5):1-6.

［2］張靚.混沌偽隨機序列發(fā)生器設(shè)計及應用［D］.哈爾濱:黑龍江大學，2008.