應(yīng)用Lagrange方程研究剛彈耦合動(dòng)力學(xué)

梁立孚，宋海燕，郭慶勇

(哈爾濱工程大學(xué)航天與建筑工程學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

從十八世紀(jì)開始，在力學(xué)發(fā)展史上出現(xiàn)了與牛頓的矢量力學(xué)并駕齊驅(qū)的另一力學(xué)體系，即Lagrange于1788年在巴黎正式出版的不朽名著《Mecanique Analytique(分析力學(xué))》［1］。這個(gè)體系的特點(diǎn)是對能量與功的分析代替對力與力矩的分析。1834年和1843年W.R.Hamilton建立了Hamilton原理和正則方程，把分析力學(xué)推進(jìn)一步［2］。

如何將經(jīng)典分析動(dòng)力學(xué)應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的問題，一直是各國學(xué)者關(guān)注的研究課題，經(jīng)過200多年的努力，取得豐碩的研究成果。由這些研究成果明確地反映出，應(yīng)用Hamilton原理的論述很多，而應(yīng)用 Lagrange方程的論述較少。這是因?yàn)樵诮?jīng)典分析動(dòng)力學(xué)中，Lagrange方程式是以離散的質(zhì)點(diǎn)和質(zhì)點(diǎn)系為對象建立的，如何應(yīng)用于連續(xù)介質(zhì)力學(xué)，仍然是國內(nèi)外學(xué)者不斷探索的重要課題［3-7］。

通過多年的研究，積累了不少成功的和失敗的經(jīng)驗(yàn)，經(jīng)驗(yàn)告訴我們，在一定的意義上說，Lagrange方程和Hamilton原理都涉及變分學(xué)，Lagrange本人又是變分學(xué)的奠基人之一，從變分學(xué)的基本理論研究做起，或許是一條可行的途徑。本文作者提出變分的逆運(yùn)算變積概念，建立了變積方法，得到錢偉長院士的親自推薦［8］。應(yīng)用變積方法，與胡海昌院士一起，建立了一般力學(xué)三類變量的廣義變分原理［9］。劉高聯(lián)院士也充分肯定了變積方法［10］。這些研究使得微積分學(xué)中的積分、微分和導(dǎo)數(shù)在變分學(xué)中都有了對應(yīng)的概念——變積、變分和變導(dǎo)，從而初步地將變分學(xué)擴(kuò)充為變積分學(xué)。本文應(yīng)用變導(dǎo)的概念和運(yùn)算法則，通過研究Lagrange方程中的求導(dǎo)的性質(zhì)，逐步地將Lagrange方程應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)，進(jìn)而應(yīng)用于剛彈耦合動(dòng)力學(xué)。應(yīng)用Lagrange方程，建立了剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程。

1 Lagrange方程中的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)

為了說明這個(gè)問題，首先，明確變導(dǎo)的概念。

設(shè)有定積分形式的泛函:

自變函數(shù)為y(x)，自變量為x。對式(1)進(jìn)行變分運(yùn)算可得

由于δy任意性，式(2)可以變換為

在微分學(xué)中，函數(shù)的微分表示為dy，自變量的微分表示為dx，微商表示為又稱導(dǎo)數(shù)。在變分學(xué)中，泛函的變分表示為δV，可變函數(shù)的變分表示為δy，變商表示為又稱變導(dǎo)。

接下來，分析Lagrange方程中的導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)。經(jīng)典分析動(dòng)力學(xué)中的Lagrange方程表示為

其中，q=q(t)為廣義坐標(biāo)，一般分析動(dòng)力學(xué)中均把其處理為廣義坐標(biāo)列陣［q1(t)q2(t)q3(t)…qi(t)…qn(t)］T，i=1，2，3，…，i，…，n。在變分學(xué)中，基本上存在三級(jí)變量—自變量、可變函數(shù)和泛函。簡單函數(shù)和泛函的區(qū)別在于:簡單函數(shù)是自變量的函數(shù)，而泛函是可變函數(shù)的函數(shù)，獨(dú)立自主地變化的可變函數(shù)稱為自變函數(shù)。明確了變分學(xué)中的三級(jí)變量，對區(qū)分微積分中的導(dǎo)數(shù)和變積分學(xué)中的變導(dǎo)很有幫助。對自變量求導(dǎo)為微積分中的導(dǎo)數(shù)，而對可變函數(shù)的求導(dǎo)則為變積分中的變導(dǎo)。

這里指出，Lagrange J.L.已經(jīng)注意到微分符號(hào)用“d”和變分符號(hào)用“δ”，而且應(yīng)用了符號(hào)中的對時(shí)間t求導(dǎo)在文獻(xiàn)［1］中，Lagrange方程表示為

進(jìn)一步，將變量ξ變換為q則有式(4)。

變積分學(xué)中的變導(dǎo)和微積分學(xué)中的導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，有時(shí)相同、有時(shí)不同，這類問題，在后面研究具體問題時(shí)可以明顯的表達(dá)出來。

2 Lagrange方程應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)

彈性動(dòng)力學(xué)的動(dòng)能可以表示為

彈性動(dòng)力學(xué)的勢能可以表示為

位移邊界條件為

其中，u為位移，為邊界位移，a為剛度系數(shù)，t為時(shí)間，ρ為物質(zhì)密度，?為Hamilton算子，f為單位體積力，T為單位面積力，V為體積，Sσ為應(yīng)力邊界面，Su為位移邊界面。

Lagrange方程表示為

可見，這里對動(dòng)能求變導(dǎo)的運(yùn)算法則與微積分中求導(dǎo)數(shù)的法則相同。勢能的變導(dǎo)項(xiàng)的推導(dǎo)較為復(fù)雜，與微積分中求導(dǎo)數(shù)的法則不盡相同:

由于

應(yīng)用Green定理

將式(16)和式(9)代入式(15)，然后將式(15)代入式(14)，則得

將相關(guān)各式代入Lagrange方程，可得

寫成微分形式，可得彈性動(dòng)力學(xué)控制方程的一種表達(dá)形式

此外,學(xué)生作為案例教學(xué)的最大受益方,其教學(xué)效果與所選擇的案例類型間存在著密切聯(lián)系,而實(shí)際教學(xué)過程中學(xué)生能力鍛煉程度及綜合素質(zhì)提升程度,無法脫離詳細(xì)的分析、調(diào)查、測試及評價(jià)等環(huán)節(jié)的支持。按評價(jià)方法類型,案例教學(xué)效果評價(jià)方法可分為考試測試、調(diào)查問卷、一對一訪談及教學(xué)過程客觀評價(jià)。

位移邊界條件為式(9)。

3 Lagrange方程應(yīng)用于剛彈耦合動(dòng)力學(xué)

以飛行器為例，同樣是一個(gè)飛行器，當(dāng)研究它的軌道動(dòng)力學(xué)時(shí)可以簡化為質(zhì)點(diǎn)模型，當(dāng)研究它的姿態(tài)動(dòng)力學(xué)時(shí)可以簡化為剛體模型，當(dāng)研究它的機(jī)械振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)時(shí)可以簡化為彈性體模型，當(dāng)對它的軌道、姿態(tài)、機(jī)械振動(dòng)和動(dòng)力響應(yīng)以及它們之間的耦合效應(yīng)進(jìn)行全面研究時(shí)，則簡化為剛彈耦合模型。

3.1 剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)能

因?yàn)檫@類問題的變量多、公式復(fù)雜，以下采用實(shí)體張量符號(hào)書寫。對于所研究的物體，如圖1所示。

圖1 e坐標(biāo)系和b坐標(biāo)系Fig.1 e coordinate system and b coordinate system

假設(shè)圖中的e坐標(biāo)系為慣性坐標(biāo)系，b坐標(biāo)系為連體坐標(biāo)系(一般為非慣性坐標(biāo)系)。物體上任意一點(diǎn)的總矢徑為R=Xc+x+u，其中，Xc為質(zhì)心矢徑，x是把物體視為剛體時(shí)由質(zhì)心到剛體中任意一點(diǎn)的矢徑，u為把物體視為彈性體時(shí)該點(diǎn)的彈性位移，設(shè)Xc+x=X。

將物體視為剛體時(shí)的轉(zhuǎn)角為θ，可以認(rèn)為是偽坐標(biāo)?？梢?，對于剛彈耦合體，除了剛體速度外，還有變形體速度(其中，×表示矢量的叉乘符號(hào))，這里應(yīng)當(dāng)注意到變形體速度與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的交聯(lián)。應(yīng)用Coriolis轉(zhuǎn)動(dòng)定理，注意到的力學(xué)模型中，矢量x的模為剛體質(zhì)心到任意點(diǎn)的距離，而剛體中任意兩點(diǎn)間的距離都是常量，因此，故有，總之

由于

因此，剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)能可以表示為

或者

因?yàn)椋?1］

所以，剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的動(dòng)能又可以寫為

式中:Hc為對質(zhì)心的動(dòng)量矩，J為對質(zhì)心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量;m為質(zhì)量。

3.2 剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的勢能

參照彈性力學(xué)中的做法，剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的勢能一部分為

位移邊界條件為

剛彈耦合動(dòng)力學(xué)中的勢能另一部分為由于作用于剛體的外力主矢和外力主矩引起的勢能

兩部分勢能的和為

3.3 應(yīng)用Lagrange方程建立剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程

Lagrange方程為

推導(dǎo)計(jì)算Lagrange方程中的有關(guān)動(dòng)能的各項(xiàng):

推導(dǎo)計(jì)算Lagrange方程中的有關(guān)勢能的各項(xiàng):

應(yīng)用Green定理

將式(41)代入式(40)，考慮到邊界條件(28)，可得

將以上的推導(dǎo)結(jié)果代入Lagrange方程中，可得

這就是剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程。

4 結(jié)束語

本文應(yīng)用變導(dǎo)的概念和運(yùn)算法則，研究了 Lagrange方程中的求導(dǎo)的性質(zhì)，并成功地將Lagrange方程應(yīng)用于彈性動(dòng)力學(xué)。根據(jù)功能原理和能量守恒定律，應(yīng)用Lagrange方程，建立了剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的控制方程。應(yīng)用Lagrange方程解決了多個(gè)彈性動(dòng)力學(xué)和剛彈耦合動(dòng)力學(xué)的理論與應(yīng)用問題。

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