支持分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模的模型理論

張文燚，項(xiàng)連志，王小芳

(1.哈爾濱工程大學(xué)電子政務(wù)建模仿真國(guó)家工程實(shí)驗(yàn)室，北京100037;2.哈爾濱工程大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，黑龍江哈爾濱150001)

海量的大數(shù)據(jù)［1］資源的組織結(jié)構(gòu)，不可避免地呈現(xiàn)出大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)化分布的基本特征，從而導(dǎo)致了大數(shù)據(jù)分析應(yīng)用的物理模型自然呈現(xiàn)出大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)化分布的特征。大規(guī)模分布式網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用主要是以多組件分工協(xié)作的形式存在的，因此，研究支持網(wǎng)絡(luò)分布式多組件協(xié)作應(yīng)用建模的模型理論，完善面向大規(guī)模分布式網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用的模型架構(gòu)，對(duì)于推動(dòng)大數(shù)據(jù)分析應(yīng)用的快速發(fā)展具有重要意義。1991年，ROGER S.CHIN發(fā)表了以構(gòu)建基于分布對(duì)象的編程系統(tǒng)(DOBPS)［2］為目的，支持網(wǎng)絡(luò)分布式多組件協(xié)作應(yīng)用建模的物理參考模型。由于DOBPS沒(méi)有把支持分布式對(duì)象交互的協(xié)議實(shí)體納入資源管理，這使得分布式組件協(xié)作只能被表達(dá)為一種動(dòng)態(tài)機(jī)制而不是靜態(tài)模型;同時(shí)，DOBPS和許多面向?qū)ο蟮姆治鲈O(shè)計(jì)方法(OOA、OOD)一樣，在對(duì)象交互方面的研究較少，既沒(méi)能較好地借助對(duì)象交互表達(dá)業(yè)務(wù)規(guī)則，又沒(méi)能較好地刻畫復(fù)雜對(duì)象交互過(guò)程的動(dòng)態(tài)全景［3］，也沒(méi)能給出可操作的對(duì)象交互形式框架［4］。PVM［5］、OGSA［6］、Cougaar［7］等均未能給出普遍適用的分布式應(yīng)用模型架構(gòu)。Peter Wegner于1993年指出，面向?qū)ο蟮能浖こ谭妒脚c圖靈算法的邏輯編程范式是不相容的［8］，1997年進(jìn)一步指出，無(wú)法借助一階邏輯形式化交互系統(tǒng)［4］。1998年，Peter Wegner正式給出了支持對(duì)象交互建模的經(jīng)驗(yàn)主義計(jì)算模型［9］，但是，該模型仍試圖兼容一階邏輯的形式化模型，導(dǎo)致該模型定義的語(yǔ)用只可解釋、不能操作，從而嚴(yán)重影響了該模型的實(shí)用價(jià)值。2003年，文獻(xiàn)［10］給出了一種支持刻畫業(yè)務(wù)規(guī)則和動(dòng)態(tài)全景的目標(biāo)操作化對(duì)象交互模型，但是該模型的一般性是借助自然同態(tài)映射表達(dá)的，沒(méi)有給出嚴(yán)格的形式證明，很大程度上限制了模型的推廣應(yīng)用。由此可見(jiàn)，在大數(shù)據(jù)應(yīng)用需求驅(qū)動(dòng)著大規(guī)模分布網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用快速發(fā)展的新時(shí)代，建立一種面向分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用、支持多組件協(xié)作應(yīng)用建模的、一般實(shí)用的模型理論，具有重要的現(xiàn)實(shí)意義。

本文首先定義分布式大數(shù)據(jù)組織上的應(yīng)用問(wèn)題，并給出問(wèn)題求解過(guò)程的算子復(fù)合表達(dá)式，進(jìn)而基于交互式計(jì)算范疇的定義，建立研究交互式計(jì)算的模型理論，最后借助一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用樣例，展示該模型理論在分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模中的實(shí)際應(yīng)用。

1 分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題

在文獻(xiàn)［11］中，大數(shù)據(jù)是以原始痕跡記錄的形式存在的，痕跡記錄形式是借助痕跡代數(shù)S=＜sT，opp，opr，opl，opb＞表達(dá)的，其中:

sT={st1，st2，…|t1，t2，…∈T}為場(chǎng)景，其中sti為每個(gè)時(shí)刻的活動(dòng)痕跡，sti=sTi-sTi-1且Ti=Ti-1∪{ti}。文獻(xiàn)［12］中記為sT的子場(chǎng)景。

st=(t，Me(O))為活動(dòng)痕跡，其中t是實(shí)體實(shí)例消息的產(chǎn)生時(shí)刻，Me(O)={(o)|i=1，2，..，o∈O，·m·id∈IDj，IDj?ID}是t時(shí)刻所有宿主產(chǎn)生的實(shí)體實(shí)例消息集合，O代表宿主集合，IDj代表消息編號(hào)集合，ID為消息編號(hào)全集。

me(o)=({(ai，xi)}，m(o))為實(shí)體實(shí)例的消息，其中{(ai，xi)}=xi1⊕xi2⊕…代表實(shí)體實(shí)例標(biāo)識(shí)，其中I=＜i1，i2，…＞為名稱項(xiàng)腳標(biāo)序列，m(o)為消息。

可見(jiàn)，文獻(xiàn)［11-12］只把表示大數(shù)據(jù)的某個(gè)時(shí)刻的痕跡視為該時(shí)刻場(chǎng)景內(nèi)所有實(shí)體實(shí)例消息的集合，但是不考慮痕跡的內(nèi)在結(jié)構(gòu)。為了展開(kāi)對(duì)分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模的討論，本文把分布式大數(shù)據(jù)組織視為多個(gè)子場(chǎng)景的復(fù)合結(jié)構(gòu)，子場(chǎng)景為多個(gè)實(shí)體的復(fù)合結(jié)構(gòu)，實(shí)體為多個(gè)實(shí)體實(shí)例消息的復(fù)合結(jié)構(gòu)，從而定義分布式大數(shù)據(jù)組織如下:

定義1 分布式大數(shù)據(jù)組織:稱場(chǎng)景sT的結(jié)構(gòu)化表達(dá)sT=(ns，ξ({(，)，j=1，2，…}))為分布式大數(shù)據(jù)組織。其中，ns為場(chǎng)景名，ξ為場(chǎng)景復(fù)合函數(shù)，為子場(chǎng)景名，=w({(，ep)，p=1，2，..}為子場(chǎng)景，w為子場(chǎng)景復(fù)合函數(shù)，為實(shí)體名，p為子場(chǎng)景中包含的實(shí)體ep的編號(hào)，ep=v({(，)})為實(shí)體，v為實(shí)體復(fù)合函數(shù)，為實(shí)體實(shí)例消息標(biāo)識(shí)，k為實(shí)體ep中包含的實(shí)體實(shí)例消息的編號(hào)，=u({(αi，xi(t))，i=1，2，..})為實(shí)體實(shí)例消息，u為實(shí)體實(shí)例消息復(fù)合函數(shù)，αi為屬性名，xi(t)為t時(shí)刻屬性值，i為實(shí)體實(shí)例消息中包含的屬性值編號(hào)。稱{()}為子場(chǎng)景組織集合，記為d。

分布式大數(shù)據(jù)組織的結(jié)構(gòu)展開(kāi)形式為:sT=(ns，(t))}))}))}))}))。不失一般性，本文將分布式大數(shù)據(jù)組織表達(dá)為(Z0)))}))，其中:

1)Z0={(t)，i=1，2，…，n0}為屬性值的集合，其中(t)=(αi，xi(t))，n0為屬性值個(gè)數(shù)。

2)zs=(nK+1，δ)=(nK+1，fK+1(ZK))為第K+1 層上的屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)，其中nK+1為屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)名，δ為結(jié)構(gòu)項(xiàng)，fK+1為結(jié)構(gòu)復(fù)合函數(shù)，ZK={(，)，p=1，2，…，nk}為第K層屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合。

分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題(problem of distrubted application on big data，PDABD):已知分布式大數(shù)據(jù)組織zs上的約束條件，求符合約束條件CON的問(wèn)題域DOM=D(zs，CON)=并在該問(wèn)題域上尋找滿足Z*=Ψ(DOM)的問(wèn)題解。其中:CONl=表示屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)的條件，為屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)的一個(gè)結(jié)構(gòu)實(shí)例，并且:

1)為第0層的第p個(gè)域?yàn)榘牡?層屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合在條件約束下形成的第u個(gè)域;為包含的第2層屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合在條件約束下形成的第q個(gè)域;為包含的第K層的屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合在條件約束下形成的第w個(gè)域。

2)稱D為定域算子，且D(zs，CON)=DOM。

3)稱 Ψ=h({μk，k=1，2，…，M}，{ψk，k=1，2，…，N})為計(jì)算算子，其中μk為線性算子，ψk為非線性算子，h為算子組合運(yùn)算。

引理1 對(duì)于PDABD，必存在分域算子D'，使得D'(DOM)={DOM1，DOM2，…DOMM}，M≤L成立，其中DOMj=D(zs，CONl)≠?為計(jì)算子域。

證明 由分布式大數(shù)據(jù)組織zs上的約束條件，且，其中L為子條件數(shù)，K為層數(shù)。問(wèn)題域DOM按如下過(guò)程展開(kāi)形成:對(duì)任意子條件集CONl，，i=0，1，…K為CONl的第i層上的約束條件，由以及第i-1層屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)和第i層屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)間的包含關(guān)系，可產(chǎn)生第i層上的層內(nèi)子域Domi(l)，通過(guò)層內(nèi)子域Domi(l)內(nèi)屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)的交叉包含關(guān)系，形成子域DOMl。對(duì)所有的子條件CONl，l=1，2，…L，均有DOMl，這里DOMl允許為空，而問(wèn)題域DOMl。將DOMl=?的進(jìn)行排除，得到DOMj，其中M≤L。因此，必存在分域算子D'，使得D'(DOM)={DOM1，DOM2，…，DOMM}={DOMj，j=1，2，…M}成立。

引理2 在PDABD中，對(duì)于Ψ中的線性算子組合h{μk，k=1，2，…}，記為hμ，必存在算子f和 Υ，使得hμ(DOM，Z)= Υ({f(DOMj，Z)})成立，其中，Z為屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)的實(shí)例集合，DOMj∈D'(DOM)。這里，稱算子f為子域計(jì)算算子，算子 Υ為聚解算子。

證明 由引理1可知，問(wèn)題域DOM是以子域集合{DOMj，j=1，2，…，M}的形式存在的，則必存在算子f作用于子域，即f(DOMj，Z)存在。同時(shí)，假設(shè)不存在聚解算子 Υ，使得hμ(DOM，Z)= Υ({f(DOMj，Z)})成立，即f(DOMj，Z)，j=1，2，…無(wú)法形成hμ(DOM，Z)，即無(wú)法找到 Ψ，使得Z*=Ψ(DOM)成立，故必存在聚解算子Υ，使得hμ(DOM，Z)=Υ({f(DOMj，Z)})成立。

引理3 在PDABD中，對(duì)于Ψ中的非線性算子組合h{ψk，k=1，2，…}，記為hψ，必存在算子g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立，其中，F(xiàn)={Υp{fp(DOMj)}，p=1，2，…}，Z為屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)的實(shí)例集合，DOMj∈D'(DOM)。這里，稱算子g為復(fù)合子域計(jì)算算子。

證明 由引理1可知，問(wèn)題域DOM是以子域集合 {DOMj，j=1，2，…，M}的形式存在的。假設(shè)不存在g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立，則hψ無(wú)法在子域集合 {DOMj，j=1，2，…，M}上展開(kāi)計(jì)算，即無(wú)法找到Ψ，使得Z*=Ψ(DOM)成立，故必存在復(fù)合子域計(jì)算算子g，使得hψ(DOM，Z)=g(F，Z)成立。

引理4 PDABD求解的一般表達(dá)形式為Ψ=gy，其中和Zy為由復(fù)合子域計(jì)算算子產(chǎn)生的屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合，可表達(dá)為如此，可展開(kāi)求解的一般表達(dá)形式為

證明略。

2 交互式計(jì)算模型構(gòu)造

2.1 數(shù)學(xué)基礎(chǔ)準(zhǔn)備

通過(guò)引入范疇對(duì)象的屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)和平凡態(tài)射，擴(kuò)展范疇為有向平凡范疇，完成建立交互式計(jì)算模型的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)準(zhǔn)備。

定義2 屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)匹配?:設(shè)和為屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)，稱匹配，即?，如果滿足以下條件:

1)當(dāng)k=0時(shí)，即和為屬性單元=(αi，xi(t))和=(αj，xj(t))，有 αi=αj。

2)當(dāng)k≥1時(shí)，即(t)=(，fk())和(t)=(，fk())，有||=||，且對(duì)于任意∈，均存在，使得，即屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合匹配，記為

在不混淆含義的情況下，?可表達(dá)為=。

定義3 有向平凡范疇G:一個(gè)有向平凡范疇G是由以下組成:

1)一族對(duì)象obG:A，B，C，…;

2)一族態(tài)射MorG:f，g，h，…;

3)對(duì)于每一個(gè)對(duì)象A，都存在一個(gè)由A生成的屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合ZA;

4)對(duì)于每一個(gè)態(tài)射f，有給定的對(duì)象A，B和屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合ZA，ZB，使得f:(A，ZA)→(B，ZB)成立，其中(A，ZA)=dom(f)，(B，ZB)=cod(f);

5)任意兩個(gè)對(duì)象A和B，都有一個(gè)平凡態(tài)射0AB:(A，ZA)→(B，ZB);

6)對(duì)于給定的態(tài)射f:(A，ZA)→(B，ZB)和g:(B，ZB')→(C，ZC)，稱g°f為f和g的復(fù)合，如果

①當(dāng)f≠0AB，g≠0BC時(shí)，若cod(f)=dom(g)，則存在態(tài)射:g°f:(A，ZA)→(C，ZC)，否則g°f=0AC。

②當(dāng)f=0AB或g=0BC時(shí)，有g(shù)°f=0AC。

7)對(duì)于每一個(gè)對(duì)象A，存在一個(gè)態(tài)射1A:(A，ZA)→(A，ZA)，稱為A的單元態(tài)射，且滿足以下條件:

對(duì)于任意f:(A，ZA)→(B，ZB)，有f°1A=f=1B°f成立。

2.2 交互式計(jì)算范疇

交互式計(jì)算范疇G由多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系代數(shù)、協(xié)議代數(shù)P、交互計(jì)算總線格代數(shù)Π3個(gè)對(duì)象以及對(duì)象之間的態(tài)射構(gòu)成。

2.2.1 多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系代數(shù)

在文獻(xiàn)［11］中，給出了一個(gè)由平凡表模型(ordinary table model)構(gòu)成，支持大數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)化、半結(jié)構(gòu)化和非結(jié)構(gòu)化等信息資源形式化表達(dá)的多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系代數(shù)其中為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系的集合，為上的一元著色約束運(yùn)算。

定義Ⅰ 多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系:稱形如=的集合為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系，其中為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系元組標(biāo)識(shí)，為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系元組的誕生時(shí)刻，為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系元組的記錄時(shí)刻，={(αi，xki)，i=1，2，…}是多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系元組，αi為名稱項(xiàng)，xki為由符號(hào)序列組成的值項(xiàng)。記attr()={αi}為屬性集合。

定理Ⅰ 多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系代數(shù):設(shè)Ωt為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系的集合，則為多結(jié)構(gòu)化狀態(tài)關(guān)系代數(shù)。。

2.2.2 協(xié)議代數(shù)

定義 4 協(xié)議 ρ:稱形如 ρ=(b，idρ，dI，dO，γ，con，idρi)的六元組為協(xié)議，其中b為協(xié)議節(jié)拍，idρ為協(xié)議編號(hào)，dI為資源子場(chǎng)景組織集合，dO為目標(biāo)子場(chǎng)景組織集合，γ為目標(biāo)函數(shù)，con為約束條件，idρi為流向。若dI=dO=?，則稱 ρ為空協(xié)議，記為 ρ0。

定義5 判識(shí)ι:設(shè)P為協(xié)議ρ的集合，ι為P上的一元運(yùn)算，為判識(shí)條件，判識(shí)運(yùn)算定義如下:對(duì)于任意 ρ∈P，有

定義6 連接ω:設(shè)P為協(xié)議ρ的集合，稱二元運(yùn)算ω為P上的連接運(yùn)算，如果滿足:對(duì)于任意ρ1=

1)當(dāng) ρ1≠ρ0，ρ2≠ρ0時(shí)，如果滿足con1()=，則 ω(ρ1，ρ2)=成立;

否則，ω(ρ1，ρ2)= ρ0;

2)當(dāng) ρ1=ρ0，ρ2≠ρ0時(shí)，ω(ρ1，ρ2)= ρ2;

3)當(dāng) ρ1≠ρ0，ρ2=ρ0時(shí)，ω(ρ1，ρ2)= ρ1;

4)當(dāng) ρ1=ρ0，ρ2=ρ0時(shí)，ω(ρ1，ρ2)= ρ0。

定義7 激活η:設(shè)P為協(xié)議ρ的集合，η為P上的一元運(yùn)算，激活運(yùn)算定義如下:

對(duì)于任意 ρ∈P，有 η(ρ)=(bη，idρ，dIη，dOη，γ，con，idρi)成立，其中bη=η(b)為激活后產(chǎn)生的下一個(gè)協(xié)議節(jié)拍，dIη=η(dI)為激活后產(chǎn)生的下一拍協(xié)議的資源子場(chǎng)景組織集合，dOη=η(dO)為激活后產(chǎn)生的下一拍協(xié)議的目標(biāo)子場(chǎng)景組織集合。

定理1 協(xié)議代數(shù)P:設(shè)P為協(xié)議ρ的集合，則＜P，ι，ω，η＞是一個(gè)代數(shù)，稱之為協(xié)議代數(shù)，記為P。

證明 顯然ι、ω、η為P上的運(yùn)算，則P是協(xié)議代數(shù)。

2.2.3 交互計(jì)算總線格代數(shù)

此處用符號(hào)()表示序列，即(Xk)=X1X2…XK，其中Xk為ak，f1j和f2i。

顯然，泊位β是屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)。

定義 9 計(jì)算節(jié)點(diǎn) π:稱形如 π=(b，cn，Iβ，Oβ，φ)的五元組為計(jì)算節(jié)點(diǎn)，其中b為計(jì)算節(jié)拍，cn為計(jì)算單元號(hào)(具有唯一性)，Iβ為輸入泊位集，Oβ為輸出泊位集，φ為計(jì)算。若Iβ=Oβ=?，則稱π為空節(jié)點(diǎn)，記為π0。

定理2 計(jì)算格:設(shè)Π為計(jì)算節(jié)點(diǎn)π的集合，≤為集合Π上的一個(gè)二元關(guān)系，≤定義為:{(π1，π2)|π1，π2∈Π，π1·cn≤π2·cn}，則(Π，≤)為一個(gè)格。

證明略。

定義10 匹配λp:設(shè)Π為計(jì)算節(jié)點(diǎn)π的集合，λp為Π上的一元運(yùn)算，為匹配條件，匹配運(yùn)算定義如下:對(duì)于任意π∈Π，有

定義11 連接λr:設(shè)Π為計(jì)算節(jié)點(diǎn)π的集合，λr為Π上的二元運(yùn)算，連接運(yùn)算定義如下:對(duì)于任意 π1=(b1，cn1，，，φ1)，π2=(b2，cn2，，，φ2)∈Π，

1)當(dāng) π1≠π0，π2≠π0時(shí)，若 π1≤π2，?，則φ2°φ1)，其中cn1＜fcn(cn1，cn2)＜cn2，否則，λr(π1，π2)=π0;

2)若 π1=π0，π2≠π0，則 λr(π1，π2)= π2;

3)若 π1≠π0，π2=π0，則 λr(π1，π2)= π1;

4)若 π1=π0，π2=π0，則 λr(π1，π2)= π0。

定義12 落實(shí)λl:設(shè)Π為計(jì)算節(jié)點(diǎn)π的集合，λl為Π上的一元運(yùn)算，落實(shí)運(yùn)算定義如下:對(duì)于任意 π∈Π，有 λl(π)=(bl，cn，Iβl，Oβl，φ)成立，其中bl為下一個(gè)計(jì)算節(jié)拍，Iβl為下一個(gè)計(jì)算節(jié)拍的輸入泊位集，Oβl為下一個(gè)計(jì)算節(jié)拍的輸出泊位集。

定理3 交互計(jì)算總線格代數(shù)Π:設(shè)Π為計(jì)算節(jié)點(diǎn) π 的集合，則＜Π，∧，∨，λp，λr，λl＞是一個(gè)格代數(shù)，我們稱之為交互計(jì)算總線格代數(shù)，記為Π。

證明 顯然 λp、λr、λl是 Π 上的運(yùn)算，又(Π，≤)為格，則 Π=＜Π，∧，∨，λp，λr，λl＞為交互計(jì)算總線格代數(shù)。

2.2.4 交互式計(jì)算范疇構(gòu)成

定理4 交互式計(jì)算范疇G:G由以下內(nèi)容組成:

1)obG:P，Π，，及其屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合ZP，ZΠ，。

2)MorG:G((P，ZP)，(Π，ZΠ))={φPΠ，0PΠ}G，定義見(jiàn)圖 1;G((Π，ZΠ)，(P，，定義見(jiàn)圖2;G((Π，ZΠ)，(Π，ZΠ))={1Π}，定義見(jiàn)圖3。

那么G為有向平凡范疇，稱之為交互式計(jì)算范疇。

證明略。

圖1 交互式計(jì)算范疇?wèi)B(tài)射圖Fig.1 Interactive computing category’s morphism

定理5 運(yùn)算保持性:設(shè)G為交互式計(jì)算范疇，對(duì)于對(duì)象P和 Π，態(tài)射 φPΠ:P→Π，對(duì)于任意給定的，有:

1)φPΠ(ι(ρ1))= λp(φPΠ(ρ1));

2)φPΠ(ω(ρ1，ρ2))= λr(φPΠ(ρ1)，φPΠ(ρ2));

3)φPΠ(η(ρ1))= λl(φPΠ(ρ1))。

證明略。

定理6 運(yùn)算保持性:設(shè)G為交互式計(jì)算范疇，對(duì)于對(duì)象Π 和P，態(tài)射 φΠP:Π→P，對(duì)于任意給定的∈Π有:

1)φΠP(λp(π1))= ι(φΠP(π1));

2)φΠP(λr(π1，π2))= ω(φΠP(π1)，φΠP(π2));

3)φΠP(λ?(π1))= η(φΠP(π1))。

證明略。

2.3 交互式計(jì)算模型

在交互式計(jì)算范疇G中，令態(tài)射集合 {φPΠ}和組成協(xié)議-內(nèi)存勾連構(gòu)件和組成內(nèi)存-外存勾連構(gòu)件，{1Π}組成內(nèi)存-計(jì)算勾連構(gòu)件，從而形成建立在協(xié)議-內(nèi)存勾連構(gòu)件、內(nèi)存-外存勾連構(gòu)件、內(nèi)存-計(jì)算勾連構(gòu)件之間，以交互計(jì)算總線格Π為交互載體展開(kāi)交互計(jì)算的交互式計(jì)算模型(model of interactive computing，MIC)。本文稱應(yīng)用交互式計(jì)算模型MIC求解分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題相關(guān)的研究，為支持分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模的模型理論研究。

3 分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模實(shí)例

本節(jié)以面向分布式大數(shù)據(jù)組織的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用為實(shí)例，展示交互式計(jì)算模型MIC在分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模中的應(yīng)用。

3.1 標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算問(wèn)題與求解過(guò)程

對(duì)于大數(shù)據(jù)組織結(jié)構(gòu)sT，X0={(αi，xi(t))，i=1，2，…}為第0層屬性單元層1，2，…}為第1層實(shí)體實(shí)例消息層p=1，2，…}為第 2 層實(shí)體層2，…}為第3層子場(chǎng)景層。當(dāng)不需強(qiáng)調(diào)層次時(shí)，X0，Me1，E2和 ?3可簡(jiǎn)寫為X，Me，E和 ?。

分布式大數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題(PDADBsdev):已知大數(shù)據(jù)組織sT上的約束條件，求符合約束條件CONsdev的問(wèn)題域并在該問(wèn)題域上尋找滿足(αsdev，xsdev)= Ψsdev(DOM)的問(wèn)題解。其中:CONl=，其中為屬性值為實(shí)體實(shí)例消息結(jié)構(gòu)實(shí)例為實(shí)體結(jié)構(gòu)實(shí)例為子場(chǎng)景結(jié)構(gòu)實(shí)例，并且:

1)為第0層的第p個(gè)域?yàn)榘牡?層實(shí)體實(shí)例消息集合在條件約束下形成的第u個(gè)域;為包含的第2層實(shí)體集合在條件約束下形成的第q個(gè)域?yàn)榘牡?層的子場(chǎng)景集合在條件Γ3=約束下形成的第w個(gè)域。

2)稱D為定域算子，且D(sT，CONsdev)=DOM。

3)稱 Ψsdev=h({μfet，μsum，μcnt，μdisp}，{ψavg，ψsdev})為計(jì)算算子，其中，屬性提取算子μfet，匯總算子μsum，計(jì)數(shù)算子μcnt和離散度計(jì)算算子μdisp為線性算子，均值算子ψavg和標(biāo)準(zhǔn)差算子ψsdev為非線性算子。

下面展開(kāi)線性算子和非線性算子的定義，并由此給出子域計(jì)算算子和復(fù)合子域計(jì)算算子。

定義13 屬性提取算子 μfet:設(shè)子域Domj=，屬 性α，則屬性提取算子 μfet定義如下:μfet(Domj，α)={(αi，xi)，i=1，2，…}，其中這里符號(hào)A·X表示A中的X。

定義14 匯總算子μsum:對(duì)于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，匯總算子 μsum定義如下:，其中 αsum為匯總屬性。

定義15 計(jì)數(shù)算子μcnt:對(duì)于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，稱算子 μcnt為計(jì)數(shù)算子，如果 μcnt(X)=(αcnt，|X|)成立，其中 αcnt為計(jì)數(shù)屬性。

定義16 離散度計(jì)算算子μdisp:對(duì)于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}和樣本均值(αc，xc)，離散度計(jì)算算子 μdisp定義如下:，其中 αdisp為離散度屬性。

由以上線性計(jì)算算子，可形成子域?qū)傩詤R總算子fsum=μsum°μfet，子域?qū)傩杂?jì)數(shù)算子fcnt=μcnt°μfet，子域離散度計(jì)算算子fsum=μsum°μfet，且fsum，fcnt和fsum對(duì)應(yīng)的聚解算子都為匯總算子Υsum=μsum。此外，還有一類特殊的子域計(jì)算算子是自賦算子，即fasg(Z)=Z，其中Z為任意屬性復(fù)合結(jié)構(gòu)集合;當(dāng)|Z|=1時(shí)，即Z={z}，可簡(jiǎn)寫為fasg(z)=z。

定義17 均值算子ψavg:對(duì)于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，其匯總值為(αsum，xsum)，總數(shù)為(αcnt，xcnt)，則均值算子定義如下:ψavg((αsum，xsum)，(αcnt，xcnt))=(αavg，xsum/xcnt)，其中αavg為均值屬性。

定義18 標(biāo)準(zhǔn)差算子ψsdev:對(duì)于給定的屬性值集合X={(αi，xi(t))，i=1，2，…，n}，其總數(shù)為(αcnt，xcnt)，離散度為(αsum，xsum)，則標(biāo)準(zhǔn)差算子定義如下:ψsdev((αcnt，xcnt)，(αsum，xsum))=(αsdev，，其中αsdev為標(biāo)準(zhǔn)差屬性。

由此可形成復(fù)合子域均值算子gavg=ψavg(Υsum，和復(fù)合子域標(biāo)準(zhǔn)差算子

那么PDADBsdev求解形式的一般表達(dá)為Ψsdev=gsdev(Υsum{fcnt(Domj)})，Υsum({fsum(Domj，gavg(Υsum{fsum(Domj)}，Υsum{fcnt(Domj)}))}))，其中Domj∈D'(D(sT，CONsdev))為問(wèn)題域D'(D(sT，CONsdev))分域后的第j個(gè)計(jì)算子域。

注意到D'(D(sT，CONsdev))等價(jià)于定域算子D以相同約束條件CONsdev作用于子場(chǎng)景上的集合，即D'(D(sT，CONsdev))={D(，CONsdev)}。

3.2 求解標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算問(wèn)題的交互式計(jì)算模型

本節(jié)將基于交互式計(jì)算模型構(gòu)建求解標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算問(wèn)題的交互式計(jì)算模型，刻畫標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題的求解過(guò)程，即按算子或復(fù)合算子，及其交互構(gòu)建態(tài)射，將同類態(tài)射凝聚為構(gòu)件，并給出以態(tài)射和構(gòu)件表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題求解的交互計(jì)算過(guò)程圖。

對(duì)于大數(shù)據(jù)組織sT，分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題的求解過(guò)程是在子場(chǎng)景，j=1，2，…，m上展開(kāi)。同時(shí)，在PDADBsdev的求解一般表達(dá)形式中引入賦值算子，用于映射賦值態(tài)射(即刻畫在P，Π和Ω間傳遞信息的態(tài)射)，則PDADBsdev的求解形式的一般表達(dá)可 轉(zhuǎn) 換 為:(Domj))})))))))})))，其中，子域計(jì)算算子和中的j表示算子作用于子場(chǎng)景上 。由此可按算子或復(fù)合算子構(gòu)建以下態(tài)射。

1)對(duì)于賦值算子fasg，顯然可映射為賦值態(tài)射

那么，由態(tài)射表達(dá)的分布式大數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用問(wèn)題求解過(guò)程為，其中，交互態(tài)射在表達(dá)形式中已被省略中的j表示發(fā)生在第j個(gè)子場(chǎng)景上的態(tài)射實(shí)例，Υsum為聚解算子，不屬于交互式計(jì)算模型的刻畫范圍。由態(tài)射表達(dá)的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算問(wèn)題求解的交互計(jì)算過(guò)程如圖4所示(圖中序號(hào)為計(jì)算序號(hào))，其中1Π:((i)，(k))表示序號(hào)為(i)和(k)態(tài)射間的交互。

圖2 標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算問(wèn)題求解的交互計(jì)算過(guò)程Fig.2 Interactive computing process of standard deviation computational problem solving

5 結(jié)論

1)借助分布式大數(shù)據(jù)組織的定義，本文形式化地定義了分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用問(wèn)題PDABD，并且給出了由定域算子、分域算子、子域計(jì)算算子、聚解算子和復(fù)合子域計(jì)算算子構(gòu)成的PDABD求解形式的一般表達(dá)。

3)以面向分布式大數(shù)據(jù)組織的標(biāo)準(zhǔn)差計(jì)算應(yīng)用為實(shí)例，展示了MIC在分布式大數(shù)據(jù)應(yīng)用建模中的實(shí)用性及其應(yīng)用價(jià)值。

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