基于MPSO方法的邊坡可靠度計算研究

張玉嬌，朱曉麗，賀子光，黨亞倩，陳 磊

（1.濟(jì)源職業(yè)技術(shù)學(xué)院建筑工程系，河南濟(jì)源454000;2.長安大學(xué)地質(zhì)工程與測繪學(xué)院，西安710054；3.西部地質(zhì)資源與地質(zhì)工程教育部重點實驗室，西安710054）

0 引言

由于邊坡工程的不確定性特點，傳統(tǒng)的穩(wěn)定性分析方法不能很好地解決實際問題，而可靠性分析方法可以更為準(zhǔn)確地計算工程問題。經(jīng)過國內(nèi)外眾多學(xué)者的大量研究，可靠性分析方法取得了很大的進(jìn)展[1～4]。目前，計算邊坡可靠度的常用方法有：蒙特卡羅法（MCS）、一次二階矩法(FORM)、響應(yīng)面法（RSM）、優(yōu)化算法（Optimization Algorithm）和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)法（ANN）等。

邊坡工程可靠性分析方法雖然取得了一定的進(jìn)展，但仍然有諸多問題亟待解決：MCS法對于小概率事件，需要進(jìn)行大量的數(shù)值計算，效率較低；FORM法雖然算法簡單，但計算工作量大。優(yōu)化算法是一種新的求解可靠度指標(biāo)的數(shù)值方法，即求解可靠指標(biāo)屬于求解極限狀態(tài)曲面到原點最短距離的優(yōu)化問題。應(yīng)該說用優(yōu)化方法求解可靠指標(biāo)是一種有效的途徑，但現(xiàn)有的大部分優(yōu)化方法在求解功能函數(shù)呈高度非線性問題時（尤其是凸優(yōu)化問題），有時會陷入局部最小值，或者是計算結(jié)果不收斂，效果往往不理想[5～6]。

PSO方法是模擬鳥群覓食的種群優(yōu)化方法，其算法簡單，收斂速度快，已得到眾多研究者的肯定。張利彪、周春光利用PSO方法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題，實現(xiàn)了對多目標(biāo)優(yōu)化問題的非劣最優(yōu)解集的搜索[7]；劉大鵬、周建中將混沌算法和PSO算法結(jié)合，并將其應(yīng)用到了土釘支護(hù)優(yōu)化設(shè)計中[8]。

本文提出應(yīng)用MPSO方法計算邊坡可靠度。該方法借鑒遺傳算法中的雜交概念，將標(biāo)準(zhǔn)PSO方法進(jìn)行改進(jìn)，計算可靠度指標(biāo)及驗算點。該方法可以解決功能函數(shù)呈高度非線性的可靠度計算問題，并具有較高的精度和收斂速度。

1 粒子群算法

1.1 標(biāo)準(zhǔn)粒子群算法原理

粒子群算法是一種進(jìn)化計算技術(shù)，由Eberhart和kennedy博士發(fā)明，源于對鳥群捕食的行為研究。PSO算法同遺傳算法類似，是一種基于迭代的優(yōu)化工具。系統(tǒng)初始化為一組隨機(jī)解，通過迭代搜尋最優(yōu)值。在PSO算法中，每個優(yōu)化問題的解都是搜索空間中的一只鳥，被抽象為沒有質(zhì)量和體積的微粒，并將其延伸到N維空間。PSO算法首先初始化一群粒子（隨機(jī)解），然后粒子就追隨當(dāng)前的最優(yōu)粒子在解空間中搜索，即通過迭代找到最優(yōu)解。假設(shè)D維空間中的第i個粒子的位置和速度分別為和，在每一次迭代中，粒子通過跟蹤兩個最優(yōu)解來更新自己，第一個就是粒子本身所找到的最優(yōu)解，即個體極值pbest；另一個是整個種群目前找到的最優(yōu)解，即全局最優(yōu)解gbest，在找到這兩個最優(yōu)值時，粒子根據(jù)如下的公式來更新自己的速度和新的位置。

其中，w為慣性權(quán)重，c1和c2為正的學(xué)習(xí)因子，r1和r2為0到1之間均勻分布的隨機(jī)數(shù)。

1.2 混合粒子群算法

1.2.1 算法原理

借鑒遺傳算法中的雜交概念，在每次迭代中，根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中粒子隨機(jī)兩兩雜交，產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子（child）,并用子代粒子替換親代粒子（par?ent）。子代位置由父代位置進(jìn)行算術(shù)交叉得到：

或

其中，p是0到1之間的隨機(jī)數(shù)。

子代的速度由下式計算：

或

1.2.2 算法步驟

基于雜交的粒子群算法的基本步驟如下：

1）隨機(jī)初始化種群中各微粒的位置和速度；

2）評價每個微粒的適應(yīng)度，將當(dāng)前各微粒的位置和適應(yīng)值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中的速度和適應(yīng)值存儲在gbest中；

3）更新每個微粒的速度和位置；

4）對每個微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置進(jìn)行比較，如果較好，將其作為當(dāng)前最好的位置和速度；

5）比較當(dāng)前所有的pbest和gbest的值，更新gbest；

6）根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中的粒子隨機(jī)兩兩雜交產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子，子代的位置和速度計算公式如下：

保持pbest和gbest不變；

7）若滿足停止條件，搜索停止，輸出結(jié)果，否則返回3）繼續(xù)搜索。

1.2.3 可靠度指標(biāo)的幾何含義

從一次二階矩方法的理論可知，對于獨立正態(tài)分布隨機(jī)變量，當(dāng)極限狀態(tài)方程為線性時，可靠度指標(biāo)在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中等于原點到極限狀態(tài)平面(或直線)的最短距離[9]。Shinozuka已經(jīng)證明：在失效面上，如果某點到原點的距離是所有點中最近的，則該點就是失效點，或者說是驗算點。在可靠度分析中，該距離即為可靠度指標(biāo)β。因此，設(shè)具有n個正態(tài)變量x1,x2,???xn的極限狀態(tài)方程：

或

將上述中的變量x1,x2,…xn標(biāo)準(zhǔn)化得

式中，mxi和σxi是變量xi的均值和方差。因此可靠度計算模型為

如果隨機(jī)變量服從一般分布，則可以進(jìn)行高斯變換，將一般分布變換成正態(tài)分布。高斯變換如下：

1.2.4 MPSO方法在可靠度計算中的應(yīng)用

由可靠度指標(biāo)的幾何含義可知，在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)坐標(biāo)系中，可靠度指標(biāo)是原點到極限狀態(tài)曲面的最短距離，而驗算點就是極限狀態(tài)曲面上到原點距離最短的點。利用混合粒子群方法的全局搜索能力找出其到原點最短距離的點以及相應(yīng)的最短距離，即可靠度指標(biāo)和設(shè)計驗算點，具體步驟如下：

1）確定混合粒子群方法參數(shù)。粒子數(shù)目，學(xué)習(xí)因子1，學(xué)習(xí)因子2，慣性權(quán)重w，雜交概率Pc，雜交池的大小比例Sp，最大迭代次數(shù)。

2）隨機(jī)產(chǎn)生初始種群。根據(jù)各隨機(jī)變量的具體分布，利用Matlab中隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生器，隨機(jī)產(chǎn)生一組隨機(jī)數(shù)作為該變量的初始種群，通常設(shè)置隨機(jī)數(shù)在[-3σ,3σ]區(qū)間。

3）約束條件處理。由于可靠度的模型為有約束的規(guī)劃模型,而混合粒子群方法一般對無約束的優(yōu)化模型比較方便。因此需要對約束條件進(jìn)行處理，這里采用罰函數(shù)法將約束求解問題轉(zhuǎn)化為無約束求解問題。

其中：f(x1,x2,…xn)為極限狀態(tài)函數(shù)，λ為懲罰因子。

4）計算適應(yīng)值。計算每個微粒的適應(yīng)值，將當(dāng)前各微粒的位置和適應(yīng)值存儲在各微粒的pbest中，將所有pbest中的速度和適應(yīng)值存儲在gbest中；

5）更新每個微粒的速度和位置。

6）對每個微粒，將其適應(yīng)值與其經(jīng)歷過的最好位置進(jìn)行比較，如果較好，將其作為當(dāng)前最好的位置和速度.

7）比較當(dāng)前所有的pbest和gbest的值，更新gbest。

8）根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)，池中的粒子隨機(jī)兩兩雜交產(chǎn)生同樣數(shù)目的子代粒子。

9）若滿足停止條件，搜索停止，輸出結(jié)果，否則返回4）繼續(xù)搜索。

2 工程算例

2.1 算例：采用MPSO算法計算可靠度

已知一巖質(zhì)邊坡[10]，其穩(wěn)定性主要受巖石的c，?值影響，考慮地震和裂縫中水壓對邊坡的作用。剖面圖見圖1，由極限平衡條件,可得潛在滑動面上的安全系數(shù),安全系數(shù)等于總抗滑力和總滑動力之比，采用MPSO算法計算此邊坡的可靠度指標(biāo)。α為地震加速度與重力加速度的比值。zw為張拉裂縫中水的深度，iw=zw/z，b為張拉裂縫至坡面的距離，隨機(jī)變量為 c,?,b,iw,α，巖石重度γ=2.6KN/m3，參數(shù)統(tǒng)計見表1，計算結(jié)果見表2，優(yōu)化過程見圖2。

其中：

其他參數(shù)統(tǒng)計見表1。

文獻(xiàn)[10]中的計算結(jié)果為1.557，MPSO和標(biāo)準(zhǔn)PSO方法的計算結(jié)果與其基本一致，對應(yīng)的失效概率為5.97，蒙特卡洛計算10萬的失效概率為6.01。這表明MPSO算法的準(zhǔn)確性，可以作為可靠度計算的一種有效方法；從圖2可以看出，MPSO方法較標(biāo)準(zhǔn)PSO方法的收斂速度快，且計算精度比標(biāo)準(zhǔn)PSO方法高。

表1 隨機(jī)變量及其統(tǒng)計參數(shù)

表2 邊坡的計算結(jié)果

2.2 控制參數(shù)對可靠度指標(biāo)的影響

MPSO算法控制參數(shù)的不同選取，直接對算法的性能產(chǎn)生較大影響，控制參數(shù)主要包括雜交率Pc和雜交池的大小比例Sp以及種群規(guī)模的大小。下面討論各控制參數(shù)對可靠度指標(biāo)的影響規(guī)律。由于算法具有一定的隨機(jī)性，為了消除隨機(jī)性導(dǎo)致的計算結(jié)果誤差，在同樣的參數(shù)情況下，程序均運(yùn)行50次，以平均值作為衡量依據(jù)。

2.2.1 種群規(guī)模對可靠度指標(biāo)的影響

圖3給出了工程算例在不同種群規(guī)模時的可靠度指標(biāo)，其中慣性權(quán)重w=0.7，雜交率Pc=0.7，雜交池的大小比例Sp=0.2，搜索空間為可靠度指標(biāo)的收斂情況。

從圖3可以看出，隨著種群規(guī)模的增大，可靠度指標(biāo)越來越小。當(dāng)種群規(guī)模大于40時，不同種群規(guī)模所對應(yīng)的可靠度值之間的差別很小，這表明：當(dāng)種群規(guī)模達(dá)到一定數(shù)量時，種群規(guī)模對可靠度指標(biāo)的影響越來越小。由于種群規(guī)模越大，進(jìn)化所需要的時間越長，所以綜合精度和運(yùn)行時間兩種情況考慮，種群規(guī)模一般取為30～50。當(dāng)變量較多時，可以適當(dāng)?shù)卦黾臃N群規(guī)模。

2.2.2 雜交率對可靠度指標(biāo)的影響

圖4給出了算例1在不同雜交率時，可靠度指標(biāo)的收斂情況。其中種群規(guī)模為40，慣性權(quán)重w=0.7,雜交池的大小比例Sp=0.2，搜索空間為[-3σ,3σ] 。

從圖4可以看出，雜交率Pc逐漸增大時，可靠度指標(biāo)有逐漸變小的趨勢，當(dāng)Pc=0.7時，可靠度指標(biāo)最小，當(dāng)Pc大于0.7時，可靠度指標(biāo)又逐漸增大。

2.3.3 雜交池比例大小Sp對可靠度指標(biāo)的影響

圖5給出了算例1在不同種群規(guī)模時的可靠度指標(biāo)，其中種群規(guī)模為40，慣性權(quán)重w=0.7，雜交率Pc=0.7，搜索空間為[-3σ,3σ] 。

由圖5可以看出:雜交池的比例過大和過小，所得的可靠度指標(biāo)均不是最優(yōu)。一般情況下，雜交池比例的大小取0.2～0.3，本文中雜交池比例的大小取為0.2。

以上各控制參數(shù)對可靠度指標(biāo)的影響，不僅在該例子中進(jìn)行了分析，對更多變量情況也進(jìn)行了同樣的分析，其結(jié)果與以上分析結(jié)果基本相同，只是隨著隨機(jī)變量的增加，需要增加進(jìn)化代數(shù)。

3 結(jié)論

1）借鑒遺傳算法中的雜交概念，將其引入PSO算法，在每次迭代中，根據(jù)雜交概率選取指定數(shù)量的粒子放入雜交池內(nèi)進(jìn)行兩兩雜交，該方法改善了PSO方法的全局搜索能力，提高了算法的收斂速度和計算精度。

2）利用MPSO的尋優(yōu)能力，計算邊坡的可靠度和驗算點，為邊坡可靠性分析提供了一種新方法。

[1]HASSAN A M.WOLFF T F.Search algorithm for mini?mum reliability index of earth slope[J].Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering,1999,125(12):301-308.

[2]CHRISTIAN J,LADD C,BAECHER G Reliability ap?plied to slope stability analysis[J].Journal of Geotechnical En?gineering,1994,120(12):2180-2207.

[3]EL-RAMLY H,MORGENSTERN N R,CRUDEN D M,Probabilistic slope stability analysis for practical[J].Canadian Geotechnical Engineering,2002,39(3):665-683.

[4]LOW B.K.Efficient Probabilistic Algorithm Illustrated for a Rock Slope[J].Journal of Rock Mechanics and Rock Engi?neering,2008,41(5):715-734.

[5]徐軍，邵軍，鄭穎人.遺傳算法在巖土工程可靠度分析中的應(yīng)用[J].巖土工程學(xué)報，2000,22(5):586-589.

[6]桂勁松，康海貴.結(jié)構(gòu)可靠度計算的最優(yōu)化方法及其Matlab實現(xiàn)[J].四川建筑科學(xué)研究，2004，30（2）：18-20.

[7]張利彪,周春光,馬銘,等.基于粒子群算法求解多目標(biāo)優(yōu)化問題[J].計算機(jī)研究與發(fā)展，2004，41(7):1286-1291.

[8]劉大鵬,周建中,楊俊杰.土釘支護(hù)結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的混合粒子群優(yōu)化算法[J].中國公路學(xué)報,2005,18(4):32-36.

[9]Ang,H.S.,Tang,W.H.Probability concepts in engineer?ing planning and design[M].New York:John Wiley,1984.

[10]LOW B.K.Efficient Probabilistic Algorithm Illustrated for a Rock Slope[J].Journal of Rock Mechanics and Rock Engi?neering,2008,41(5):715-734.