同質信念與BlackScholes公式定價偏差

柯政　秦夢

摘 要 本文分析了包括BS的鞅方法在內(nèi)的四種期權定價方法.Mogens Bldt和鄭紅給出的保險精算定價方法是非套利定價，缺少足夠的理論基礎.另外，存在同質信念的市場上BS定價并非完全無套利，如果對不同股票進行分散化投資，只要基礎資產(chǎn)種類足夠多，也可套取利益.不同投資者的漂移率取同一常數(shù)μ體現(xiàn)了他們的同質信念，與弱有效的現(xiàn)實市場情況相符.進一步分析得出結論，即使存在同質信念，如果μt是一個可料過程而非常數(shù)，會使得精算定價難以計算確定期望，從而無效.根據(jù)SAS軟件的模擬結果，在同質信念下，精算套利定價顯著高于BS鞅方法定價.通過恒生股指期權的實證檢驗，說明同質信念下的漂移率更適合取同一常數(shù)而不是可料過程，實證檢驗發(fā)現(xiàn)精算套利理論價格與實際價格差距很小，說明此方法比較有效.

關鍵詞 期權定價；同質信念；精算套利；弱有效市場

中圖分類號 F831.5 文獻標識碼 A

Homogeneous Beliefs and Mispricing of BlackScholes

Model Option Pricing Model Based on Actuarial Method

KE Zheng1，QIN Meng2

（1.National Council for Social Security Fund，Beijing 100032；

2.Bank of Communications，Shanghai 200120，China）

Abstract This paper analyzed the four option pricing methods including the martingale method. Mogens Bldt and Hong Zheng gave actuarial pricing methods for options respectively， however， both of the methods are not nonarbitrage lack adequate theoretical basis. In addition， BS pricing method is not completely nonarbitrage， for diversified investment at different stock， as long as a sufficient number， may make profit. Moreover， the same drift of stock for different investors embodies homogeneous beliefs， which complies with weak efficient market assumption in real market. Further analysis concludes that， even if homogeneous beliefs exist， the drift of stock could be a previsible process， which results in difficulty to calculate and determine the expectations in actuarial pricing and thus invalids the pricing in actuarial method. According to the simulation run by SAS， with homogeneous assumption， actuarial nonarbitrage pricing gives significantly higher price for options than BS. Through empirical test of the Hang Seng index options， the authors believe that， under the assumption of homogeneous beliefs， the drift should be a constant other than a previsible process and this method is very accurate.

Key words option pricing； homogeneous beliefs； actuarial nonarbitrage method； weak efficient market

1 引 言

假設在弱式有效的市場中，存在兩家相同行業(yè)的公司發(fā)行股票和看漲期權，股票價格相同，兩家公司期權條款完全相同.但是根據(jù)各種渠道獲得的公司披露信息，投資者可以通過基本面分析，判斷其中一家公司的股價將會持續(xù)上漲，另一家公司的股價將會持續(xù)下跌，那么其發(fā)行的期權價格顯然應該不一樣.但是BS公式中不包含股價的漂移率，所以會給出相同的價格，這是有問題的.另外，現(xiàn)實市場中的期權定價總是高于BS公式給出的理論價格，所以在計算期權價格時會用隱含波動率代替真實波動率[1].

本文解釋并驗證了上述兩個問題.本文認為現(xiàn)實市場中，同質信念導致了BS公式的定價偏差，將用精算套利定價給出更精準貼切的定價.

2 文獻綜述

2.1 三種方式定價介紹

為了精煉，只考慮歐式看漲期權的定價.用統(tǒng)一的代換公式對各種定價方法重新推導，以便進行比較.三種方法如下：①BS公式—鞅方法定價，②流行的保險精算定價方法——Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg提出，③鄭紅提出的保險精算定價方法.

經(jīng) 濟 數(shù) 學第 32卷第2期

柯 政等：同質信念與BlackScholes公式定價偏差——基于期權定價的保險精算方法

這三種方法各具特點，其模型假設基本相同，所以下文將在同一模型下進行推導與比較.這幾種模型都假設投資者認為股票價格是有固定趨勢的，伴隨著恒定的波動率.采用標準幾何布朗運動：dSt=St（μdt+σdt）來描述股票的價格過程.

2.2 三種方法的推導過程

2.2.1 模型假設：

模型的假設有：①有現(xiàn)金資產(chǎn)和股票資產(chǎn)，②允許無限制買入或賣空，③資產(chǎn)無限可分，④每支股票的價格服從標準幾何布朗運動，⑤現(xiàn)金穩(wěn)定增長，⑥不考慮流動性問題，⑦交易成本為零.

2.2.2 第一種方法（BS公式）：

BS公式的鞅方法定價通過構造復制組合、對沖風險對期權進行定價.此項成果最終獲得了諾貝爾經(jīng)濟學獎[2].先找到唯一的等價測度Q，在濾波Ft下得到定價公式.

2.2.3 第二種方法（Mogens Bladt 和 Tina Hvid Rydberg 1998）

Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg提出，他們認為執(zhí)行條件為：e-μTST>e-rTK，并且對股票和現(xiàn)金采用不同的折現(xiàn)率[3].在真實測度P和濾波Ft下得到定價公式.

這種方法的執(zhí)行條件顯然是有問題的，Norbert Schmitz 在2005年用反例證明其執(zhí)行條件是錯誤的[4].其折現(xiàn)方法也不符合資產(chǎn)定價思想，對同一資產(chǎn)采用了復雜的折現(xiàn)率.最后的結果雖然與BS公式相同，這種方法沒有理論依據(jù)，只能作為BS推導形式上的一種變換.

2.2.4 第三種方法（鄭紅2007）

鄭紅認為在真實測度下對股票和現(xiàn)金采取不同的折現(xiàn)率可以得到期權價格[5].在真實測度P下，在濾波Ft下得到的定價公式.

鄭紅通過對Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg的方法進行修正，改正了其執(zhí)行條件的問題，但沒有解決折現(xiàn)率的問題.得出的結論與BS公式類似，只是將BS公式中d1和d2包含的r換成了μ.鄭紅的這種方法，沒有真正體現(xiàn)精算等價，即使用了復雜的折現(xiàn)率，所以沒有足夠的理論基礎，只能作為Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg方法的修正.這種定價與Mogens Bladt和Tina Hviid Rydberg的方法都是在嚴格假設的條件下，得出的不嚴格的非套利定價.

3 精算套利定價

3.1 定價思想

采用嚴謹?shù)木闼枷雽ζ跈噙M行定價.在加了

眾多假設的完美市場上需要使用套利定價思想.而Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg、鄭紅等人提出的定價都是在嚴格假設下的非套利定價，缺少足夠的理論基礎.本文給出了無套利假設下，基于實際概率與確定期望的精算定價模型.

對于此種定價方法，需要在前面提出的假設基礎上增加一條：市場上存在n種股票，都服從幾何布朗運動，且互相之間沒有關聯(lián)性.精算定價的邏輯如下：不同投資者對于由于股票漂移率的判斷近似，投資者可以確定股票上漲的趨勢，從而得到投資收益的期望值.如果市場上有足夠多、且波動無相關性的股票，那么投資以他們?yōu)榛A資產(chǎn)的期權資產(chǎn)組合就可以完全消除波動風險，取得穩(wěn)定收益.既然可以取得穩(wěn)定收益，那么投資者應該只享受與無風險利率相同的收益率，并通過將期望收益按照無風險利率折現(xiàn)得到期權定價.

3.2 精算套利定價的推導過程

本文從精算等價的角度取得的期權價格，假設不同投資者對于股票走勢判斷相同，即對不同投資者存在相同的股票漂移率μ.根據(jù)模型的假設dSt=St（μdt+σ

這里采用的是統(tǒng)一無風險利率折現(xiàn)，不同于Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg、鄭紅的方法.他們在計算衍生品價格時，對股票和現(xiàn)金資產(chǎn)采用了不同的折現(xiàn)率，缺少科學依據(jù).傳統(tǒng)BS公式的鞅方法在等價測度的基礎上利用無風險利率折現(xiàn)，與本方法相同.精算套利定價為何采用無風險利率將會在下章中具體說明.

這種方法是通過精算的角度計算期權的價值.它也是一種無套利的定價方法.若定價偏離Vt，那么可以通過調整現(xiàn)金和期權頭寸來進行投資.當市場上的股票種類n趨向于無窮時，根據(jù)大數(shù)定律，收益率將收斂于一點.投資者通過足夠多次地重復操作可以消除風險，穩(wěn)定地套取利潤.

BS公式是基于對沖風險，而產(chǎn)生的無套利價格.而本文采用的精算定價是基于確定期望和分散化投資，而產(chǎn)生的無套利價格.本文導出的定價公式與BS公式是不同的.由于兩種定價不同，所以不管用哪種方法定價，都可以用不同方法進行套利.

4 BS定價的問題與解決方法

事實上，如果存在同質信念，那么存在兩種套利方法.一是傳統(tǒng)的復制組合對沖風險的套利方法，并由此引出BS定價.二是通過足夠多次投資造作，通過大數(shù)定律來消除風險（下稱精算套利），引出本文的精算套利定價（第四種定價方法）.而這兩種定價是難以相等的，所以不管如何定價總是存在一種套利的方法.

1）如果按照精算定價，那么就可以按照傳統(tǒng)的方法進行對沖套利.

2）如果按照BS定價，那么有

Vt=StΦ（d1）-Ke-r（T-t）Φ（d2）.

而T時刻的實際測度下的價值期望為

VT=eμ（T-t）StΦ（d1'）-KΦ（d2'）（這個式子是第四種方法的中間結論）.

假設買入價值為Vt的期權，賣出等量現(xiàn)金（即借入等量現(xiàn)金），那么在結算日T時刻，期望現(xiàn)金流為：VT-Vter（T-t）>0套利成功.若VT-Vter（T-t）<0則反向操作.這樣就一定會存在套利機會.雖然對于單只期權來講這樣的操作不能保證套利，但是在股票種類足夠多的情況下，對n種股票同時進行上述操作，通過大數(shù)定律，使得套利收益率收斂于一點.所以，只有在Vt=e-r（T-t）VT（VT為實際測度下的期望價值）時，不存在精算套利.因此3節(jié)中的第四種方法（精算套利定價方法）利用無風險利率進行折現(xiàn).

從另一個視角來看，投資者可以通過精算套利來消除股票波動的風險.那么，股票應該提供與現(xiàn)金相同的收益率才合理.若μ-r=0，此時股票現(xiàn)金存在相同的折現(xiàn)率r，則期權也應該使用折現(xiàn)率r，則兩種定價吻合.從套利角度思考，由于μ-r=0，那么VT=er（T-t）StΦ（d1）-KΦ（d2）=er（T-t）Vt，即有VT-Vter（T-t）=0，無法套利.

μ-r=0似乎是一個合理的結論，但在弱有效的現(xiàn)實市場上是不可能存在的.所以當存在同質信念時，按照原假設將會出現(xiàn)兩種定價，從而矛盾.

在存在同質信念的弱有效市場中，當μ變成為一個可料過程μt時可以解決以上所有問題.以上假設換個角度看即，投資者不能對未來較長一段時間內(nèi)股票走勢形成一致判斷，但是可以根據(jù)即時信息來判斷下一個微小時間區(qū)間內(nèi)的股價調整情況.

在弱有效的市場中，如果承認μt是可料過程，那么當把股票服從標準幾何布朗運動

之后的推導過程中沒有涉及μt，與原推導過程相同.精算套利在這樣的假設下不能成立，因為推導過程中包含μt，無法確定VT（VT為實際測度下的期望價值）與Vter（T-t）的大小關系.簡單地說，由于無法確定股票的走勢，不能確定其期望，所以不能通過大數(shù)定律分散風險.這樣，雖然市場依然存在同質信念，但是市場的有效性提高了，保險精算定價不能成立，只存在一種定價公式，即為Black—Scholes公式.

然而，根據(jù)本文的下面的實證分析，存在同質信念的現(xiàn)實市場中，漂移率更適合被認為是一個常數(shù)，而非可料過程.

5 同質信念與現(xiàn)實市場中BS定價偏差

5.1 SAS模擬價格

利用SAS統(tǒng)計軟件進行模擬分析，給參數(shù)分別賦值，得到BS鞅方法的定價（V1）和精算套利定價（V2）.無論是實值期權、平值期權抑或是虛值期權，當標的資產(chǎn)有上漲趨勢時，其精算套利價格都要高于BS鞅方法得到的價格.這與真實市場中期權價格高于其BS理論價格的情況相符.

5.2 同質信念與μ的確定

在弱有效的市場中所有的投資者趨于理性，因為一旦出現(xiàn)定價偏差就會有套利機會.當不同投資者預計的μ相同時將會產(chǎn)生定價混亂，原因在上文中已經(jīng)給出，存在復制組合套利和精算套利兩種套利方式.

對不同投資者使用同一個μ時可以認為投資者對于標的資產(chǎn)價格變化有同樣的信心，稱為同質信念.而對不同投資者使用同一個可料過程μt時，可以認為市場的有效性較高，對未來極小時間段內(nèi)的股價走勢可形成一致判斷，但難以對未來較長一段時間內(nèi)的價格產(chǎn)生一致判斷.

雖然在完全有效的市場中同質信念不易存在.但是在現(xiàn)實市場中，看漲期權的投資者更傾向于擁有同質信念.例如在文首給出的引例：“在弱式有效的市場中，當存在兩家相同行業(yè)的公司發(fā)行股票和看漲期權，股票價格相同，兩家公司期權條款完全相同.但是根據(jù)通過各種渠道獲得的信息，投資者可以通過基本面分析判斷其中一家公司的股價將會持續(xù)上漲，另一家公司的股價將會持續(xù)下跌，那么其發(fā)行的期權價格顯然應該是不一樣的.”這里投資者就擁有了同質信念，他們會去買那些自己認為其標的資產(chǎn)價格會上漲的公司看漲期權.根據(jù)看漲期權的條款設計與期權市場的制度設計，參與購買的投資者更有可能是掌握信息更全面，研究能力很強的機構投資者.而參與購買看漲期權就體現(xiàn)了他們的風險偏好，他們更有可能選擇那些標的資產(chǎn)有強勁上漲動力的看漲期權.

上文中的結論得到存在同質信念的情況下會由于多種套利方式使得定價產(chǎn)生混亂，但是現(xiàn)實情況下復制組合套利的成本太高，而精算套利的成本相對較低.另一方面，較高的風險偏好會使得投資者從精算套利的角度來看待資產(chǎn)的價值：他們就是衡量投入與可能的產(chǎn)出后，進行價格的判斷.第三，存在同質信念的弱有效市場中，如果投資者所面臨的相同漂移率為一可料過程，那么精算定價無效.但這在現(xiàn)實市場上難以做到，因為眾多投資者總是有某些更全面的信息和更準確的判斷，可以對較長一段時間的漂移率形成一致判斷.

綜上，現(xiàn)實市場存在同質信念，而精算套利定價是其主要的定價方法，這就很好地解釋了BS定價總是低于市場價格的問題.

5.3 恒生指數(shù)期權的實證檢驗

本文通過恒生指數(shù)期權對精算套利定價與BS定價進行對比，以驗證上文的理論推斷.

恒生指數(shù)期權（Hang Seng Index option）是以恒生指數(shù)作為行權品種的期權交易合約.恒生指數(shù)期權合約的每一點位為50港幣，以歐式期權的方式行權，即只能在合約到期時行權.為了方便計算，本文恒生指數(shù)期權的價格單位為點，不是港幣報價.

采用SAS模擬結果如圖1所示，其中恒生指數(shù)、期權實際價格通過Bloomberg函數(shù)導出，而貨幣市場利率、波動率（sigma、標準差）、股利收益率（dividend）均由Bloomberg OVME功能計算得到.彭博（Bloomberg）資訊終端股價漂移率（mu）根據(jù)事件的發(fā)生確定.基于同質信念，對于不同投資者存在相同的漂移率，并且與基準利率密切相關.筆者考察了2011年3月28日至7月28日全球市場上的金融重大金融事件，選取美聯(lián)儲和加拿大中央銀行的利率決議作為漂移率變化的驅動因素.這是由于港元與美元掛鉤，美國與加拿大的貨幣政策相關度很高，所以美聯(lián)儲與加拿大中央銀行的利率政策將會顯著影響恒生指數(shù)的漂移率.

BS定價、精算套利定價均利用上述參數(shù)，由SAS軟件得到.此處的BS定價公式與精算套利定價公式均加入了股利收益率的因素，公式與函數(shù)如下：

精算套利在考慮股利支付的條件下，利用K'=KeqT，St'=Ste

計算結果如圖1所示.

可以看出，BS定價顯著偏低，平均偏差率為15.84%，而精算套利的定價準確，平均偏差只有1.568%為BS定價偏差的十分之一，所以精算套利定價顯著優(yōu)于BS定價.

另外，實務界一般將BS定價偏低歸結為股價歷史波動率不足，常利用隱含波動率來計算期權價格.（注：隱含波動率為利用期權實際價格與BS公式倒推得到.）但是隱含波動率對于期權價格解釋不足.例如：BS公式無法解釋美聯(lián)儲、加拿大央行利率決議對隱含波動率的巨大影響.而精算套利定價認為美聯(lián)儲、加拿大央行的利率決議將對恒生指數(shù)漂移率產(chǎn)生影響，進而對期權價格產(chǎn)生影響.

筆者在美聯(lián)儲或者加拿大央行公布利率決議后調整一次精算套利定價中漂移率（mu）2011年3月28日至7月15日經(jīng)濟指標和金融事件一覽http：//finance.sina.com.cn/money/forex/.而此漂移率圍繞3%波動，與世界范圍內(nèi)國債的普遍收益率、通脹率類似，較為可信.極小的精算套利定價偏差也從另一方面驗證了股票價格的幾何布朗運動假設.

時間/年

圖1 BS定價和精算套利定價與實際價格的偏差

從上面的分析可以看出，恒生指數(shù)的漂移率在某一階段內(nèi)不變，而發(fā)生特定的事項時，產(chǎn)生陡然變化.這表現(xiàn)在當美聯(lián)儲或者加拿大央行提出貨幣政策時，漂移率產(chǎn)生變化，其余時間不變.漂移率的不變性進而驗證了存在同質信念的市場中漂移率更適合被認為是一個常數(shù)，而不是某一可料過程.

6 結 論

本文對四種期權定價方法進行推導和分析，并討論了兩種套利方法，得出以下結論.

1）同質信念下，如果股票收益漂移率應該為可料過程μt，應利用BS公式定價.

2）現(xiàn)實市場存在同質信念，且漂移率可被認為是常數(shù)，所以精算套利定價是其主要的定價方法，這還解釋了為何BS公式定價偏低.

在加了眾多假設的弱有效市場上應該使用套利定價思想，在嚴格假設下得出不嚴格的定價沒有意義.而Mogens Bladt和Tina Hvid Rydberg、鄭紅等人提出的定價都是在嚴格假設下的非套利定價，缺少足夠的理論基礎.

BS公式是基于對沖風險，而產(chǎn)生的無套利價格.而本文采用的精算定價是在同質信念假設下基于分散化投資，而產(chǎn)生的無套利價格.本文的精算套利定價導出的定價公式與BS公式不同.由于兩種定價不同，所以不管用哪種方法定價，都可以用不同方法進行套利.

同質信念下，只有當股票收益即漂移率μ與r相同時才能解決存在兩種套利方法的矛盾.但是當漂移率μt成為可料過程，股價服從dSt=St（μtdt+σdt）時將使得精算定價失效，而對BS公式的鞅方法無影響.

存在同質信念的弱有效的現(xiàn)實市場中漂移可率以被預測到，這種情況下，會由于多種套利方式使得定價產(chǎn)生混亂，但是現(xiàn)實情況下復制組合套利的成本太高，而精算套利的成本相對較低，所以BS定價不會產(chǎn)生決定性影響.另一方面，較高的風險偏好會使得投資者從精算套利的角度來看待資產(chǎn)的價值：他們就是衡量投入與可能的產(chǎn)出后，進行價格的判斷.

本文采用恒生指數(shù)期權進行實證檢驗，采用美聯(lián)儲與加拿大央行的利率決議作為漂移率變化的驅動因素，發(fā)現(xiàn)精算套利定價非常精確，顯著優(yōu)于BS定價.并解決了BS定價不能解釋貨幣政策對于其隱含波動率的影響的問題.

綜上，符合弱有效市場假說的現(xiàn)實市場存在同質信念，而精算套利定價是其主要的定價方法，這很好地解決了BS定價總是低于市場價格的問題.

參考文獻

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