動(dòng)力柔化直板葉片動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系

趙曉宇，黃　海，曲　濤，郭　健，羅　忠

（1.中航工業(yè)集團(tuán)沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽110042；2.空軍駐沈陽地區(qū)代表室，沈陽110031；2.東北大學(xué)　機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽110819）

動(dòng)力柔化直板葉片動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系

趙曉宇1，黃海1，曲濤2，郭健3，羅忠3

（1.中航工業(yè)集團(tuán)沈陽發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)研究所，沈陽110042；2.空軍駐沈陽地區(qū)代表室，沈陽110031；2.東北大學(xué)機(jī)械工程與自動(dòng)化學(xué)院，沈陽110819）

針對考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)的直葉片動(dòng)力學(xué)相似模型設(shè)計(jì)的問題，提出一種考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)的動(dòng)力學(xué)相似模型設(shè)計(jì)方法。根據(jù)大范圍運(yùn)動(dòng)板的動(dòng)力方程推導(dǎo)得到的矩形板動(dòng)力平衡方程，結(jié)合直葉片運(yùn)動(dòng)特性，建立基于柔性體假設(shè)的直葉片動(dòng)力平衡方程；運(yùn)用相似原理，建立考慮動(dòng)力柔化的旋轉(zhuǎn)柔性直葉片的動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系；通過分析所建立的相似關(guān)系，為了避免過高轉(zhuǎn)速引起試驗(yàn)系統(tǒng)的高階振動(dòng)，提出建立旋轉(zhuǎn)直葉片過渡試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆椒?，并分析其在直葉片剛性與柔性條件下的適用性；最后通過數(shù)值驗(yàn)證相似關(guān)系的有效性和正確性。

振動(dòng)與波；動(dòng)力柔化；旋轉(zhuǎn)葉片；試驗(yàn)?zāi)Ｐ?；?dòng)力學(xué)相似；過渡模型

葉片是旋轉(zhuǎn)機(jī)械如航空發(fā)動(dòng)機(jī)、壓縮機(jī)和汽輪機(jī)等大型旋轉(zhuǎn)機(jī)械裝備中的關(guān)鍵部件，由于其工作環(huán)境復(fù)雜，動(dòng)力學(xué)問題很難用數(shù)學(xué)方法完全解決，必須通過物理試驗(yàn)來研究。然而在工程實(shí)際中，直接采用原型實(shí)驗(yàn)往往由于幾何尺寸、材料成本、實(shí)驗(yàn)周期以及實(shí)驗(yàn)難度等問題難以進(jìn)行，因此通?？紤]采用相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行實(shí)驗(yàn)。

對葉片相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ偷难芯?，國?nèi)外學(xué)者做了很多工作。郝燕平［1］對壓氣機(jī)葉片所涉及的幾個(gè)結(jié)構(gòu)相似性問題進(jìn)行理論研究，討論在保持氣動(dòng)相似的條件下，模型葉片和原型葉片之間靜強(qiáng)度、振動(dòng)特性、振動(dòng)響應(yīng)的相似性問題；羅忠［2］針對復(fù)合材料層合板類結(jié)構(gòu)的相似模型設(shè)計(jì)問題，提出在固有特性相似條件下，畸變模型幾何尺寸區(qū)間的確定方法；陳小波［3］通過研究考慮旋轉(zhuǎn)葉片的離心剛化效應(yīng)對葉片動(dòng)力特性的影響，引入剛化系數(shù)，給出頻率修正公式；Friedmann［4］通過相似模型實(shí)驗(yàn)與計(jì)算機(jī)仿真對比的方法，分析直升機(jī)旋轉(zhuǎn)葉片的氣動(dòng)彈性特性等等。而對考慮葉片動(dòng)力柔化效應(yīng)的相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ脱芯课墨I(xiàn)尚不多見。

葉片有剛性葉片和柔性葉片之分，剛性葉片作為剛體可不考慮旋轉(zhuǎn)時(shí)動(dòng)力柔化效應(yīng)，而柔性葉片作為柔性體工作時(shí)需考慮由轉(zhuǎn)速引起的變形效應(yīng)影響，即動(dòng)力柔化效應(yīng)影響。對于高速旋轉(zhuǎn)葉片，其動(dòng)力柔化效應(yīng)對其動(dòng)力特性影響不容忽視，柔化效應(yīng)會(huì)增大葉片原有的自振頻率，嚴(yán)重時(shí)使得葉片不能正常工作。本文基于相似理論，建立考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)直葉片動(dòng)力學(xué)相似關(guān)系，為葉片相似試驗(yàn)?zāi)Ｐ脱芯刻峁┮欢ɡ碚撗a(bǔ)充。

1　動(dòng)力平衡方程

矩形薄板的運(yùn)動(dòng)變形如圖1所示。圖中OXYZ為慣性參考系，其上建立非慣性參考系oxyz，板中面上的一點(diǎn)P0變形后為P，r、s分別為P點(diǎn)沿矩形板長度和寬度方向上的總伸長量，u1、u2、u3分別為x、y、z方向上的變形量。e1、e2、e3分別為x、y、z方向的單位向量。

圖1　矩形薄板的運(yùn)動(dòng)變形圖

根據(jù)薄板變形理論［5］，由幾何應(yīng)變位移關(guān)系可知

式（1）中，x、y為板上任一點(diǎn)坐標(biāo)。

根據(jù)泰勒公式可將式（1）展開得式（2）中，H1、H2為高階小量。

忽略式（2）中高階小量，并將式（2）對時(shí)間t求導(dǎo)可得非慣性系統(tǒng)中x、y方向的速度為

利用Rayleigh-Ritz法求解大范圍運(yùn)動(dòng)板的平衡方程，設(shè)

式（4）中，?1j（x，y）、?2j（x，y）為j階縱向振動(dòng)振型函數(shù)，?3j（x，y）為j階橫向振動(dòng)振型函數(shù)，qj（t）為廣義坐標(biāo)，μn為總的振型函數(shù)個(gè)數(shù)。

矩形薄板的動(dòng)力方程為［6，7］：

式（5）中，a、b、h分別為薄板的寬度、長度、厚度；ρ0為薄板單位面積質(zhì)量；E為薄板材料彈性模量；μ為薄板材料泊松比；G為薄板的剪切模量，?i，x、?i，y分別為第i階振動(dòng)振型函數(shù)對x和y的一階偏導(dǎo)；?i，xx、?i，xy、?i，yy分別為第i階振動(dòng)振型函數(shù)對x、y的2階偏導(dǎo)；ω1、ω2、ω3分別為繞X、Y、Z軸旋轉(zhuǎn)的角速度；v1、v2、v3分別為薄板上點(diǎn)的速度。

聯(lián)立式（5）、（6）、（7）可求解位移函數(shù)s（x，y，t）、r（x，y，t）、u3（x，y，t）。

對如下圖2所示的懸臂矩形板模型的直葉片，R0為葉根半徑，葉片繞Y軸以角速度Ω轉(zhuǎn)動(dòng)，其動(dòng)力方程參數(shù)為將式（8）代入動(dòng)力平衡方程可得直葉片的動(dòng)力平衡方程為

圖2　直葉片懸臂板模型

2　相似關(guān)系

設(shè)幾何相似關(guān)系為λ，λ為模型與原型的相似比，由相似原理知完全幾何相似時(shí)

運(yùn)用方程分析法，由式（9）、（10）、（11）可得相似關(guān)系式

為橫向振型相似比；λΩ為轉(zhuǎn)速相似比；λωd為動(dòng)頻率相似比。

由式（13）可知

3　過渡模型

由式（14）知，轉(zhuǎn)速相似關(guān)系λΩ=1/λ，即模型葉片的轉(zhuǎn)速是原型葉片轉(zhuǎn)速倍，也就是模型越小，則要求轉(zhuǎn)速越高，而高轉(zhuǎn)速不僅會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)產(chǎn)生高階振動(dòng)而影響測量結(jié)果，而且也使得實(shí)驗(yàn)成本大大增加，故可考慮改變?nèi)~片動(dòng)力相似模型中的轉(zhuǎn)速相似關(guān)系，通過建立低轉(zhuǎn)速的過渡相似模型來預(yù)測原型葉片的動(dòng)力特性。

由葉片動(dòng)頻率滿足［8］

式（15）中，ωd為動(dòng)頻率；ω為靜態(tài)固有頻率；B為動(dòng)頻系數(shù)；Ω為旋轉(zhuǎn)角速度。

建立過渡相似模型對原型動(dòng)頻率進(jìn)行預(yù)測，設(shè)過渡模型與原型相似關(guān)系為

式（16）中，C為常數(shù)。

4　數(shù)值驗(yàn)證

選用原型與模型直板葉片的幾何參數(shù)及轉(zhuǎn)速如表1所示［9-11］，取模型與原型材料參數(shù)相同，材料參數(shù)如下：彈性模量E=104.8 GPa，密度ρ=4 428 kg/m3，泊松比μ=0.3。設(shè)完全幾何相似相似比為λ=0.5。

表1　原型和模型參數(shù)

采用實(shí)體單元分別對原型和模型直板葉片進(jìn)行有限元建模，通過數(shù)值仿真計(jì)算得到考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)的原型與模型前5階動(dòng)頻率及通過相似關(guān)系式（14）由模型動(dòng)頻率預(yù)測的原型動(dòng)頻率如表2所示。

表2　原型和模型動(dòng)頻率

由表2數(shù)值驗(yàn)證結(jié)果可知式（14）所得相似關(guān)系是準(zhǔn)確、可靠的。

對原型直板葉片施加n=0～1 256 rad/s的轉(zhuǎn)速（每隔157 rad/s為一個(gè)計(jì)算點(diǎn)），考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)和不考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)的各階動(dòng)頻率如圖3所示。

圖3　各階動(dòng)頻率對比

由文獻(xiàn)［12］可知，建立過渡相似模型的可行性在于各階動(dòng)頻系數(shù)B為常數(shù)，即動(dòng)頻率對于旋轉(zhuǎn)角頻率為線性關(guān)系。對于柔性葉片，由圖3可知其動(dòng)頻率隨轉(zhuǎn)速的變化為非線性關(guān)系，故不能通過過渡模型預(yù)測原型的動(dòng)力特性。由此，對于剛性葉片的模型試驗(yàn)，可通過過渡模型的方法在低轉(zhuǎn)速下對高速旋轉(zhuǎn)葉片進(jìn)行模擬，而對于柔性葉片，試驗(yàn)中則應(yīng)保證其轉(zhuǎn)速的完全相似關(guān)系。

5　結(jié)語

運(yùn)用相似原理，通過分析考慮動(dòng)力柔化效應(yīng)的直板葉片動(dòng)力平衡方程，得到以下結(jié)論：

（1）考慮動(dòng)力柔化的直板葉片動(dòng)態(tài)固有頻率相似比與轉(zhuǎn)速相似比相同，是幾何尺寸相似比的倒數(shù)；

（2）數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了所建立相似關(guān)系是正確和有效的，并證明直板葉片的動(dòng)力柔化效應(yīng)對動(dòng)頻率的影響隨轉(zhuǎn)速增大而增大；

（3）數(shù)值仿真結(jié)果驗(yàn)證了對剛性葉片的模型試驗(yàn)可通過建立較低轉(zhuǎn)速的過渡相似模型來避免試驗(yàn)?zāi)Ｐ透唠A振動(dòng)，對柔性葉片的模型試驗(yàn)則應(yīng)采用轉(zhuǎn)速完全相似的試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?/p>

［1］郝燕平.葉輪機(jī)葉片結(jié)構(gòu)相似性問題的理論研究［A］.中國航空學(xué)會(huì)第六屆動(dòng)力年會(huì)論文集［C］.南京，2006. CSAA06-P-084.

［2］羅忠，朱云鵬，陳曉兵，等.復(fù)合材料層合板相似模型的幾何區(qū)間確定方法［J］.機(jī)械工程學(xué)報(bào)，2014，50（9）：58-64. ［3］陳小波，李靜，陳健云.考慮離心剛化效應(yīng)的旋轉(zhuǎn)風(fēng)力機(jī)葉片動(dòng)力特性分析［J］.地震工程與工程振動(dòng)，2009，29 （1）：117-122.

［4］Friedmann P P.Aeroelastic scaling for rotary-wing aircraft with applications［J］.Journal of Fluids and Structures，2004，19（5）:635-650.

［5］YCFung.Foundationsofsolidmechanics［M］. Englewood Cliffs，NJ:Prentice-Hall，1965.

［6］Yoo H H，Chung J.Dynamics of rectangular plates undergoingprescribedoverallmotion［J］.Journalof Sound and Vibration，2001，239（1）:123-137.

［7］Yoo H H，Kim S K.Free vibration analysis of rotating cantilever plates［J］.AIAA Journal，2002，40（11）:2188-2196.

［8］沈慶樓，劉湘一，賈忠湖，等.發(fā)動(dòng)機(jī)葉片振動(dòng)特性分析［J］.海軍航空工程學(xué)院學(xué)報(bào)，2005，（04）：473-476.

［9］馬輝，能海強(qiáng)，宋溶澤，等.基于變厚度殼單元的旋轉(zhuǎn)葉片固有特性分析［J］.航空發(fā)動(dòng)機(jī)，2013，39（5）：26-30.

［10］Qin Z Y，Yan S Z，Chu F L.Dynamic analysis of slender launching system connected by clamp band joint using harmonicbalancemethod［J］.JournalofPhysics: Conference Series，4 th Symposium on the Mechanics of Slender Structures，2013，448（1）:1-8.

［11］Qin Z Y，Yan S Z，Chu F L.Influence of clamp band joint on dynamic behavior of launching system in ascent flight ［J］.ProceedingsoftheInstitutionofMechanical Engineers，Part G:Journal of Aerospace Engineering，2014，228（1）:97-114.

［12］Yoo H H，Shin S H.Vibration analysis of rotating cantilever beams［J］.Journal of Sound and Vibration. 1998，212（5）:807-828.

Dynamic Similarity Relations of Straight Blades Considering Dynamic Softening Effects

ZHAO Xiao-yu1，HUANGHai1，QUTao2，GUOJian3，LUOZhong3
（1.AVIC ShenyangAero-engine Design Institute，Shenyang 110042，China；2.Air Force Representative Office of PLAin ShenyangArea，Shenyang 110031，China；3.School of Mechanical Engineering&Automation，Northeastern University，Shenyang 110819，China）

A method for dynamic similarity model design considering the dynamic softening effect was put forward. The dynamic equilibrium equations for rectangular plates were formulated based on the large displacement kinetic equations for moving plates.On this basis，combining with the kinetic characteristics of the straight blade，the dynamic equilibrium equation of the straight blade was established based on the flexural body assumption.Using the dynamic similarity principle，the dynamic similarity equation of the rotating straight blade was established.In order to avoid the high order vibration induced by over-high revolution speed，a method for establishing the transition model of the rotating straight blade was put forward.The applicability of the method was analyzed in the condition of rigid and flexible straight blades.Finally，the efficiency and correctness of the similarity relation were verified by numerical simulation.

vibration and wave；dynamic softening；rotating blade；experimental model；dynamical similarity；transition model

TH113.1

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2015.05.008

1006-1355（2015）05-0043-05

2015－01－06

國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）資助項(xiàng)目（2012CB026005）；教育部基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)專項(xiàng)資金資助項(xiàng)目（N130503001；N140301001）

趙曉宇（1980－），男，遼寧錦州市人，碩士，研究方向：整機(jī)動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)。

E-mail:rain65535@sina.com

羅忠（1978－）男，內(nèi)蒙古集寧人，博士，主要研究方向：機(jī)械動(dòng)力學(xué)與控制。

E-mail:zhluo@mail.neu.edu.cn