導(dǎo)數(shù)學習誤區(qū)分析

宋勇

判斷函數(shù)單調(diào)性時易忽視的一種特殊情況

例1 已知函數(shù)[fx=-13x3+ax2-x-1]在[R]上是減函數(shù)，求實數(shù)[a]的取值范圍.

錯解 [fx=-x2+2ax-1]，因為[fx]在[R]上是減函數(shù)，所以[fx<0]在[R]上恒成立，即[Δ=4a2-4<0]，解得[-1

正解 [fx<0]恒成立的充要條件并不是[fx]在[R]上是減函數(shù).

事實上， 當[a=1]時，[fx=-x-12].

則當[x∈-∞，1]時，[fx<0].

當[x∈1，+∞]時，[fx<0].

當[x=1時，fx=0]，而函數(shù)[fx]在[x=1]處連續(xù).

因此[fx]在[R]上是減函數(shù).

同理可知當[a=-1]時，[fx]在[R]上是減函數(shù).

所以[a]的取值范圍為[-1≤a≤1].（有條件的同學可用幾何畫板作出[a=±1]時的函數(shù)圖象.）

點撥 錯誤的根源是將函數(shù)單調(diào)性的充分條件誤認為是充要條件，在根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求解參數(shù)問題時最容易犯這種錯誤. 解決這類問題時既要注意其充分性，又要注意其必要性.已知函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，可轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題.一般地，函數(shù)[f（x）]在區(qū)間[I]上單調(diào)遞增（遞減）等價于不等式[fx≥0（fx≤0）]在區(qū)間[I]上恒成立，然后可借助分離參數(shù)等方法求出參數(shù)的取值范圍，并驗證[fx=0]是否有有限個解.

求函數(shù)的極值點二種易混淆的情形

1. 誤認為導(dǎo)數(shù)為零的點一定是極值點

例2 函數(shù)[fx=x3-ax2-bx+a2]在[x=1]處有極值[10]，求[a]，[b]的值.

錯解 [fx=3x2-2ax-b]，由題意得，[f1=0]，且[f1=10]，

即[3-2a-b=0，1-a-b+a2=10，]解得[a=3，b=-3，]或[a=-4，b=11.]

正解 [fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件.只有同時滿足在[x0]附近導(dǎo)數(shù)的符號相反，才能判定在[x=x0]處取得極值，因此上述解法在解出[a]，[b]的值后，還應(yīng)檢驗[fx=3x2-2ax-b]在[x=1]附近導(dǎo)數(shù)符號的變化情況.經(jīng)檢驗發(fā)現(xiàn)只有[a=-4]，[b=11]符合條件.

2. 誤認為極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點處取得

例3 求函數(shù)[fx=x2-x-6]的極值.

錯解 由于[fx=x2-x-6 ， x≤-2或x≥3，-x2+x+6， -2

于是[fx=2x-1 ， x<-2或x>3，-2x+1 ，-2

令[fx=0]得，[x=12.]

當[-20].

當[12

所以當[x=12]時，函數(shù)有極大值[254].

正解 [fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件. 在確定極值時，只討論滿足[fx=0]的點[x0]附近導(dǎo)數(shù)的符號變化情況是不全面的，在導(dǎo)數(shù)不存在的點處也可能存在極值.在上述解法中，顯然忽視了討論[x=-2]和[x=3]處左右兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的符號變化情況，從而產(chǎn)生了解答不完備的現(xiàn)象.正確的結(jié)果還應(yīng)包括在[x=-2]和[x=3]處函數(shù)取到極小值0.

點撥 第一種情況誤認為[fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的充要條件，忽視了判斷滿足[fx=0]的點[x0]附近導(dǎo)數(shù)的符號變化情況.要求緊扣[fx0=0]是可導(dǎo)函數(shù)[y=fx]在[x=x0]處有極值的必要條件而非充分條件這個原則.第二種情況誤認為極值只能在導(dǎo)數(shù)為零的點處取得，對極值的認識缺乏延伸.要求同學們結(jié)合概念從函數(shù)圖象的角度體會極值不僅僅在導(dǎo)數(shù)為零的點處取得.

求曲線的切線方程的三種不同情況

1. 已知在曲線上一點求切線方程

例4 求曲線[y=1x]在點[A]（1，1）處的切線方程.

解析 [f（x）=-1x2]，設(shè)切線的斜率為[k]，

[∴k=f（1）=-1].

[∴切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0].

2. 已知過曲線上一點求切線方程

例5 求曲線[fx=x3-3x2+2x]過原點的切線方程.

錯解 [fx=3x2-6x+2]，設(shè)切線的斜率為[k]，則[k=f0=2]，所以所求曲線切線方程為[y=2x].

正解 “過某點”與“在某點處”是不同的，在某點處的切線表明此點是切點，而過某點的切線，此點并不一定是切點. 本題過原點的切線有兩條，其中一條以原點為切點，另一條以點[P32，-38]為切點.

[fx=3x2-6x+2]，設(shè)切線的斜率為[k].

（1）當切點是原點時，[k=f0=2]，所以所求曲線的切線方程為[y=2x].

（2）當切點不是原點時，設(shè)切點是[x0，y0]，

則有[y0=x30-3x20+2x0]，[k=y0x0=x20-3x0+2]①.

又[k=fx0=3x20-6x0+2]②，

由①②得，[x0=32]，[k=y0x0=-14].

故所求曲線的切線[y=-14x].

綜上，切線方程為[y=2x]或[y=-14x.]

3. 已知過曲線外的一點求切線的方程

例6 求過點[A（2，0）]且與曲線[y=1x]相切的直線方程.

解析 [f（x）=-1x2]，設(shè)切線的斜率為[k].

設(shè)切點[Px0，y0]，則[y0=1x0x0≠0].

[∴k=-1x02]，切線方程為[y-y0=-1x02（x-x0）]，

即[y-1x0=-1x02（x-x0）].

又[∵切線方程過點A2，0]，

即[0-1x0=-1x02（2-x0）x0≠0]，

[∴x0=1，切點P1，1，]

[故切線方程為y-1=-（x-1），即x+y-2=0].

點撥 對這三種情況，首先要判斷點是否在曲線上，其次看曲線上的是否作為切點. “過曲線上某點”與“在曲線上某點處”是不同的. 在某點處的切線表明此點是切點；而過某點的切線，此點并不一定是切點，應(yīng)該分是切點和不是切點兩種情況來考慮.

同學們在以下幾個方面經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、推理、交流、反思等思維過程，就能改進自己的學習方式，體會學習的成就感.如：在知識形成過程的“關(guān)鍵點”，在應(yīng)用數(shù)學思想方法產(chǎn)生解決問題策略的“關(guān)節(jié)點”，在數(shù)學知識之間的“聯(lián)接點”，在數(shù)學問題研究的“發(fā)散點”，在思維發(fā)展的“臨界點”.