勾股定理及其逆定理的應(yīng)用

羅普能

勾股定理及其逆定理是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考熱點(diǎn)內(nèi)容之一，由此引出了一些極富創(chuàng)造性的新型試題。下面以近幾年中考題為例，為同學(xué)們介紹勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，希望對大家的學(xué)習(xí)有所幫助。

一、判斷三角形的形狀

例1已知a，b，c為△ABC的三邊，且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，試判斷△ABC的形狀。

解析要判斷△ABC的形狀須先求出三邊a，b，c的長，再利用勾股定理逆定理進(jìn)行判斷。

∵a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，

∴a2-6a+9+b2-8b+16+c2-10c+25=0。

∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0，∴a-3=0，b-4=0，c-5=0。即a=3，b=4，c=5。

∴a2=9，b2=16，c2=25，則a2+b2=c2，∴△ABC為直角三角形。

點(diǎn)評在由一個等式求三角形的三邊長時，往往把等式化為A2+B2+C2=0的形式，再由A＝0，B＝0，C＝0，求得三角形三邊之長，最后利用計算來判斷△ABC是不是直角三角形。

二、探索勾股數(shù)

例2觀察下面的表格所給出的三個數(shù)a，b，c，a＜b＜c。

⑴試找出它們的共同點(diǎn)，并說明你的結(jié)論；

⑵當(dāng)a=21時，求b,c的值。

解析只要能夠發(fā)現(xiàn)每組內(nèi)三個數(shù)之間的規(guī)律即可，而這需要從不同的角度去觀察，運(yùn)用從特殊到一般的思想來分析。

⑴各組數(shù)的共同點(diǎn)是:

①各組數(shù)均滿足a2+b2=c2;

②最小數(shù)(a)是奇數(shù)，其余的兩個數(shù)b,c是連續(xù)的正整數(shù)；

③最小奇數(shù)的平方等于另外兩個連續(xù)正整數(shù)的和。

由以上特點(diǎn)我們可猜想并說明這樣一個結(jié)論：設(shè)x為大于1的奇數(shù)，將x拆分為兩個連續(xù)正整數(shù)之和，即x2=y+(y+1),則x,y,y+1就構(gòu)成一組勾股數(shù)。

∵ x2=y+(y+1)(x為大于1的奇數(shù)),∴x2+y2= y+(y+1)+y2=y2+2y+1=(y+1)2,

∴ x,y,y+1是一組勾股數(shù)。

⑵運(yùn)用以上結(jié)論，當(dāng)x=21時，212=441=220+221, ∴b=220,c=221。

點(diǎn)評此題的實(shí)質(zhì)是揭示了尋找勾股數(shù)的一種方法：先選一個大于1的奇數(shù)，然后把這個奇數(shù)的平方寫成兩個連續(xù)正整數(shù)的和，則由這個奇數(shù)和分成的兩個連續(xù)正整數(shù)就構(gòu)成了一組勾股數(shù)，運(yùn)用此法可以得到許多勾股數(shù)。

三、構(gòu)造直角三角形

例3如圖1，在四邊形ABCD中，AB=AD=8，∠A=60°， ∠ADC=150°， 已知四邊形ABCD的周長為32，求四邊形ABCD的面積。

解析四邊形ABCD是一個不規(guī)則的四邊形，要求其面積，可設(shè)法變成特殊的三角形求解。

連接BD，∵ AB=AD，∠A=60°， ∴△ABD是等邊三角形。

∴∠ADB=60°， BD=AD=AB=8。又∵∠ADC=150°， ∴∠BDC=90°，故△BDC是直角三角形。

因?yàn)樗倪呅蜛BCD的周長為32， AB=AD=8，

∴BC+DC=32-16=16，BC=16-DC。

在Rt△BDC中，BD2+DC2=BC2，即82+DC2=(16-DC)2。解得DC=6。

四、解決存在性探索題

例4是否存在這樣的直角三角形，它的兩直角邊長為整數(shù)且周長與面積相等？若存在，求出它的直角邊長；若不存在，請說明理由。

解析題中條件較少，先假設(shè)存在這樣的三角形，根據(jù)題中的等量關(guān)系及勾股定理列出方程，經(jīng)討論分析即可得證。

假設(shè)存在符合要求的直角三角形，設(shè)邊長分別為a，b，c，且c為斜邊，a，b為正整數(shù)，由題意，得a2+b2=c2①， ∵ a為正整數(shù)，∴b-4=1,2,4,8,即b=5,6,8,12。

把b代入④中得a=12,8,6,5,且c=13,10,10,13。

所以符合條件的直角三角形有兩個，邊長分別為：6，8，10；5，12，13。

五、用于解實(shí)際應(yīng)用題

例5如圖2，公路上A，B兩點(diǎn)相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，現(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應(yīng)建在離A站多少km處？

解析要求AE的長度，在Rt△ADE中應(yīng)用勾股定理可求，但只知道DA=15km，不能求AE的長度。同時我們發(fā)現(xiàn)，在這個圖形中有兩個直角三角形，可以分別在這兩個直角三角形中都利用勾股定理。在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得：ＡD2+AE2=DE2，在Rt△CBE中，根據(jù)勾股定理得：CB2+BE2=CE2，而DE=CE，從而得到等式AD2+AE2=CB2+BE2，列方程問題就可以解決了。

設(shè)AE=x，則BE=25-x，在Rt△ADE中，根據(jù)勾股定理得AD2+AE2=DE2。在Rt△CBE中，根據(jù)勾股定理得：CB2+BE2=CE2。

因?yàn)楝F(xiàn)在要在公路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等。由DE=CE，知DE2=CE2，所以AD2+AE2=CB2+BE2。

即152+x2=102+(25-x)2，解得：x=10。

因此E站應(yīng)建在離A站10km處。

例6如圖3，學(xué)校有一塊長方形花圃，有極少數(shù)人為了避開拐角走“捷徑”，在花圃內(nèi)走出了一條“路”。他們僅僅少走了幾步路（假設(shè)兩步為1米），卻踩傷了花草。求他們少走了多少步路？

解析本題是一道新穎的實(shí)際問題。要算出少走了幾步，則需要求出路AB等于多少米。觀察圖形知AB是Rt△ABC的斜邊。因?yàn)锳C=3m,BC=4m, 根據(jù)勾股定理可解決問題。

在Rt△ABC中，AB2=AC2+BC2=32+42=25,所以AB=5m。

根據(jù)假設(shè)可知5m需要走10步，則沿B→A走需要10步。而沿B→C→A走需要14步，可見他們僅僅少走了4步路,卻踩傷了花草。

點(diǎn)評以上兩題實(shí)際上是勾股定理在實(shí)際問題中的靈活應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是理解題意，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型。